Aurélie oct 2001
quelques oscillateurs.

Capes 96 exercice suivant : oscillateurs paramètriques

autour de l'oscillateur harmonique

autres oscillateurs

le pendule pesant

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autour de l'oscillateur harmonique

 On s'intéresse à quelques propriétés des oscillateurs à une dimension, c'est à dire dont l'évolution en fonction du temps peut être analysée par une fonction x(t). On appelle oscillateur harmonique tout système dont la fonction x(t) correspondante est solution de l'équation différentielle :

w0 rad/s,est la pulsation propre de l'oscillateur

le pendule élastique :

On considère un solide (S) de masse m, de centre d'inertie G. Quand S est immobile dans le référentiel dulaboratoire, G est en O, origine de l'axe horizontal x'x. Le solide S a pour seul mouvement possible une translation restiligne le long de l'axe x'x.

S est soumis a une seule force, la tension T d'un ressort élastique de constante de raideur k, de masse négligeable. Il n'y a pas de frottement et le poids du solide est compensé par la réaction du support. La position de S est repérée par l'abscisse de G.

  1. Montrer qu'on a réalisé là un oscillateur harmonique dont l'évolution au cours du temps est régie par l'équation :

    Expliciter la fonction x(t) si les conditions initiales du mouvement sont à t=0, x(0)=A, amplitude positive et v(0) =0.

  2. On appelle espace des phases( dans ce cas précis, plan des phases) le plan de coordonnées {x, dx/dt}. Quel est pour l'oscillateur harmonique, la trajectoire du point P caractéristique de l'état du système dans l'espace des phases?
  3. de quelle fonction énergie potentielle la tension T dérive-t-elle? Retrouver l'équation ci-dessus en utilisant la conservation de l'énergie mécanique.

corrigé
Le système étudié est le solide S. Le référentiel est le laboratoire, référentiel supposé galiléen.

On applique le théorème du centre d'inertie , la seule force exercée sur S étant la tension du ressort.

avec w02= k/m

fonction solution de cette équation différentielle : x(t) = A cos (w0 t + j)

à t=0 : A =Acosj d'où cosj = 1 soit j = 0

x'(t) = -Aw0sin(w0 t)

à t=0 x'(0) = 0

x(t) = A cos (w0 t ).


plan des phases:

x'(t) = -Aw0sin((w0 t) soit x'² =A²w²0sin²(w0 t)--> sin²(w0 t) = x'² /(A²w²0)

x² = A² cos²(w0 t)-->cos²(w0 t) =x² / A²

or cos²(w0 t) +sin²(w0 t) =1

la trajectoire dont l'équation est donnée ci-dessus est, dans le plan des phases, une éllipse de demi grand axe A et de demi petit axe Aw0.


énergie :

La tension dérive d'une énergie potentielle; il existe une fonction Ep telle que :

l'origine de l'énergie potentielle élastique étant choisie à la position d'équilibre (G en O).

En l'absence de frottement il y a conservation de l'énergie mécanique .

E =½mv² +½kx²

dériver par rapport au temps ( la dérivée de u² étant 2 uu')

½ m 2 v v' + ½ k 2 x x' = 0

avec v' = x" et x' = v en simplifiant par v, on retrouve : m x" + k x=0

Autres oscillateurs :

  1. Le solide S précédent assimilable à un point matériel, est mobile sans frottement le long de l'axe des x. Il est soumis à une force F colinéaire à l'axe x'x et dérivant d'une fonction énergie potentielle Ep(x) qui ne dépend pas explicitement du temps
    - deux trajectoires du point P de l'espace des phases, défini à la question précédente, peuvent-elles se couper?
    - Quelles conditions Ep(x) et ses dérivées par rapport à x doivent-elles vérifier pour que le mouvement de M soit, au voisinage d'une position d'équilibre M0, d'abscisse x0 assimilable à celui d'un oscillateur harmonique.
  2. Le champ de force est réalisé de la façon suivante : le point M est mobile sans frottement sur l'axe x'x par l'intermédiaire d'un ressort de raideur k et de longueur à vide l0. O étant la projection orthogonale de A sur l'axe des x, on posera OA = l qui peut être plus grande ou plus petite que l0.

    - Exprimer l'énergie potentielle Ep(x) en fonction de x et des paramètres k, l et l0.
    - Y a-t-il des positions d'équilibre? Quelles sont les allures de la fonction Ep(x)?
    - Au voisinage de ces positions peut-on parler d'oscillateur harmonique?

