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exercice
1
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bande
passante d'un oscillateur
mécanique
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Pour étudier un oscillateur
mécanique, on mesure l'amplitude x de ses
oscillations en fonction de la fréquence f
de son excitateur. On obtient le tableau
suivant:
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f(Hz)
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0,4
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0,6
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0,8
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1
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1,1
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1,22
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1,24
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1,28
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1,32
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1,34
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1,4
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x(cm)
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1
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1,3
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1,6
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2,3
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3,5
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9,5
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12,1
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13,4
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11,9
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9,5
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5
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la largeur de la bande passande de cet oscillateur
est : 1,28Hz ; 3,9 cm ; 0,12 Hz ; 2hz ; 9,5 hz
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corrigé
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amplitude maximale : 13,4 cm(
phénomène de résonance)
bande passante
:
ensemble des fréquences telles que
l'amplitude soit supérieure à 9,5 cm
soit (13,4 / 1,414)
1,34-1,22 =
0,18 Hz
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exercice
2
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fronde
assimilé à un pendule
simple
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Une fronde est constituée d'un fil
inextensible , de masse négligeable, de
longueur l=50 cm, et d'un petit solide de masse
m=20g, fixé à l'une de ses
extrémité. L'amplitude angulaire est
10°
La période des oscillations est voisine
de 1,4 s(répondre vrai
ou faux)
La période de ce
pendule simple est indépendante de
l'amplitude , car celle ci est petite.
La masse ayant un
mouvement circulaire , le produit vecteur vitesse
scalaire vecteur accélération est
nul.
On fait tourner le
dispositif dans un plan verticale à la
façon d'une fronde. Au point le plus bas la
vitesse est notée v0. Pour que la
rotation ait entierement lieu, il faut que
v0 soit au moins égale à
3,2 ms-1.
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corrigé
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la période est
6,28*0,2258=1,42
s
 vrai
si l'amplitude
angulaire est inférieure à 20°
ou 0,35 rad
vecteur vitesse et
vecteur accélération sont
perpendiculaires si le mouvement est
circulaire
et uniforme
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Soit v la vitesse minimale au point le plus hau
t. La seconde loi de Newton s'écrit ,
suivant l'axe n de la base de Frenet
. T + mg=m v2/
longueur
Pour atteindre le point le
plus haut, le fil restant tendu , la tension est
positive ou nulle . La vitesse minimale au point le
plus haut est donc
gl=v2
conservation de
l'énergie mécanique :
0,5m
v20=0,5mv2+g*2l
donc
v20=v2+4gl=5gl
soit une vitesse v0
minimale de
4,94
ms-1
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exercice
3
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oscillateur
mécanique horizontal
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On néglige tout frottements. La constante
de raideur du ressort est égale à 10N
/m. La masse du solide fixée à une
extrémité du ressort est 100g.
A partir de l'équilibre on exerce une
force horizontale de valeur 1 N à
l'extrémité du ressort, la longueur
de celui ci devient alors égale à 10
cm vrai ou faux
On considère
l'oscillateur en mouvement. A l'instant t, le
solide possède la vitesse v ,
l'énergie potentielle de l'oscillateur est
donc égale à E=Ep=K-0,5mv2
où K est une constante
La période des
oscillations est voisine de 0,63 s.
Comme il n'y a aucun
frottements, on peut dire que les oscillations sont
entretenues.
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corrigé
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faux la
déformation du ressort ou allongement est de
10 cm (la déformation
et la force sont proportionnelles
vrai
énergie
mécanique initiale 0,5 * k
*amplitude2
énergie
mécanique à la date t :
E=0,5mv2+ 0,5k
x2
conservation de l'énergie
mécanique
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6,28*0,1=0,628
s
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faux
aucun dispositif d'entretien
oscillations libres
sinusoidales
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exercice
4
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l'horloge
entretenue.
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Une horloge est constituée d'un pendule
simple entretenu de période propre 2 s. Pour
maintenir l'amplitude des oscillations constante,
l'horloge puise son énergie dans
l'énergie potentielle d'une masse de 1 kg
descendant d'une hauteur de 1 m par semaine.
g=9,8 m s-2.
longueur du pendule l= 1 m.
- Evaluer le travail des
frottements au cours d'une
oscillation.
