Mathématiques, QCM , bac S 2017 .

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Centres étrangers
Exercice 1. QCM.
On étudie la production d'une usine qui produit des bonbons, conditionnés en sachets.
On choisit un sachet au hasard dans la production journalière. La masse de ce sachet ( en g ), est modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d'espérance µ = 175. Une observation statistique a montré que 2 % des sachets ont une masse inférieure ou égale  à 170 g, ce qui se traduit par : P(X <170) = 0,02.
1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de l'événement " la masse d'un sachet est comprise entre 170 et 180 g" ? 0,04 , 0,96 ; 0,98 ; on ne peut pas répondre car il manque des données.
On pose Y = (X-175) / s  = -5 /s avec s l'écart type.
Y suit la loi normale centrée réduite ; P( Y < -5 /s)=0,02.
On utilise la touche " inverse loi normale" de la calculatrice pour trouver : -5 /s = -2,054.
Par suite s = 5 / 2,054 ~2,434.
P(170< X < 180 ) =P(-2,054 < Y < 2,054) =1-0,02-0,02 = 0,96. Réponse b.

Les différents bonbons sont enrobés d'une cire commestible. Ce procédé, qui déforme certains bonbons, est effectué par deux machines A et B. Lorsqu'il est produit par A, la probabilité qu'un bonbon prélevé aléatoirement soit déformé est égale à 0,05.
2. Sur un échantillon aléatoire de 50 bonbons issus de A, quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu'au moins 2 bonbons soit déformés ? 0,72 ; 0,28 ; 0,54 ; on ne peut pas répondre car il manque des données.
Soit Z la variable aléatoire comptant le nombre de bonbons déformés.
n = 50 tirages aléatoires, indépendantset  identiques. deux issus sont possibles :le bonbon est déformé p = 0,05 ; le bonbon n'est pas déformé q = 1-p = 0,95.
La variable aléatoire Z suit une loi binomiale de paramètre n = 50 et p = 0,05.
Au moins deux signifie : 2 et plus de deux.
P( Z>2) = 1-P(Z < 1) = 1-0,28 = 0,72 ; réponse a.

A produit un tiers des bonbons, B produit le reste. Lorsqu'il est produit par B, la probabilité qu'un bonbon soit déformé est égale à 0,02. On prélève au hasard dans la production un bonbon ; celui-ci est déformé.
Quelle est la probabilité qu'il soit produit par B ? 0,02 ; 0,67 ; 0,44 ;0,01.

Probabilité que le bonbon déformé soit produit par B : 0,04 / 0,09 ~0,44, réponse c.

La durée de vie de fonctionnement ( en jours), d'une machine servant à l'emballage, est modélisée par une variable aléatoire Y qui suit une loi exponentielle dont l'espérance est égale à 500 jours.

4. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la durée de fonctionnement de la machine soit inférieure ou égale à 300 jours ? 0,45 ; 1 ; 0,55 ; on ne peut pas répondre car il manque des données.
l = 1/500 = 0,002.
P( X < 300) = 1-exp(-0,002 x300) = 0,45, réponse a.

L'entreprise souhaite estimer la proportion de personnes de plus de 20 ans parmi ces clients, au niveau de confiance de 95 %, avec un intervalle d'amplitude inférieure à 0,05. Elle interroge un échantillon aléatoire de ces clients.
5. Quel est le nombre minimal de clients à interroger ? 40 ; 400 ; 1600 ; 20.
Au seuil de 95%, intervalle de confiance (f-1/n½ ; f +1/n½].
Amplitude : 2 / n½ = 0,05 ; n½ = 2 / 0,05= 40 ; n = 1600, réponse c.



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Asie.
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la
réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée
n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
1. On dispose de deux dés, identiques d’aspect, dont l’un est truqué de sorte que le 6 apparait avec la probabilité 0,5.
. On prend un des deux dés au hasard, on le lance, et on obtient 6.
Affirmation 1 : la probabilité que le dé lancé soit le dé truqué est égale à 2/3. Faux.
Evénement T : " le dé est truqué".
Evénement S : " on obtient 6 ".

2. Dans le plan complexe, on considère les points M et N d’affixes respectives
zM= 2 exp(-ip/3) et zN = (3-i) / (2+i).
Affirmation 2 : la droite (MN) est parallèle à l’axe des ordonnées. Vrai.

Dans les questions 3. et 4., on se place dans un repère orthonormé (O; i , j, k )
  de l’espace et l’on considère la droite D dont une représentation paramétrique est :
x = 1+t ; y = 2 ; z = 3+2t, t réel.
3. On considère les points A, B et C avec A(-2;2;3), B(0;1;2) et C(4;2;0).
On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Affirmation 3 : la droite D est orthogonale au plan (ABC). Vrai.


4. On considère la droite D passant par le point D(1;4;1) et de vecteur directeur  (2;1;3).
Affirmation 4 : la droite D et la droite D ne sont pas coplanaires. Vrai.
Les vecteurs directeurs de la droite D et de la droite D ne siont pas colinéaires.
Donc ces deux droites ne sont pas parallèles.
Ces droites sont-elles sécantes ?
Représentation paramétriques de D :
x = 1+t ; y = 2 ; z = 3+2t, t réel.
Représentation paramétriques de D : x = 1+2k ; y = 4+k ; z = 1+3k, k réel.
1+t = 1+2k soit t = 2k.
2 = 4+k ; k= -2. par suite t = -4
3+2t =1+3k  ; 3+2(-4) =1+3(-2) ; -5 =  -5 est vérifié.
Donc ces deux droites sont sécantes au point de coordonnées (-3 ; 2 ; -5).
Par suite ces droites sont coplanaires.





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