Aurélie 02 /02
position instable - glissement - chute

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Un parallélépipède rectangle droit, homogène, noté S, de dimensions a, b, c, de centre d'inertie G ,de masse m est posé sur le bord d'une table. Dans cette position instable, il subit une action très faible qui provoque son basculement autour de O ,sans lui communiquer de vitesse initiale. Au début du mouvement il n'y a pas de glissement en O, l'action de la table est modélisée par une force R. L'axe parallèle au bord de la table passant par O est noté D. Le moment d'inertie du solide S par rapport à D est : J D = m /3 [a²/4 +b²].

Les grandeurs écrites en bleu et gras sont des vecteurs.

 

  1. Le solide est-il un système conservatif ?
  2. Déterminer q' et q " en fonction de q.
  3. Exprimer T et N en fonction de q .
  4. Représenter T / (mg) et N / (mg) en fonction de q .(a = 10 cm et b= 1cm).
  5. Le solide S commence à glisser pour q = p/4. Quel est le coefficient de frottement noté f.
  6. Chute du solide S :
    A partir du moment où le solide S commence à glisser, il quitte rapidement la table et son mouvement est une chute libre. Déterminer la valeur de q' pour q = p/4.
    - Les frottements sont négligeables ; montrer que le mouvement de G, centre d'inertie du solide, s'effectue dans un plan vertical.
    - La vitesse de rotation reste-t-elle constante ?
    - Déterminer les équations horaires du mouvement de G. En déduire le temps de chute si h= 0,8 m.
    - De quel angle a tourné le solide S lorsqu'il touche le sol ?

corrigé
relation entre q et q ' :

système étudié : le solide S ; référentiel galiléen lié à la table.

Tant que le solide S ne glisse pas, la puissance de l'action de contact avec la table est nulle ; le système est conservatif et l'énergie mécanique de ce dernier est constante.

énergie mécanique à la date t = 0, solide à plat sur la table ( q =0°) :

la surface de la table est choisie comme origine de l'énergie potentielle de pesanteur ; l'altitude du centre de gravité du solide est ½ b et l'énergie mécanique vaut : EM = ½ m g b.

à une date t ( rotation d'un angle q ):

altitude de G :½ b sinq : énergie potentielle de pesanteur : ½ m g b cosq

vitesse angulaire q' ; énergie cinétique : ½ JD q' ²

énergie mécanique : EM =½ m g b cosq +½ JD q' ²

conservation de l'énergie mécanique : ½ m g b =½ m g b cosq +½ JD q' ²

q' ² = mg / JD b(1-cosq ).


relation entre q et q " :

q' = [mg / JD b(1-cosq )]½.

dériver q' par rapport au temps : la dérivée de 1-cos q vaut : sin q q '.

q" = ½[mg / JD b sin q q ' ] [mg / JD b(1-cosq )]

q" = ½mgb / JD sin q.


théorème de la résultante dynamique :

sur l'axe ur : N-mg cosq = - m ½b q' ²

le signe moins vient du fait que l'accélération normale est dirigée vers O, en sens contraire de l'axe ur .

avec q' ² = mg / JD b(1-cosq ).

N = mg cosq - ½ m²b²g / JD (1-cosq ).

sur l'axe uq : -T + mg sin q = m ½ b q"

avec q" = ½mgb / JD sin q.

T = mg sin q -m²gb² / (4JD )sin q = mg sin q[1 -mb² / (4JD )].

or JD = m /3 [a²/4 +b²] avec a = 10 b alors le terme mb² / (4JD ) est négligeable devant 1.

T voisin de mg sin q et N voisin de mg cosq.

T / (mg) voisin de sin q et N / (mg) voisin de cos q.


glissement :

le glissement apparaît quand la norme de T devient égale au coefficient de frottement f fois la norme de N

T = f N soit f = T / N voisin de tan q voisin de 1.


chute :

Dès que le solide S commence à glisser, il perd contact avec la table et S est en chute libre.

q'(q=p/4) =q'0 = [mg / JD b(1-cos(p/4 ))]½=[0,293 mbg / JD ]½

JD = 8,66 10-4 m ; q'0 = [0,293 *0,01*9,8 / 8,66 10-4]½ =5,75 rad/s

plan de chute : considérons l'axe Oz perpendiculaire au plan de la figure

la relation fondamentale de la dynamique s'écrit sue cet axe Oz : z" = 0 ; par intégration z' = Cte or la composante de la vitesse initiale est nulle sur Oz : par suite z' =0 et par intégration z = Cte.

le mouvement s'effectue dans le plan Oxy.

vitesse de rotation :

dans le référentiel barycentrique lié au solide, le théorème du moment cinétique s'écrit :

Le moment du poids est nul dans ce référentiel donc : J q" = 0 soit q' = Cte = q'0.

équations horaires du mouvement de G :

accélération : a ( 0;-g ; 0)

vitesse initiale : v0 (½bq'0cos (p/4) ; -½bq'0cos (p/4) ; 0)

position initiale : OM0 (0,5 b cos (p/4) ; 0,5 b sin (p/4) )

le vecteur vitesse est une primitive du vecteur accélération :

v ( ½bq'0cos (p/4); -gt -½bq'0cos (p/4) ; 0)

le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse :

OM ( x = ½bq'0cos (p/4)t +0,5 b cos (p/4) ; y = -½gt² -½bq'0cos (p/4) t + 0,5 b sin (p/4); 0)

or ½bq'0cos (p/4) = 0,5 * 0,01 *5,75 *0,707 = 0,02

or 0,5 b sin (p/4) = 0,5*0,01*0,707 = 0,0035

durée de la chute :

le second terme et le troisième terme dans l'expression de y sont rapidement négligeables devant ½gt² et la durée de la chute est voisine de :

-h = -½gt² soit t² = 2h /g = 2*0,8 / 9,8 = 0,163 d'où t = 0,4s.

de quel angle a tourné le solide ? :

q = q0 + q'0t = p/4 + 5,75*0,4 = 3,08 rad.


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