- La longueur d'un
pendule simple peut varier avec la
température. Quel est l'allongement
Dl
acceptable pour que l'horloge indique encore
l'heure exacte à 10 secondes près
au bout d'un jour de fonctionnement.
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corrigé
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Energie potentielle stockée par
cette masse : m g h =1* 9,8 *1 =
9,8 J
une semaine =7*24*3600=604 800 s ou 302 400
oscillations
travail des frottements = opposé de
l'énergie utilisée à chaque
période pour entretenir le pendule
- 9,8/ 302 400=
3,24
10-5 J
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période
du pendule simple
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dérivée
logarithmique de la
période
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DT/T=10/(24*3600)=1,157
10-4
;
Dl
=2*1,157 10-4
=
2,3
10-4 m
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exercice
5
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pendule
conique
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- Une
masse m=0,1
kg ponctuelle est
attachée à un fil inextensible de
longueur l=1 m. La masse tourne autour de la
tige et l'angle a
est constant a=22,5°
; g=9,8 ms-2 .
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- Quelle est la vitesse angulaire w
en rad s-1 ?
- Quelle est la tension du fil ?
- Quelle est la valeur de la vitesse v ?
- Pour quelle valeur minimale de
w le fil commence t-il à se
détacher de la tige verticale ?
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corrigé
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L'accélération
est centripète dirigée vers O de
valeur
aN
=v²/OA =
w²*OA
avec
OA=l
sin(a)
tan(a)=
m aN / mg
voir schéma
ci contre
tan(22,5)=
w²
sin(22,5)/9,8
ou
bien
1/cos(a)=
w²/9,8
ou
bien
w²=9,8
/ cos(22,5)=10,6 ; w=3,26
rad
s-1.
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tension du fil
T= mg/cos(a) =
0,1*9,8/cos(22,5)=
1,06 N
vitesse de
A
v=w*OA=w*l
sin(a)=
3,26*sin(22,5)=
1,25
ms-1.
valeur minimale de
la vitesse angulaire
cos(a)=9,8/
w²
voir ci
dessus
Lorsque le fil commence
à se détacher de la tige verticale ,
l'angle vaut encore 0 et cos(0)=1 d'où la
valeur minimale de la vitesse angulaire
:
w²=1/9,8
;
wminimale=3,13
rad
s-1.
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exercice
6
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dilatation
et période d'un pendule
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Un balancier d'horloge est
constitué d'une tige d'un alliage de cuivre
qui oscille autour d'un axe horizontal passant par
l'extrémité supérieure de la
tige. A l'extrèmité inférieure
est fixée une lourde masse de bronze. La
température augmente de 20°C.
(vrai ou
faux)
loi de la dilatation
L=L0(1+aT)
; a
positif; L et
L0 longueur à t°C et
0°C ; T température en Kelvin
;T(K)=273+
température en °Celcius.
- L'horloge
retarde.
- La masse du pendule
change.
- Le poids du pendule
change.
- L'horloge
avance.
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corrigé
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vrai
Le balancier est assimilé à un
pendule simple. Sa période est
proportionnelle à la racine carrée de
la longueur. Celle ci
augmente avec la
température.
L'horloge
retarde.
faux
La masse est
invariable.
faux
le poids varie avec l'altitude et dépend de
la position où l'on se trouve par rapport
à une planète.
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exercice
7
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ressort
sur plan incliné -abscisse et
vitesse
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raideur
k=10Nm-1 ; longueur ressort à
vide 20 cm ; masse fixée au ressort m=100 g
; angle
a=45° ; g=10
ms-2. On écarte le ressort de 2
cm de sa position d'équilibre vers le bas et
on le lache sans vitesse à l'instant
t=0.
- Quelle est la
pulsation de cet oscillateur ?
- Exprimer en fonction
du temps l'abscisse du centre d'inertie G de la
masse fixée au ressort.
- Exprimer en fonction
du temps la vitesse de G .
- Exprimer en fonction
du temps l'énergie mécanique du
système masse ressort.
