Mathématiques, fonction, géométrie dans l'espace, probabilités
bac S Amérique du Sud 2017.

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Exercice 1. 5 points
La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d’eau.
Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.
Partie A : modélisation par une jonction
Le demi contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par :
f (x) =(x2 −2x −2−3ln x) / x.
La représentation graphique de la fonction f est donnée ci-dessous.

Le repère est orthogonal d’unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
1. Soit ϕ la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
ϕ(x) = x2 −1+3lnx.
a. Calculer ϕ(1) et la limite de ϕ en 0.
F(1) = 12-1+3ln(1) = 0.
Quand x tend vers zéro :
 x2-1 tend vers -1 et ln(x) tend vers moins l'infini. F(x) tend donc vers moins l'infini.
b. Étudier les variations de ϕ sur ]0 ; +∞[.
En déduire le signe de ϕ(x) selon les valeurs de x.
La dérivée  2x +3 / x est positive sur ]0 ; +∞[.
F(x) est strictement croissante sur
]0 ; +∞[.
F(x) est négative sur ]0 ; 1[, nulle pour x=1 et positive sur ]1 ; +oo[.

2. a. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
f (x) =x −2 −(2+3ln (x)) / x.
Quand x tend vers zéro : x-2 tend vers -2 ;
(2+3ln (x)) / x tend vers moins l'infini et -(2+3ln (x)) / x tend vers plus l'infini.
Par suite f(x) tend vers plus l'infini.
Quand x tend vers plus l'infini :
x-2 tend vers plus l'infini ; (2+3ln (x)) / x tend vers zéro.
Par suite f(x) tend vers plus l'infini.
b. Montrer que sur ]0 ; +∞[ : f ′(x) = ϕ(x) / x2 .
En déduire le tableau de variation de f .
On pose u =x2 −2x −2−3ln x et v = x.
u' = 2x-2-3 / x = (2x2-2x-3) / x et v' = 1.
Dérivée d'un quotient : (u'v -v'u) / v2 =[ (2x2-2x-3)-
(x2 −2x −2−3ln x) ] / x2=(x2-1+3ln x) / x2=F(x) / x2.

c. Prouver que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur ]0; 1].
Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de α à 10−2 près.
Sur ]0 ; 1], f(x) est strictement décroissante.
De plus f(1) est négatif et f(0,1) est positif.
D'après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires, f(x) = 0 admet une unique solution sur ]0 ; 1].
Solution de f(x)=0, x ~ 0,41.
On admettra que l’équation f (x) = 0 a également une unique solution β sur [1 ; +∞[ avec β ≈ 3,61 à 10−2 près.
d. Soit F la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
F(x) =0,5 x2 -2x -2ln(x) -1,5( ln(x))2.
Montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; +∞[.
Dériver F : F ' = 0,5 *2 x-2-2 / x-1,5*2 ln(x) / x = x-2-2 / x -3ln(x) / x = (x2-2x-2-3ln(x) ) / x = f(x).

Partie B : résolution du problème.
Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à 10−2 près de α et β de la partie A.
Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative C de la fonction f restreinte à l’intervalle [α ; β] ainsi que son symétrique C′ par rapport à l’axe des abscisses. Les deux courbes C et C′ délimitent la face supérieure du palet. Pour des raisons
esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de 0,5 cm.
Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?
Aire du palet : 2 | F(ß)-F(a) |.
F(3,61) ~0,5*3,612-2*3,61-2 ln(3,61)-1,5*(ln(3,61))2 ~2 (5,743-0,142) ~11,2 unités d'aire soit 11,2 x2 =22,4 cm2.
Volume du palet : 22,4 x0,5 = 11,2 cm3.
Volume de 80 palets : 896 cm3 = 0,896 L. La contrainte de rentabilité est respectée.




Exercice 2. 4 points.
On considère un cube ABCDEFGH.

Les diagonales AC et BD du carré sont perpendiculaires.
La base ABCD du cube et la hauteur AEsont perpendiculaires.
c. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).

