Mathématiques, physique chimie. Bac STi2D 09 / 2025; secours.

Transferts thermiques dans une glacière. 5 points.
On souhaite savoir combien de temps une boisson peut rester au frais dans une glacière. On considère que la boisson reste fraîche tant que sa température est inférieure à 17°C.
Partie 1
On considère une glacière réfrigérante comprenant un dispositif de refroidissement de ce qu’elle contient. La paroi de la glacière est composée de deux couches de polypropylène (PP) d’épaisseur e_PP = 0,25 cm et d’une couche de mousse de
polyuréthane (PU) d’épaisseur e_PU = 4,5 cm.
On donne les conductivités thermiques des matériaux :
- Polypropylène (PP) : l_PP= 0,20 W·K^-1·m^-1.
- Mousse polyuréthane (PU) : l_PU = 0,025 W·K^-1·m^-1.
On rappelle que la résistance thermique surfacique r_th d’une paroi constituée d’un matériau unique est donnée par la relation :
r_th=e / l
où e est l’épaisseur du matériau (en m) et l sa conductivité thermique (en W·K^-1·m^-1).
La résistance thermique R_th d’une paroi de surface S est donnée par la relation :R_th=r_th /S.
Q1. Calculer la valeur de la résistance thermique surfacique de la couche de mousse de polyuréthane r_PU.
r_PU =e_PU / l_PU =0,045 / 0,025=1,8 m²·K·W^-1.
Q2. Montrer que la résistance thermique surfacique r_th de la paroi de la glacière est voisine de 1,83 m²·K·W^-1.
r_th = r_PU +2e_PP / l_PP =1,8 + 2 x0,0025 /0,2=1,8 +0,25~1,83 m²·K·W^-1.
Q3. La surface totale S des parois de la glacière vaut S = 1,2 m². Calculer la résistance thermique R_th globale entre l’intérieur de la glacière et l’air extérieur.
R_th = r_th / S = 1,83 / 1,2=1,525 ~1,53 K·W^-1.
Le dispositif de refroidissement fonctionne un moment puis est interrompu à un instant pris comme origine des temps t = 0. La glacière demeure fermée pendant 1 h dans une pièce dont la température ambiante est constante et vaut q_ext = 24,2°C.
Le suivi temporel de la température à l’intérieur de la glacière a permis d’obtenir le graphique de la figure ci-après.
Données :
- capacité thermique de la glacière et de son contenu: c_g = 3,6 kJ·°C^-1 ;
- on admet que la glacière et son contenu sont à la même température.
Q4. La température initiale de l’air contenu dans la glacière est q i = 13,4°C. En utilisant la figure, indiquer la valeur q _f de la température de l’air contenu dans la glacière après une heure.

Q5. Calculer la valeur de la variation d’énergie interne DU du système formé par la glacière et son contenu entre les instants t = 0 et t = 1 h.
DU =c_g ( q _f -q i)=3,6 (19-13,4)=20,16 kJ.
Q6. Représenter une paroi latérale de la glacière et préciser le sens du transfert thermique au travers de celle-ci.
Transfert thermique du corps chaud, la pièce, vers le corps froid, l'intérieur de la glacière.
Pendant les 500 premières secondes, la température passe de q _i = 13,4°C à q ₅₀₀ = 14,4°C.
Q7. Montrer que le flux thermique moyen reçu par la glacière durant les 500 premières secondes est voisin de 7,2 W.
F =c_g (q ₅₀₀ -q _i) / 500 =3,6 10³/ 500=7,2 W.
On rappelle la relation entre le flux thermique F, la résistance thermique globale R_thet la différence de température entre l’extérieur et l’intérieur de la glacière q_ext − q_int:
F =(q_ext − q_int) / R_th.
Q8. Montrer que la résistance thermique globale R_th de la paroi de la glacière mesurée par cette méthode est voisine de 1,4 K·W^-1. On admettra que pendant les 500 premières secondes, la différence q_ext − q_int vaut 10,3°C.
R_th= (q_ext − q_int) / F =10,3 / 7,2~1,4 K W^-1.
Q9. Comparer le résultat de la question Q8 à celui de la question Q3 et commenter.
L'écart entre les deux résultats est de l'ordre de 10 %. Ces deux valeurs sont compatibles.

Partie 2
On détermine un modèle numérique à partir de l’expérience de la partie 1. On suppose que la fonction 𝜃 modélisant la température de l’air contenu dans la glacière, en degré Celsius, en fonction du temps t, en seconde, est définie sur l’intervalle [0; +∞[ par :
f(t) = −10,8 exp(-t / 5040) +24,2.
Q10. Déterminer la limite de f(t) en +oo et analyser le résultat dans le contexte de l’exercice.
exp(-t / 5040) tend vers zéro si t tend vers +oo et f(t) tend vers 24,2°C.
Au bout d'un temps suffisamment long, la température à l'intérieur de la glacière est égale à celle de la pièce.
Q11. Résoudre l’inéquation f(t) >17. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
−10,8 exp(-t / 5040) +24,2 > 17.
10,8 exp(-t / 5040) -24,2 < -17.
exp(-t / 5040) < (-17+24,2) / 10,8.
exp(-t / 5040) < 0,667.
-t /5040 < ln(0,667 )
-t / 5040 < -0,4055.
t > 0,4055 x5040 ; t > 2043 s.
Au delà de 2043 s, la boisson n'est plus fraiche.