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corrigé
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L'origine des énergies potentielles
est la position d'équilibre du ressort.
w²=k/m=10/0,1
=100
w=10
rad s-1
abscisse =amplitude fois
cos(wt+j)
x= 0,02
cos(10t+j)
à la date t=0
x=0,02 mètre
0,02=0,02
cos(j)
alors j=0....x=
0,02 cos(10t)
vitesse
=dérivée de l'abscisse par rapport au
temps
x'=v= 0,02
*10*(-sin(10t))
v= -0,2
sin(10t)
E méca =E
potentielle +E cinétique
0,5 kx²+ 0,5
mv²= 0,5 k amplitude²=constante
(absence de
frottements)
E=0,5[ 4
10-3cos²(10t) + 0,1*4
10-2
sin²(10t)]=
2
10-3 J
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exercice
8
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ressort
:équation horaire - travail à
fournir
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Un ressort de raideur k=10 Nm-1
peut se déplacer le long d'un axe
horizontal. L'une de ses extémité est
fixe . A l'autre on accroche un solide S de mase
m=0,1 kg. L'origine des
énergies potentielle est la position
d'équilibre du
ressort.Il oscille
avec une amplitude de 4 cm, sans vitesse initiale.
(répondre vrai
ou faux)
- L'équation horaire du centre
d'inertie G de S est : x=0,04sin(10t)
- La vitesse maxi est 0,4 m
s-1.
- Le travail fourni pour allonger le ressort
de 2 cm est 2 mJ.
- On allonge le ressort de 2 cm de plus; le
travail supplémentaire à fournir
est 4 mJ.
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corrigé
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faux
la vitesse est la dérivée de
l'abscisse x par rapport au temps soit
0,04*10*(cos(10t)).
Donc à t=0 la vitesse
vaut 0,4 m s-1 en contradiction avec le
texte.
x=0,04cos(10t) est correct
vrai
expression de la vitesse
v=x'=0,04*10*(-sin(10t)).
la valeur maxi est bien 0,4 m s-1
à t=0,25
période par exemple
vrai
Le travail fourni se retrouve sous forme
d'énergie potentielle élastique
stockée par le ressort.
0,5*10*0,02²=2
mJ
faux
la déformation totale du ressort est
0,04 m
0,5*10*0,04²=8 mJ
donc 6 mJ de
plus
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pulsation
w²=k/m
w=rac
carrée
(10/0,1)
=10 rad s-1.
énergie
potentielle élastique
0,5 k
x²
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exercice 9
:
Un mobile auto porteur de
masse m=350g est accroche en A un ressort
horizontal dont l'autre extremite B est fixe. Le
mobile se deplace sans frottement, un dispositif de
guidage contraint son cenre d'inertie G a ne se
deplacer que selon un axe x'x passant par A et
B.
- On utilise un ressort
R1 et on mesure une periode
T1=0,5s. En deduire la raideur
K1 du ressort.
- Calculer
l'énergie mécanique totale
E1 du système lorsque le
mobile effectue des oscillations d'amplitude
Xm=3cm, en considérant comme nulle
l'energie mécanique du système
immobile dans sa position d'equilibre.
- en déduire, pour des oscillations de
cette amplitude, la vitesse du mobile lorsqu'il
repasse par la position
d'équilibre.
- On souhaite obtenir
des oscillations de période
T2=2T1 en remplacant le
ressort R1 de raideur k1
par un ressort R2 de raideur
K2.
- calculer k1/K2 .
- calculer l'amplitude des oscillations du
système fonctionnant avec le ressort
R2 pour que son énergie
mécanique conserve la valeur E1
calculée ci-dessus .
- Quelle sera alors la
vitesse du mobile au passage par la position
d'équilibre ?
corrigé
:
T = 6,28 racine
carrée ( masse / raideur ressort)
0,5 ² = 6,28 ² *
0,35 / K1
K1 =
55,2
N/m.
énergie
mécanique : 0,5 fois raideur fois
amplitude au carré=
½K1a²
0,5 *55,2 * 0,03 ² =
0,025
J.
au passage à la
position d'équilibre l'énergie est
sous forme cinétique 0,5 m v²
v = rac
carrée(0,025 *2 / 0,35 )=
0,376
m/s.
si la période
double :
la raideur doit diminuer
car elle intervient au dénominateur
en tenant compte de la
racine carrée la nouvelle raideur doit
être égale à K2 =
K1 / 4
K1 /
K2 = 4 ou K2 = 55,2 / 4=
13,8
N/m.
nouvelle amplitude
:
0,025 = 0,5*13,8 X²
X =
0,06
m.
vitesse de passage
à la position d'équilibre
inchangée car énergie
mécanique inchangée.
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