Aurélie 10 /03
Oscillations d'un point matériel sur un guide parabolique

 
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Un mobile P de petites dimensions, de masse m, est astreint à se déplacer sans frotement, dans le plan xOy à l'intérieur d' un guide parabolique d'équation y = x2/(2p). p constante positive.

A la date t=0, le point P se trouve en A d'abscisse p, possédant la vitesse v0, tangente à l'arc de parabole. Le mobile est soumis à son poids et à l'action du support N, perpendiculaire à la vitesse en l'absence de frottement.

  1. Déterminer x'2 ( x' = dx/dt, composante horizontale de la vitesse) en fonction de la seule variable x.
  2. Déterminer l'altitude maximale y1 atteinte par le mobile ( O symbolise le sol).
    - En déduire la composante horizontale x" de l'accélération en fonction de la seule variable x.
    - Même question pour la composante verticale y".
  3. Déterminer en fonction de la seule variable x, les composantes horizontale Nx et verticale Ny de l'action du support.
    - Le mobile peut-il rester sur son support ?

corrigé
Seul le poids travaille ( N est perpendiculaire à la vitesse) et en conséquence l'énergie mécanique du mobile P est constante.

en A : Eméca = ½mv02 + mgy0 avec y0 = p2 / (2p) = ½p.

Eméca = ½mv02 +½mgp

en un point M (x,y) : Eméca = ½mv2 + mgy avec y = x2 / (2p)

Eméca = ½mv2 + mgx2/(2p)

½mv02 +½mgp = ½mv2 + mgx2/(2p)

v02+gp = v2 + gx2/p soit v2 = v02+gp -gx2/p (1).

D'autre part en dérivant y par rapport au temps ( x est une fonction du temps) :

y = x2 / (2p) donne y' = 2x x' / (2p) = x x'/p soit y'2 = x2 x'2 / p2 (2)

vitesse v : v2 = x'2 + y'2.

v02+gp -gx2/p = x'2 + x2 x'2 / p2 = x'2 [ 1+x2 / p2 ]

en mulipliant par p2 : x'2 = [p2v02+gp3 -gpx2] / [ p2 +x2 ].(3)


Quand le mobile atteint l'altitude maximale y1, la vitesse devient nulle :

x'2 = 0= [p2v02+gp3 -gpx12] / [ p2 +x12 ].

p2v02+gp3 -gpx12=0 soit x12=(pv02+gp2) /g.

or y1 = x12/ (2p) d'où y1= (v02+gp) /(2g).

accélération : dériver x' et puis y' par rapport au temps

(3) donne : 2x'x'' = [(-2gpxx')(p²+x²)-(p2v02+gp3 -gpx2)(2xx')] (p²+x²)-2.

x'' =[(-gpx)(p²+x²)-(p2v02+gp3 -gpx2)(x)] (p²+x²)-2.

[(-gpx)(p²+x²)-(p2v02+gp3 -gpx2)(x)] s'écrit : -gp3x-gpx3-p2v02x-gp3x +gpx3= -2gp3x-p2v02x

x'' = -p2x(2gp+v02)(p²+x²)-2.

y' = x x' / (p) soit y" = x'2/p +xx"/p

or x'2 = [p2v02+gp3 -gpx2] [ p2 +x2 ]-1.

y" = [pv02+gp2 -gpx2] [ p2 +x2 ]-1 -px2(2gp+v02)(p²+x²)-2

réduire au même dénominateur (p²+x²)2

y" =[(pv02+gp2 -gx2)(p²+x²)-px2(2gp+v02)](p²+x²)-2

(pv02+gp2 -gpx2)(p²+x²)-px2(2gp+v02) = p3v02+gp4 -gp2x2 + pv02x2+gp2x2 -gx4-2gp2x2-px2v02

= p3v02+gp4 -gx4-2gp2x2

d'où y"= (p3v02+gp4 -gx4-2gp2x2)(p²+x²)-2.


action du support :

ce qui est écrit en bleu et en gras est un vecteur.

 La relation fondamentale de la dynamique s'acrit : mg + N = ma.

soit Nx= mx" et Ny= m(y"+g)

Nx= -mp2x(2gp+v02)(p²+x²)-2.

Ny= m[(p3v02+gp4 -gx4-2gp2x2)(p²+x²)-2 +g]

réduire au même dénominateur (p²+x²)2 :

Ny= m[p3v02+gp4 -gx4-2gp2x2+gp4+gx4+2gp2x2](p²+x²)-2

Ny= m[p3v02+2gp4 ](p²+x²)-2

La composante Ny est toujours positive ; Nx est négative si x>0 et positive si x<0 :

L'action du support N est donc orientée vers la concavité de la parabole et le contact est toujours réalisé.


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