oscillateurs mécaniques

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1

équation horaire

Une bille de rayon R accrochée à un ressort est plongée dans un liquide de coefficient de viscosité h. Elle est soumise à une force de frottement fluide.

La raideur du ressort est k et sa période d'oscillation dans l'air est T0.

Ecrire l'équation différentielle en X = (z-ze) du mouvement en prenant pour origine la position d'équilibre E de la sphère. On posera 2l=6pRh / m.

Exprimer l'équation horaire du mouvement de la sphère.


corrigé


système : bille ; référentiel terrestre galiléen

projection de la relation fondamentale de la dynamique sur l'axe Oz


C'est l'équation différentielle linéaire à coefficients constants (sans second membre ) d'un oscillateur amorti.

Les solutions sont du type :


2

coefficient de viscosité

 

 

On obtient des oscillations amorties de pseudo-période T= 2p / w. Donner l'expression de h en fonction du rayon de la bille, de T0, et de T.


corrigé


 

pseudo période des oscillations amorties T= 2p / w.

période des oscillations non amorties ( dans l'air) : T0= 2p / w0.

w²=w0²-l²


3

proton dans un champ électrostatique oscillant

 

Un proton de masse m et de charge e est soumis à une force de freinage f et à l'action d'un champ électrostatique E variable (voir schéma) . le poids est négligeable.

Ecrire l'équation différentielle où figure la vitesse.

Montrer qu'au bout d'un temps suffisamment long (régime permanent) le mouvement s'effectue suivant ox


corrigé


système : proton référentiel terrestre galiléen

relation fondamentale de la dynamique :

résolution de la première équation différentielle du 1er ordre à coefficients constants avec second membre. La solution est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.


4

utiliser les nombres complexes

 

 

Montrer que la solution du régime permanent est Vx = V cos(wt + j) où V et j sont des fonctions de w à déterminer.


corrigé


il suffit d'écrire que les modules sont égaux et que les arguments sont égaux.


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