Mathématiques, géométrie, cube,  , bac S 2017 .

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Liban
On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation en perspective cavalière est donnée ci-dessous. Les arêtes sont de longueur 1.
L’espace est rapporté au repère orthonormé.

  Partie A.
1. Montrer que le vecteur DF est normal au plan (EBG).

2. Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG).
x+y+z+d=0.
Le point E(1 ; 0 ; 1) appartient à ce plan : 1+0+1+d=0 soit d = -2.
x+y+z-2=0.
3. En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF) et du plan (EBG).
Equation paramétrique de la droite (DF) :
x = t +xD = t ; y =t+yD = t ; z = t +zD = t.
I appartient à la droite (DF)  et au plan(EBG) : t+t+t-2 = 0 soit t = 2/3.
I(2/3 ; 2/3 ; 2/3).
On démontrerait de la même manière que le point J intersection de la droite (DF) et du plan
(AHC) a pour coordonnées J(1/3 ; 1/3 ; 1/3).
.Partie B.
À tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], on associe le point M du segment [DF] tel que

 On s’intéresse à l’évolution de la mesure q en radian de l’angle EMB lorsque le point M parcourt le
segment [DF]. On a 0 < q < p.
1. Que vaut q si le point M est confondu avec le point D ? avec le point F ?
M confondu avec D : le triangle EDB est équilatéral : les trois côtés sont égaux à la diagonale d'un carré de côté 1. q = p/3.
M confondu avec F : q = p/2.
2.a) Justifier que les coordonnées du point M sont (x ;x ;x).
Equation paramétrique de la droite (DF) : x=t ; y = t ; z = t.
M appartient à cette droite : xM = yM =zM = t.
b) Montrer que cos(q) =(3x2-4x+1) / (3x2-4x+2)
.

3. On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction f(x) =(3x2-4x+1) / (3x2-4x+2).

Pour quelles positions du point M sur le segment [DF] :
a) le triangle MEB est-il rectangle en M ?
cosq = 0 ; 3x2-4x+1=0 ; D = 16-12=4 ; x1 =(4+2)/2=1 ; M confondu avec F.
 x2=(4-2)/6=1/3. M est confondu avec J.
b) l’angle q est-il maximal ?
q est maximal quand cos q est minimal ; f(x) est minimal pour x = 2/3 ; M est en I.


....

.....
Amérique du Nord.
Un particulier s’intéresse à l’ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand le soleil est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un repère orthonormé
. Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires SEF et SFG.
• Les plans (SOA) et (SOC) sont perpendiculaires.
• Les plans (SOC) et (E AB) sont parallèles, de même que les plans (SOA) et (GCB).
• Les arêtes [UV ] et [EF] des toits sont parallèles.
Le point K appartient au segment [SE], le plan (UV K) sépare la véranda en deux zones, l’une éclairée et l’autre ombragée. Le plan (UV K) coupe la véranda selon la ligne polygonale KMNP qui est la limite ombre-soleil.

1. Sans calcul, justifier que :
a) le segment [KM] est parallèle au segment [UV ] ;
La droite (UV) du plan (UVK) est parallèle à la droite (EF) du plan (SEF).
Les plans (UVK) et (SEF) se coupent suivant la droite (KM).
D'après le théorème du toit, les droites(KM), (UV) et (EF) sont parallèles.
b) le segment [NP] est parallèle au segment [UK].
Les plans (SEA) et (GCB) sont parallèles.
La droite (UK) est l'intersection des plans (SEA) et (GCB).
En conséquence, le plan (UKV) coupe le plan (GCB) suivant une droite parallèle à (UK).
Par suite (UK) est parallèle à (NP).
2. Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé.
. Les coordonnées des différents points sont les suivantes : A(4 ;0 ; 0), B(4 ;5 ; 0), C(0 ;5 ; 0), E(4 ;0 ; 2, 5),
F(4 ;5 ; 2, 5), G(0 ;5 ; 2, 5), S(0 ;0 ; 3, 5),U(0 ;0 ;6) et V (0 ;8 ; 6).
On souhaite déterminer de façon exacte la section des faces visibles de la véranda par le plan
(UV K) qui sépare les zones ombragée et ensoleillée.
a) Au moment le plus ensoleillé, le point K a pour abscisse 1, 2. Vérifier que les coordonnées du point K sont (1,2 ;0 ; 3, 2).
Coordonnées des points S et E : S(0 ;0 ; 3, 5) et E(4 ;0 ; 2, 5).
Coordonnées du vecteur SE : (4-0 ; 0-0 ; 2,5-3,5) soit (4 ; 0 ; -1).
Représentation paramétrique de la droite (SE) :
x=4t +xS = 4t ; y =0 t+yS = 0 ; z=-t+zS =-t+3,5 avec t réel.
K apparteint à cette droite et l'abscisse de K est égale à 1,2 : 1,2 = 4t soit t = 1,2 /4 = 0,3.
yK =0 ; zK = -0,3 +3,5 = 3,2.
K(1,2 ; 0 ; 3,2).
b) Montrer que le vecteur n de coordonnées (7 ;0 ;3) est un vecteur normal au plan (UV K) et en déduire une équation cartésienne du plan (UV K).

