Fonctions, Bac général
Amérique du nord 2026.
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On considère la fonction f définie sur R par
f (x) = 5ln(x
2 +1
)
−3x
et on admet que la fonction f est dérivable sur R.
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
On a tracé ci-dessous la courbe Cf et la tangente à la courbe Cf au point A d’abscisse 1.
1. Conjecturer, à l’aide de la représentation graphique de la fonction f , les intervalles de R sur
lesquels la fonction f semble convexe ou concave.
La courbe traverse sa tangente en A.
La courbe est convexe sur ]-oo ; 1[ puis concave.
2. Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction f en -oo.
x2+1 tend vers +oo ; ln(x2+1) tens vers +oo ;
-3 x tend vers +oo.
Par somme des limites, f(x) tend vers +oo.
3. a. Démontrer que, pour tout x réel strictement positif,
f (x) = x(
10
ln(x) /
x −3 )
+5ln(
1+
1
/x
2 ).
f(x) = 5 ln(x2(1+1/x2))-3= 5 ln(x2) +5 ln(1+1/x2)-3x = 10 ln(x)+5 ln(1+1/x2)-3x.
f(x) = x [10 ln(x) / x -3] +5ln(
1+
1
/x
2 ).
b. Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction f en +∞.
Par croissance comparée ln(x) / x tend vers zéro.
10 ln(x) / x -3 tend vers -3.
Par produit des limites x [10 ln(x) / x -3] tend vers -oo.
De plus 1/x2 tend vers zéro et ln(
1+
1
/x
2 ) tend vers zéro.
Par somme f(x) tend vers -oo.
4. a. Démontrer que pour tout x réel, f
′
(x) =
(−3x
2 +10x −3
)/ (x
2 +1)
.
f '(x) = 5 *2x /(x
2 +1
)
−3. = (10 x-3(x2+1) / (x
2 +1
)
=
(−3x
2 +10x −3
)/ (x
2 +1).
b. Étudier les variations de la fonction f sur R.
x2+1 >0 ; le signe de f '(x) est celui de −3x
2 +10x −3
Racines de −3x
2 +10x −3
=0 :
D = 102-3*3*4 =64=82.
x1 = (-10+8) / (-6) =1/3 ; x2 = (-10-8) / (-6) =3 ;
f '(x) >0 sur [1/3 ; 3] et f(x) est croissante.
f '(x) <0 sur ]-oo ; 1/3 ( union ]3 ; +oo[ et f(x) est décroissante.
5. On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur R et que pour tout réel x,
f
′′(x) =
(−10x
2 +10x) / (x
2 +1 )2
.
a. Valider ou rejeter la conjecture faite à la question 1.
(x
2 +1 )2 >0 ; f "(x) a le signe de −10x
2 +10x.
f "(x) >0 sur [-1 ; +1) et f(x) est convexe.
f "(x) < 0 sur ]-oo ; -1( union ]1 ; +oo[ et f(x) est concave.
La conjecture faite à la question 1 est donc fausse.
b. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe Cf au point A d’abscisse 1.
y = f ' (1) (x-1) +f(1).
f '(1) =(-3+10-3) / 2 =2 ; f(1)=5 ln(2)-3.
y =2( x-1)+5 ln(2)-3 = 2x+5ln(2)-5.
c. En déduire que pour tout x > 1, ln(
x
2 +1 ) < x +ln(2)−1.
Pour x > 1, la fonction est concave : la courbe représentative de f est en dessous de toutes ses tangentes.
f(x) < 2x+5ln(2)-5.
5ln(x
2 +1
)
−3x < 2x+5ln(2)-5.
5ln(x
2 +1
) < 5x+5ln(2)-5.
ln(x
2 +1
) < x+ ln(2)-1.
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On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
f (x) = x(ln(x))
2
On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
On note f
′
sa fonction dérivée.
1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
x et ln(x) tendent vers +oo ; par produit des limites, f(x) tend vers +oo.
2. Pour tout réel x > 0, on pose g(x) = x ln(x).
a. Démontrer que pour tout réel x > 0, on a f (x) = 4 (g(x½))2.
g(x½) =x½ ln(x½).= 0,5 x½ ln(x).
ln(x) = 2g(x½) / x½ ; f(x) = 4 (g(x½))2.
.
b. En déduire la limite de f(x) quand x tend vers zéro.
ln(x) tend vers -oo ; x tend vers zéro ; par produit des limites g(x) tend vers 0.
Par suite f(x) tend vers zéro.
3. Dans cette question, on étudie les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[
a. Démontrer que sur l’intervalle ]0 ; +∞[, f
′
(x) = (lnx)(2+ln x).
On pose u = x et v =( ln(x))2.
u' = 1 ; v' = 2 ln(x) / x.
u'v+v'u = (ln(x)2 +2 ln(x) = ln(x) (2+ln(x)).
b. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
f '(x) =0 pour x=1 et x = e-2..
c. Donner la valeur exacte du maximum de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; 1].
4. On considère l’équation f (x) = 2.
a. Justifier que, sur l’intervalle ]0 ; +∞[, cette équation admet une unique solution.
On note a cette solution.
Sur ]0 ; 1], le maximum vaut 4 e-2 ~0,54 < 2 ; f(x) n'admet pas de solution sur cet intervalle
Sur [1 ; +oo[, f est continue car dérivable ; f(x) est strictement croissante de 0 à +oo.
D'après le théorème de la bijection, l'équation f(x) = 2 admet une unique solution sur [1 ; +oo[
b. Donner un encadrement de a d’amplitude 0,1.
La calculatrice donne a ~2,46.
5. Soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle ]0; 1].
a. Donner une interprétation géométrique de 
C'est laire du domaine délimité par les droites d'équation x = a et x = 1, par l'axe des abscisses et la courbe..
b. À l’aide d’une intégration par parties, justifier que :  .
On pose u' = x et v = (ln(x))2.
u = ½x2 et v' =2 ln(x) / x.
c. En utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer que :
On pose u ' =x et v.= ln(x) ; u =½x2 et v' = 1 /x.
d. Déterminer la limite de quand a tend vers 0.
Par croissance comparée a ln(a) tend vers zéro.
0,25-0,25a2 tend vers 0,25.
Par somme des limites la limite cherchée est 0,25.
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