L’espace est muni du repère orthonormé.
a. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan (BDE) est x+y +z−1 =0.

b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection K de la droite (AG) et du plan (BDE).
Equations paramétriques de la droite (AG) : x = t ; y = t ; z = t avec t réel.
Les coordonnées de K vérifient à la fois les équations paramétriques de la droite et celle du plan.
t + t +t -1 = 0 soit t = 1 /3. K( 1/3 ; 1/3 ; 1/3).
c. On admet que l’aire, en unité d’aire, du triangle BDE est égale à 3½ /2. Calculer le volume de la pyramide.
Hauteur de cette pyramide KG=[(1-1/3)2+(1-1/3)2+(1-1/3)2]½=2 / 3½.
Volume de la pyramide = aire de base x hauteur / 3 = 3½ / 2 x 2 /(3 x3½)=1 / 3 unités de volume.


Exercice 3. 3 points
Partie A :
Un organisme de contrôle sanitaire s’intéresse au nombre de bactéries d’un certain type contenues dans la crème fraîche. Pour cela, il effectue des analyses portant sur 10 000 prélèvements de 1 mL de crème fraîche dans l’ensemble de la production française.
Les résultats sont donnés dans le tableau et représentés dans l’histogramme ci-dessous :
Nombre de bactéries ( milliers)
[100 ; 120 [
[120 ; 130[
[130 ; 140 [
[140 ; 150 [
[150 ; 160 [
[160 ; 180[
Nombre de prélèvements
1597
1284
2255
1808
1345
1711


À l’aide de la calculatrice, donner une estimation de la moyenne et de l’écart-type du nombre de bactéries par prélèvement.
Moyenne : (110 x1597 +125 x1284 +135 x2255 +145 x1808 +155 x1345 +170 x1711) / 10000 =140 milliers / mL.
Variance : 0,1597(140-110)2 +0,1284 (140-125)2 +0,2255(140-135)2+0,1808(145-140)2 +0,1345(155-140)2+0,1711(170-140)2 ~376.
Ecart type : 376½ ~19,15.
Partie B :
L’organisme décide alors de modéliser le nombre de bactéries étudiées (en milliers par mL) présentes dans la crème fraîche par une variable aléatoire X suivant la loinormale de paramètres μ = 140 et σ = 19.
1. a. Ce choix de modélisation est-il pertinent ? Argumenter.
Ce choix est pertinent, on retrouve la moyenne et l'écart type des résultats précédents.
b. On note p = P(X >160). Déterminer la valeur arrondie de p à 10−3.
p(X > 160) = 1 -p(X <160) = 1-0,85374 ~0,146.
2. Lors de l’inspection d’une laiterie, l’organisme de contrôle sanitaire analyse un échantillon de 50 prélèvements de 1 mL de crème fraîche dans la production de cette laiterie; 13 prélèvements contiennent plus de 160 milliers de bactéries.
a. L’organisme déclare qu’il y a une anomalie dans la production et qu’il peut l’affirmer en ayant une probabilité de 0,05 de se tromper. Justifier
sa déclaration.
n > 30 ; np = 50 x0,146 = 7,3 > 5 ; n(1-p) = 50 x0,854 = 42,7 > 5.
Les conditions sont requises pour établir un intervalle defluctuation au seuil de 95 %.
1,96 (p(1-p) / n)½ = 1,96 (0,146 x0,854/ 50)½ =0,098
Intervalle de fluctuation au seuil de 95 % : [0,146 - 0,098  ; 0,146 +0,098] soit :[0,00486 ;0,244 ]
13 / 50 =0,26. Cette valeur n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation. La déclaration est justifiée.
b. Aurait-il pu l’affirmer avec une probabilité de 0,01 de se tromper ?
1,96 (p(1-p) / n)½ = 2,58 (0,146 x0,854/ 50)½ =0,129.
Intervalle de fluctuation au seuil de 99 % : [0,146 - 0,129  ; 0,146 +0,129] soit :[0,017 ;0,275 ] .
13 / 50 =0,26. Cette valeur appartient à l'intervalle de fluctuation. La déclaration n'est pas justifiée.


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