Aurélie juin 01
l'avion et le missile

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Un avion vole horizontalement à l'altitude h à la vitesse costante notée v. Un missile placé initialement au sol. A l'instant t = 0, l'avion passe à la verticale du missile; le missile décolle en direction de l'avion. la vitesse du misile est le double de celle de l'avion; on suppose que le missile est, à tout instant, dirigé vers l'avion.

  1. Etablir l'équation de la trajectoire du missile.
  2. Déterminer l'instant de l'impact.
     

corrigé
équations horaires du mouvement de l'avion :

x(t) = v t

z(t) = h = cte

trajectoire de l'avion : droite d'équation z = h

équations horaires du mouvement du misile :  

le vecteur 2v et le vecteur MA sont toujours colinéaires.

On note x' = dx / dy

 

vt-x = x' (h-y)

dériver cette relation par rapport au temps

v = (h-y) x" dy / dt (1)


Au cours du temps très petit noté dt, le missile parcourt la distance très petite notée dL à la vitesse 2v.

Exprimons de deux manières différentes cette distance dL :

dL= 2v dt

dL² =dx² + dy²

mettre dy² en facteur commun et remplacer dx/ dy par x':

dL² =dy²(1+x'²)

repport dans (1) :

On retrouve l'équation différentielle dont on connaît les solutions :

Comment déterminer la constante ?

à l'instant t=0, le missile est au sol (y=0) et il est vertical ( x'=z =0)

Cte = -0,5( h0,5 -h-0,5 ) ; cette constante sera notée C1.

On choisi h comme unité de longueur; alors C1 est nulle.

Comment passer de z = x' à x ?

On pose Y=h-y

La primitive de (Y)½ est : 2/3 (Y)1,5+ cte

La primitive de (Y)-0,5 est : 2 (Y)0,5+Cte.

d'où la trajectoire du missile : x = 1/3 (Y)1,5 + (Y)0,5 + C2.

Comment déterminer C2?

à t=0, le missile est en O (0 ; 0) et Y=h

C2= -1/3 h1,5 + h 0,5.

h étant l'unité de longueur, C2= 2/3.


instant de l'impact:

 Le missile rencontre l'avion lorsque Y = 0.

d'une part : ximpact = C2=2/3

d'autre part : ximpact = v timpact

timpact = 2 /(3 v ) , h étant l'unité de longueur

timpact =  2h /(3v)

 


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