Étude d’une centrale à cycle combiné. 6 points
Une centrale thermique à cycle combiné, comme celle de Bouchain dans le Nord de la France, dispose de deux
turbines : une turbine à gaz pour réaliser une combustion de gaz naturel et une turbine à vapeur pour valoriser l’énergie
des vapeurs issues de la combustion. Le rendement d’une telle centrale peut dépasser 60%, alors que le rendement
d’une centrale thermique à gaz classique se situe autour de 40%. Source : edf.fr
On se propose dans cet exercice d’étudier les caractéristiques particulières d’une centrale à cycle combiné.
Partie 1 – Étude du fonctionnement d’une centrale thermique à gaz classique
Dans cette première partie, on considère le fonctionnement d’une centrale thermique à gaz classique.
L’énergie produite par la combustion du gaz naturel permet de mettre un alternateur en mouvement et de produire de l’électricité. La chaîne de conversion énergétique d’une centrale à gaz simple est représentée sur la figure ci-dessous. Les valeurs des rendements de conversion énergétique sont indiquées pour la turbine à gaz et pour l’alternateur.

Q1. Nommer les deux formes de transfert d’énergie mises en jeu dans la centrale à gaz simple, numérotées 1 et 2 sur la figure 1 : .transfert mécanique.
2: transfert électrique.
On s’intéresse au fonctionnement de la centrale pendant une heure, durant laquelle la centrale fournit au réseau EDF une énergie utile Eu = 2,8×10⁸ Wh.
Données :
- on rappelle : 1 Wh = 3600 J.
Q2. Calculer le rendement global de conversion énergétique de l’installation. En déduire que la valeur de l’énergie consommée E_cons par heure par la turbine à gaz est voisine de 2,6×10¹² J.
0,41 x 0,95=0,3895 ~0,39 (39 %).
E_cons = Eu / 0,39 =2,8 10⁸ /0,39=7,2 10⁸ Wh ou 7,2 10⁸ x3600 ~2,6×10¹² J.
Pour simplifier l’étude, on considère que le gaz utilisé est constitué uniquement de méthane, constituant majoritaire du gaz naturel.
Données :
- formule brute du méthane : CH₄ ;
- masse molaire moléculaire du méthane : M(CH₄) = 16 g·mol^-1 ;
- le pouvoir calorifique PC d’un combustible est égal à l’énergie libérée lors de la combustion d’un kilogramme de combustible. Pour le méthane PC = 55 MJ·kg^-1.
Q3. Écrire l’équation-bilan de la réaction de combustion complète du méthane.
CH₄ +2O₂ --> CO₂ + 2H₂O.
Q4. En considérant que l’intégralité de l’énergie issue de la combustion est fournie à la turbine, montrer que la masse de combustible consommée pendant une heure dans la turbine à combustion est m = 4,7×10⁴ kg.
m=E_cons / PC =2,6 10¹² / (55 10⁶)=4,7×10⁴ kg.
Q5. Déterminer la quantité de matière de méthane consommée. En déduire que la quantité de matière de dioxyde de carbone produit vaut environ n_CO2 = 2,9×10⁶ mol.
n_CH4 =m / M(CH₄) =4,7 10⁷ / 16 =2,94 10⁶ mol.
n_CO2 =n_CH4 = 2,9×10⁶ mol.

Partie 2 – Étude de l’ajout d’une turbine à vapeur
Afin d’augmenter le rendement global de la centrale thermique à gaz, on souhaite valoriser l’énergie thermique des fumées issues de la combustion. Les fumées sont utilisées pour obtenir de la vapeur d’eau par le biais d’un évaporateur. La vapeur d’eau issue de l’évaporateur entraîne une turbine à vapeur reliée à un alternateur. Elle circule ensuite dans un condenseur où elle est refroidie et condensée.
Q6. Lors de la transition du point A au point B, la pression est constante. Préciser le nom du changement d’état qui a lieu dans l’évaporateur au point X repéré sur la figure.

Vaporisation.
Q7. Déterminer la valeur de l’énergie reçue par une masse d’eau de 1 kg, pendant le changement d’état se produisant au point X.
Energie massique de vaporisation : 2,26 10⁶ J / kg.
À l’entrée de l’évaporateur A, l’eau est liquide et sa température vaut 24,3°C. Dans l’évaporateur, l’eau subit une transformation que l’on peut décomposer en plusieurs étapes :
- Étape 1 : élévation de la température de l’eau liquide de 24,3°C à 320°C.
- Étape 2 : vaporisation de l’eau à température constante.
- Étape 3 : élévation de la température de la vapeur d’eau de 320 °C à 520°C, à la sortie de l’évaporateur B.
Q8. Déterminer la valeur de l’énergie reçue par une masse d’eau de 1 kg au cours de chacune des étapes de la transition du point A vers le point B. En déduire que l’énergie totale reçue par cette masse d’eau dans l’évaporateur est voisine de 3,9×10⁶ J.
Etape 1 : C_l ( 320-24,3)=4 185 x 295,7=1,237 10⁶ J.
Etape 2 : 2,26 10⁶ J.
Etape 3 : C_g(520-320)=1850 x 200=3,7 10⁵ J.
Total : 3,867 10⁶ ~3,9 10⁶ J.
Grâce à la combustion et à la valorisation de l’énergie produite par la turbine à vapeur, une énergie utile de valeur E_u = 2,8×10⁸ Wh peut ainsi être fournie au réseau EDF pendant une heure en produisant une quantité de matière de CO₂ n'=2,7×10⁶ mol.
Q9. Comparer la quantité de matière de CO2 n ' à celle qui a été calculée à la question Q5, pour une même valeur d’énergie fournie. Indiquer l’intérêt d’utiliser des centrales à cycle combiné pour produire de l’électricité.
n =2,9×10⁶ mol ; n'=2,7×10⁶ mol.
n est a peu près identique à n'.
Flexible et réactive, une centrale à cycle combiné possède un rendement supérieur à celui d'une centrale thermique classique tout en produisant la même quantité de dioxyde de carbone.