mécanique un choix de ressorts (première terminale )

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cours

position d'équilibre - énergie potentielle élastique

l0 : longueur à vide (m)

x:déformation ou allongement (m)

à l'équilibre , tension et poids sont opposées

tension(N)= raideur (Nm-1)* allongement (m)

poids(N) = masse (kg)* 9,8 (ms-2)


énergie potentielle élastique

0,5 raideur* allongement ² = 0,5 kx²


exercice 1

courbe tension=f(allongement)

  1. Compléter le tableau suivant: longueur du ressort à vide l0= 20 cm

masse (g)
100
150
200
250
300
350
longueur (cm)
25
27,4
30
34,8
40
44,3
T:tension (N)







x:allongement (m)







  1. Tracer le graphe T=f(x) en déduire la raideur. prendre g=10 ms-2.

..

corrigé



masse (g)
100
150
200
250
300
350
longueur (cm)
25
27,4
30
32,8
35
37,8
T(N)=masse (kg)*10
1
1,5
2
2,5
3
3,5
x(m)=longueur (m)-0,2
0,05
0,074
0,1
0,128
0,15
0,178



exercice 2

un tableau de mesures à interpréter compléter d'abord

  1. masse accrochée(g)
    100
    150
    200
    250
    300
    longueur du ressort (cm)
    20
    24,9
    30
    35,6
    40
    tension (N)






    allongement (m)






    En déduire la raideur k et la longueur l0 du ressort. prendre g=10ms-2 .

..

corrigé



masse accrochée(kg)
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
longueur du ressort (cm)
0,2
0,249
0,3
0,356
0,4
tension (N)=masse(kg)*10
1
1,5
2
2,5
3
allongement (m)
0,1
0,149
0,2
0,256
0,2
raideur =T/ allongement
10
10,06
10
9,76
10
la longueur du ressort augmente de 10 cm à chaque fois que l'on accroche 100 g supplémentaires : l0=10 cm.


exercice 3

ressort en équilibre sur un plan incliné

l0=30 cm; k=20 Nm-1 ; m =100 g; a=15°

Quelle est la longueur du ressort ?

.

corrigé



A l'équilibre la somme vectorielle des forces appliquées à la bille est nulle. T=mgsin(a)

T=0,1*9,8*sin(15)= 0,253 N

de plus T=k(l-l0)

l=l0+ T/k = 0,3+0,253/20= 0,312 m


exercice 4

deux ressorts en parallèle

Quel ressort unique est équivalent à ce dispositif (longueur initiale et raideur) ?

l0 :longueur à vide du ressort 1

l'0 :longueur à vide du ressort 2

l longueur commune de chaque ressort

..



corrigé



T1=k1(l-l0) ; T2=k2(l-l'0) ;

A l'équilibre : Mg= k1(l-l0) + k2(l-l'0)

Mg= ( k1+ k2) l -(k1l0 + k2l'0)

Mg= ( k1+ k2)[ l - (k1l0 + k2l'0) /( k1+ k2)]

raideur du ressort unique : k1+ k2

longueur à vide de ce ressort : (k1l0 + k2l'0) /( k1+ k2)

si les deux ressorts sont identiques : 2 k et lo


..



exercice 5

deux ressorts bout à bout

Quel ressort unique est équivalent à ce dispositif (longueur initiale et raideur) ?

l0 :longueur à vide du ressort 1

l'0 :longueur à vide du ressort 2

.

corrigé



en A point immobile et sans masse les deux tensions sont égales

T1=T2= k1(l1-l0) =k2(l2-l'0)

en B : Mg= k2(l2-l'0)

l'allongement du système est

DL= ( l1+ l2) -(l0 + l'0)

DL =( l2- l'0) + ( l1- l0) =( l2+ l'0) +k2 /k1(l2-l'0)

DL =( l2- l'0)[ 1+k2 /k1]

Mg= k2 / [ 1+k2 /k1] DL

raideur du ressort unique : k2 / [ 1+k2 /k1]=k1k2 / ( k1+ k2)

longueur à vide de ce ressort : l0 + l'0

si les deux ressorts sont identiques : 0,5 k et 2lo


exercice 6

ressort suspendu dans un véhicule qui démarre

La vitesse du véhicule passe de 0 à 72 kmh-1 en 10 secondes. Un ressort est fixé au plafond du véhicule; à l'autre extrémité est fixé une masse m=100g.

Quel est l'allongement du ressort lors de la phase de démarrage ? k=10Nm-1.

.

corrigé



variation de la vitesse du véhicule 72/3,6 = 20 ms-1.

accélération du véhicule: 20 / 10 = 2 ms-2 .

tan(a)=2/9,8 = 0,204 ; a= 11,53°

tension = ma/ sin(a) = 0,1*2 / 0,2 = 1 N

allongement = tension/raideur = 0,1 m


exercice 7

pendule conique

la vitesse de rotation est constante 120 tours par minute.

masse de la bille accrochée au ressort m=200g

la longueur du ressort est 50 cm

raideur du ressort k=100 Nm-1.

  1. Quel est l'allongement du ressort ?
  2. Quel est l'angle a?
  3. Quelle est la vitesse de la bille ?

..

corrigé




vitesse angulaire :

w=120/60*2p=12,56 rad s-1.

Rayon du cercle : l sin(a)

l'accélération est centripète

aN=w²Rayon cercle =w² lsin(a)

Tsin(a) = m w² lsin(a)

T =m w² l =0,2*12,56²*0,5= 15,77 N

T=kx ; allongement =15,77/100=0,157 m


angle

Tcos(a)=mg

m w² l cos(a)=mg

cos(a) = g / (w² l )

9,8/ (12,56²*0,5)=0,124 ; a=82,8 °

vitesse v =w lsin(a)

12,56*0,5*0,991 =6,22 ms-1.


exercice 8

ressort et choc élastique

La masse m=50g est placée contre M=1kg quand le ressort est au repos. On comprime le ressort de a= 10 cm et on le libère. Il se détend et il y a choc élastique. k=400Nm-1.

Calculer le vitesse V'1 de M et V'2 de m après le choc.

.

corrigé



conservation de l'énergie du système M+ressort juste avant le choc (V1=vitesse de M).

l'énergie potentielle élastique initiale est convertie en énergie cinétique

0,5 MV1² = 0,5 k a² ; V1²=k/M a²= 400/1*0,1²=4; V1=2 ms-1.


conservation de l'énergie cinétique lors du choc

0,5 MV1² = 0,5MV'1² + 0,5 mV'2²

4 = V'1² + 0,05 V'2²(1)


conservation du vecteur quantité de mouvement (projection sur Ox) après le choc les vitesses ont le sens de Ox

MV1 =M V'1 + m V'2

2 = V'1 + 0,05 V'2 (2)


la résolution du système de 2 équations donne: V'2 =3,81 ms-1 et V'1=1,81 ms-1.

..


exercice 9

propulsion à l'aide d'un ressort

La masse m=50g est placée contre M=1kg quand le ressort est comprimé de 10 cm et on le libère. Il se détend et la masse m est poussée progressivement k=400Nm-1.

Calculer le vitesse de m après quelle ait quitté la masse M.

..

corrigé



conservation de l'énergie du système M + m + ressort tant que les deux masses sont en contact (V1=vitesse de M).

la variation d'énergie potentielle élastique est égale à l'énergie cinétique

0,5 k a² - 0,5 kx²= 0,5 (M+m)V1²

lorsque x=0, m quitte M et le mouvement de m est rectiligne uinforme de vitesse

V= a rac carrée( k/ (M+m)) =1,95 ms-1.


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