mouvement circulaire

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1

réaction du support

Une bille de masse m est lachée sans vitesse du point A d'une sphère de rayon r, de centre O.

Les frottements sont négligés.

Exprimer dans le repère de Frenet l'accélération de la bille.

Ecrire l'équation différentielle du mouvement en fonction de q et de ses dérivées. Exprimer la réaction du support.


corrigé


système : bille ; référentiel terrestre galiléen

projection de la relation fondamentale de la dynamique du point dans le repère de Frenet.


2

vitesse de la bille

 

 

Exprimer les énergies potentielle, cinétique et mécanique en fonction de q et q'.

En déduire la vitesse de la bille à chaque instant


corrigé


 

Energie cinétique : 0,5 mv²= 0,5 mr²q

Energie potentielle de pesanteur (origine en O) : mgz = mg r cos q.

Energie mécanique : E= 0,5 mr²q'² + mg r cos q.

En absence de frottements, l'énergie mécanique se conserve.

Sa valeur initiale est E = mgr

mgr = 0,5 mr²q'² + mg r cos q.

gr = 0,5 r²q'² + g r cos q

q= = 2gr(1-cos q)


3

la bille quitte le support

 

Exprimer la réaction du support en fonction de m, g, q.

Pour quelle valeur de q, la bille quitte -t-elle le support ?

Quelle est alors sa vitesse ?


corrigé


R = mg cosq - mv²/r = m ( g cosq -2gr(1-cos q) )

R= mg ( 3 cosq -2).

La bille reste en contact tant que la réaction du support est positive ou nulle.

3 cosq -2 > 0 ou cos q >2/3 soit q<48°

La vitesse de la bille vaut alors :

= 2gr(1-cos q) = 2gr(1-2/3) = 2gr / 3


4

pendule simple

équation horaire

période

 

La bille est lancée de la position d'équilibre stable M0 avec une vitesse v0 horizontale.

Ecrire l'équation différentielle du mouvement (cas des amplitudes faibles).

Donner l'équation horaire et exprimer la période en fonction de L et g ( L = longueur du pendule)


corrigé


système = masse m ; référentiel terrestre galiléen.



5

aspect énergétique

Exprimer les énergies potentielle, cinétique et mécanique de la masse m fixée au fil. Exprimer la vitesse à chaque instant.

Montrer que par dérivation par rapport au temps on retrouve l'équation différentielle du mouvement.


corrigé


Energie cinétique : 0,5 mv²= 0,5 mL²q

Energie potentielle de pesanteur (origine en M0et axe vertical ascendant) :

mgz = mg L(1- cos q).

Energie mécanique : E= 0,5 mL²q'² + mg L(1- cos q).

En absence de frottements, l'énergie mécanique se conserve.

Sa valeur initiale est E = 0,5mv0²

0,5mv0² = 0,5 mL²q'² + mg L(1- cos q).

0,5v0² = 0,5 L²q'² + g L(1- cos q).

q= = v0² - 2gL(1-cos q)

En dérivant cette expression par rapport au temps :

L² 2q' q" = 2gL q' (-sinq)

Lq" + gsinq =0


6

différents types de mouvement

Quels sont les différents types de mouvements suivant les valeurs de la vitesse initiale ?
corrigé


On a des oscillations autour de M0 s'il existe une valeur de q maximale pour laquelle dq / dt = 0

= v0² - 2gL(1-cos qmax) = 0

Le fil doit d'autre part rester tendu : T positive ou nulle

T= mg cos qmax + mLq


Si v0² est supérieur à 4gL il n'y a pas de mouvement oscillatoire autour de M0.

Le fil doit d'autre part rester tendu lorsque q = p.

v²(q = p) = v0²-4gL

T(q = p) = mg cos p + mv²(q = p) / L positive ou nulle

-mg + m(v0²-4gL)> 0

si v0²> 5gL mouvement circulaire

si 2gL > v0² > 5gL

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