Aurélie 23/09/08
 

 

Distance séparant deux oiseaux ; traversée d'une rivière

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Deux oies situées initialement en E et S s'envolent au même instant, choisi comme origine des temps. ES=d. L'une se dirige vers E à la vitesse V0, l'autre se dirige plein sud à la vitesse V0. Les oies gardent le même cap durant tout le vol. Le vent souffle à vitesse constante V0 en direction du sud est (perpendiculairement à SE)

- Exprimer en fonction du temps la distance séparant les deux oies.

référentiel terrestre supposé galiléen

Représentons les vecteurs vitesses par rapport au sol des deux oies à t=0 en tenant compte de la vitesse du vent.

projections des deux vecteurs vitesses sur les axes:

V1x = 0 ; V1y = V0 / cos 45 = 1,414 V0.

V2x = V0 (1+ cos 45)= 1,707 V0 ; V2y = V0 cos 45 = 0,707 V0.

les positions des oies sont des primitives des vitesses précédentes :

oie S : x1 =0t + abscisse initiale = 0,707 d.

y1 = 1,414 V0t + ordonnée initiale = 1,414 V0t

oie E : x2 = 1,707 V0 t + abscisse initiale = 1,707 V0 t .

y2 = 0,707 V0t + ordonnée initiale = 0,707 V0t +0,707 d.


 

distance D séparant les oies à la date t : D² = (x1-x2)² + (y1-y2

après avoir effectué et simplifié :

D² = 3,414V0² t² - 3,414 V0dt + d².

- Quelle est la distance minimale ? A quelle date cette distance est elle minimale ?

cette distance sera minimale( ou maximale) lorsque la dérivée par rapport au temps s'annule :

D = [3,414V0² t² - 3,414 V0dt + d²)½.

la dérivée de un est nu(n-1) u' avec n=½ et u = 3,414V0² t² - 3,414 V0dt + d²

u' = 6,828 V0²t -3,414 V0d

D' = ½ u u'

la dérivée s'annule pour t= d / (2V0)

la dérivée est négative si t < d/ (2V0) et positive si t > d/ (2V0), il s'agit donc d'un minimum.

repport de t = d / (2V0) dans D² ci-dessus

Dmini = 0,38 d.





 

Web

www.chimix.com


- Quelle doit être la vitesse de l'oiseau E, afin que les oies se rencontrent à la date calculée précédemment.

vitesse de l'oie E pour que les oiseaux se rencontrent à t = d/ (2V0)

l'oie S est au point de la rencontre :

x1 = 0,707 d

y1 = 1,414 V0t = 1,414 V0*d /(2V0) =0,707 d

l'oie E est au point de la rencontre :

x2 = x1 = Vx t = Vx d/ (2V0)=0,707 d

d'où Vx = 1,414V0.

y2 = y1 = Vy t + 0,707 d = Vy d/ (2V0) + 0,707 d= 0,707 d

d'où Vy = 0

Le cap de l'oiseau sera de E vers S et sa vitesse V0.



Traversée d'une rivière.

Un chien quitte le point A, situé sur la rive, et se dirige vers son maître, situé en B ; A et B sont directement opposés.

La vitesse V du chien a un module constant et est toujours dirigée vers B.

La vitesse v0 du courant est constante, parallèle aux rives.

 




Quelle est la trajectoire du chien ?

R : référentiel lié à la berge de la rivière, associé aux coordonnées polaires er et eq.

R' : référentiel lié au chien.

Par suite :
dr
dt
= -V + v0 cos j ;
r
dj
dt
= - v0 sin j
Propriété d'une fonction composée :

dr
dt
=
dr
dq
dj
dt
=-V + v0 cos j =
- v0 sin j
r
dr
dj
Séparation des variables :

dr
r
=
V - v0 cos j
v0 sin j
dj =
Vdj
v0 sin j
-
dj
tanj




Par intégration, il vient :

ln r =
V ln (tan ½j)
v0
- ln (sin j) + ln Constante
r =
Constante
sin j
[ tan ½j] V/v0.

Exprimer tan ½j en fonction de sin j et cos j :

tan ½j =
sin j
1 +cos j

r =
Constante
sin j
[
sin j
1 +cos j
]V/v0.

La constante est déterminée par les conditions initiales : j(0) = ½p et r (0) = d :

r =
d
sin
j
[
sin j
1 +cos
j
]V/v0.



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