  3. Différents systèmes physiques peuvent être modélisés par un solide S assimilable à un point matériel de masse m mobile le long d'un axe des x, soumis à une tension d'un ressort et à une force de frottement visqueux, c'est à dire opposée à la vitesse( - lx'). l constante positive.
  4. Etablir l'équation différentielle vérifiée par x(t). Indiquer l'allure des solutions suivant la valeur du coefficient l.
    - Pourquoi un dispositif de feinage à courants de Foucault réalise t-il mieux une telle force de freinage qu'une palettee dans un liquide?
    - Que penser du cas l<0?

corrigé
Le système physique n'a qu' un seul degré de liberté. Ecrire la conservation de l'énergie mécanique, puis dériver :on obtient une équation différentielle du second ordre de la forme x" = f(x, x').

Cette équation admet une solution unique pour des conditions initiales données.

Développons Ep(x) au voisinage de la position d'équilibre x0:

Ep(x) = Ep(x0) + (x-x0) (dEp / dx) x0 + ½(x-x0)² (d²Ep / dx²) x0 + ...

F = - dEp / dx

x0 est une position d'équilibre si F(x0) =0 soit (dEp / dx) x0 = 0

dériver Ep(x) pour étudier la stabilité de l'équilibre :

F= - dEp/dx =-dEp / dx) x0- (x-x0) (d²Ep / dx²) x0= - (x-x0) (d²Ep / dx²) x0

si la dérivée seconde est positive, alors F est du signe opposé à x-x0 ; le point matériel est soumis à une force qui le ramène vers sa position d'équilibre x0. l'équilibre est dit "stable".

Par contre si la dérivée seconde est négative, le point tend à s'éloigner de la position d'équilibre et l'équilibre est dit "instable".


expression de l'énergie potentielle :

Ep(x)= ½ kDl²= ½k[ (l²+x²)½-l0

dériver par rapport à x :

dEp/dx= kx[1- l0(l²+x²) ]

si l >l0, la seule position d'équilibre est x=0

si l <l0, il y a trois positions d'équilibre: x=0; x = (l0²-l²)½; x = -(l0²-l²)½

l'allure de Ep est représentée ci-dessous:

stabilité de l'équilibre :

pour x=0 : d²Ep/dx = k(1- l0/l) alors si l>l0 l'équilibre est stable. Si l<l0 l'équilibre est instable.

pour x = (l0²-l²)½ ou x = -(l0²-l²)½ , d²Ep/dx =k((1- l²0/l²) positive; ces positions d'équilibre sont stables.

Au voisinage des positions d'équilibres stables, on a un oscillateur harmonique.


le théorème du centre d'inertie s'écrit : R (action du support)

Les solutions de cette équation différentielle dépendent du signe du discriminant de l'équation caractéristique associée : D = l²-4km

D <0 frottement faible, régime pseudo-périodique

D =0, régime critique

D >0, régime apériodique

la force de frottement visqueux n'est pas rigoureusement proportionnelle à la vitesse. La force de freinage par courant de Foucault est proportionnelle à la vitesse.

l<0 : l'oscillateur reçoit de l'énergie. L'amplitude des oscillations augmente.


pendule pesant :

Il est constitué d'un solide de masse m et de centre de gravité G, mobile, sans frottement autour d'un axe horizontal D, perpendiculaire au plan de la figure. Le moment d'inertie du solide par rapport à cet axe est J

  1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par q(t). Montrer que si q reste petit, le pendule pesant peut être assimilé à un oscillateur harmonique de pulsation propre w²0 = mga / J.
  2. Etudier briévement le cas d'un pendule simple pour lequel le solide est constitué d'un point matériel de masse m suspendu à un fil tendu, sans masse de longueur l.

corrigé

Le système étudié est le pendule ; référentiel du laboratoire supposé galiléen.

Les forces agissant sur le système sont le poids et la réaction de l'axe. Le moment de la réaction de l'axe par rapport à O est nul.

Le moment du poids par rapport à O est -mgOG sinq.

Appliquer le théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe :

Jd²q/dt² = -mgOG sinq.

si l'angle est petit : sinq voisin de q radian.

Jq" + mgOG q =0

q" + mgOG / J q =0

il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique de pulsation propre [mgOG / J]½.


Pour un pendule simple J= ml² et la pulsation propre est w0² = g / l.

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