Aurélie 01/02
oscillations forcées- résonance


oscillations libres

oscillations forcées

résonance d'amplitude

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à l'équilibre : mg = k(Lé-L0)
oscillateur harmonique

écarté de sa position d'équilibre le ressort oscille

amortissement faible :

régime pseudopériodique


équation différentielle : x" +w0²x =0

pulsation propre : w0² = k /m

solution : x = B sin (wt+j)

éq. différentielle : x" +2a x'+ w0²x =0

pulsation : w² = w0² -a² avec a = l / m

solution : x = B exp( -at) sin (wt+j)


oscillations forcées : le support et la masse m sont en mouvement

relation fondamentale de la dynamique projetée sur un axe verticale vers le bas :

mx" = mg - 2a x'-k( Lé + x-X1-L0)

or mg = k(Lé -L0) ; mx" = - 2l x' - kx + kX1 ; x" = - 2l /m x' - k/m x + k/mX1 ;

x" +2a x'+ w0²x = k/mX1Mcos (Wt) (1)

la solution de l'équation sans second membre est amortie exponentiellement : elle correspond à un régime transitoire.

La solution particulière correspond au régime permanent.

On se place au bout d'un temps suffisamment long pour que le régime permanent soit atteint : la solution de l'équation sans second memnbre est alors négligeable devant la solution particulière.

l'excitateur force l'oscillateur à osciller à la fréquence de l'excitateur.

X = Xm cos (W t+j)

ou encore en notation complexe : X =Xm exp(jj) exp (jW t).

dérivées : X' = Xm exp(jj) jW exp(jW t) ; X" = Xm exp(jj) (-W²) exp(jW t) ;

repport dans (1) :

-Xm exp(jj) W² exp(jW t) +2a Xm exp(jj) jW exp(jW t) + w0² Xm exp(jj) exp(jW t)= k/mX1Mexp(jW t)

simplifcation par exp(jW t) :

Xm exp(jj) (w0² -W² +2a jW ) = k/mX1M

Xm (w0² -W² +2a jW ) = k/mX1Mexp(-jj)


résonance d'amplitude ( d'élongation , de "tension") :

pour quelles valeurs de la fréquence de l'excitateur, l'amplitude du résonateur est-elle maximum ?

dériver Xm par rappot à W en posant u = [(w0² -W²)² +4a² W² ] -0,5 soit dXm / dW = k/mX1M (-0,5 u' u -1,5).

u' = (w0² -W²)4W +8a² W = 4W ( w0² -W² +2a²)

s'annule pour W=0 et W²= w0² -2a². ( w0² -2a² doit être positif)

de plus Xm tend vers X1M quand W tend vers zéro et Xm tend vers 0 quand W tend vers l'infini.

donc l'amplitude Xm passe par une valeur maximale quand W²= w0² -2a².

Q : facteur de qualité Q = w0 / (2a)

valeur maximale d'autant plus grande (résonance aigüe ) que l'amortissement est faible.


bande passante :

ensemble de pulsation telles que la valeur de l'amplitude Xm soit supérieure à 0,707 fois la valeur extremale.


déphasage :

tan j = 2aW /(W²-w0² )

la dérivée par rapport à W est négative : dj / dW = [2a(W²-w0² ) -4aW²]/(W²-w0² ) ²

la fonction donnant le déphasage est décroissante de 0 à -p, en passant par -½p à la résonance.

l'élongation est en retard sur l'excitateur.


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