Equation cartésienne de ce plan : 7x+3z+d=0.
U(0 ; 0; 6) appartient à ce plan : 7 x0 +3 x6 +d = 0 ; d = -18.
7x+3z-18=0.
c) Déterminer les coordonnées du point N intersection du plan (UV K) avec la droite (FG).
N appartient au plan (UVK) : 7 xN +3zN-18 = 0.
N apparteint à la droite (FG) de vecteur directeur (xG-xF ; yG-yF ; zG-zF) soit (-4 ; 0 ; 0).
Représentation paramétrique de cette droite : x = -4t +xG = -4t ; y =yG =5 ; z = zG =2,5.
Par suite xN = -4t  ; yN = 5 ; zN = 2,5.
7 xN +3zN-18 = 0 ; -28t +3 x2,5= 18 ; t = -21 / 56 ; N( -1,5 ; 5 ; 2,5).
d) Expliquer comment construire la ligne polygonale sur le schéma de la véranda.
OA = 4 ; xK / 4 = 1,2 / 4 = 0,3. On place le point L du segment [OA] tel que [OL]=0,3 {OA].
La droite passant par L et parallèle à (OU) coupe (ES) en K.
On note Q l'intersection de la droite (UK) avec le segment [OA].
Construire une droite parallèle àla droite (EF) et passant par K. Celle-ci coupe le segment [SF) en M.
N(1,5 ; 5 ; 2,5)  appartient au segment (FG] ; GF = 4 ; vecteur GN = 3 / 8 x vecteur GF.
Tracer [MN].
la droite parallèle à la droite (UK) passant par N coupe [BC] en P.
On trace les segments [NP] et {PQ].
3. Afin de faciliter l’écoulement des eaux de pluie, l’angle du segment [SG] avec l’horizontale doit être supérieur à 7°. Cette condition est-elle remplie ?
On note H, point du segment [OS) tel que le triangle SGH soit rectangle en H.
SH = 3,5-2,5 = 1 ; HG = OC = 5.
Tangente de l'angle SGH = 1 / 5 = 0,2 ; l'angle SGH mesure environ 11,3° > ¨7°.
La condition est remplie.




Centres étrangers.
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère deux droites d1 et d2 définies par leurs représentations paramétriques :
d1 : x=2+t ; y = 3-t ; z =t, avec t réel.
d2 : x = -5+2t' ; y = -1+t' ; z=5, avec t' réel.
On admet que ces droites sont non coplanaires.
But de l'exercice : existe-t-il une droite D qui soit à la fois sécante avec d1 et d2 et orthogonale à ces deux droites.
1. Vérifier que le point A(2 ; 3 ; 0) appartient à d1.
xA=2 = 2 +t soit t=0 ; par suite y = 3-0 = 3 = yA ; z = 0 = zA.
2. Donner un vecteur directeur de chaque droite. Ces droites sont-elles parallèles ?

Ces vecteurs n'étant pas colinéaires, ces droites ne sont pas parallèles.
3. Vérifier que le vecteur de coordonnées (1 ; -2 ; -3) est orthogonal aux vecteurs précédents.

4. Soit P le plan passant par le point A et dirigé par les vecteurs u1 et u3.
On étudie dans cette question l'intersection de la droite d2 avec ce plan P.
a. Montrer qu'une équation cartésienne du plan P est 5x+4y-z-22 = 0.
Equation du plan P : ax +by +cz +d = 0.

b. Montrer que la droite d2 coupe le plan P en B(3 ; 3 ; 5).
5(-5+2t') +4(-1+t') -5-22=0 ; 14 t' = 56 ; t' = 4.
Par suite la droite d2 et le plan P se coupent au point de coordonnées (3 ; 3 ; 5).
5. On consodère la droite D de vecteur directeur u3 (1 ; -2 ; -3) et passant par le point B.
a. Donner une représentation paramétrique de cette droite.
x = t" +xB = t"+3 ; y = -2t" +yB = -2t" +3 ; z = -3t" +zB = -3t" +5 avec t" réel.
b. Les droites d1 et D sont-elles sécantes ? Justifier.
Si ces droites sont sécantes :
x=2+t =t"+3 soit t = t"+1 ;
 y = 3-t=-3-t"-1 = -2t"+3 soit t"=1 et t =2.
  z =t =-3t"+5 ; 2 = -3+5 est bien vérifié.
Les droites d1 et D sont sécantes au point de coordonnées (4 ; 1 ; 2).
c. Expliquer pourquoi la droite D répond au problème.
D'après 3, la droite D est orthogonales aux droites d1 et d2.
D'après 5b, les droites
D et d1 sont sécantes.
L'intersection de
D et d2 est le point B.
D est sécante avec les droites d1 et d2 et orthogonale à ces droites.











Polynésie.


Dans un disque en carton de rayon R on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle a. On supperpose les bords du disque afin d'obtenir un cône de révolution. On souhaite choisir a afin d'avoir un cône de volume maximal.
1. On choisit R = 20 cm.
a. Montrer que le volume du cône en fonction de sa hauteur h est V(h) = p /3 (400-h2)h.
Volume d'un cône : V = 1 / 3 surface de base fois hauteur.
Surface de base : p(R2-h2) = p(400 -h2).
Par suite V(h) =
p /3 (400-h2)h.
b. Justifier qu'il existe une valeur de h qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur.
V '(h) =
p /3 (400-3h2).
V '(h) = 0 pour h = 20 / 3½.
Si h <
20 / 3½ , la dérivée V '(h) est positive et V(h) est croissante.
Si h > 20 / 3½ , la dérivée V '(h) est négative et V(h) est décroissante.
Il s'agit donc d'un maximum.
c. Comment découper le disque pour avoir un volume maximum ? Donner un arrondi de a au degré près.
On note r le rayon de la base du cône ; r =
(R2-h2)½ ;
l = 2p r = (2p-a)R ; a = 2p (1-r / R).
Le volume est maximal si h2 = 400 / 3 ; r = (R2-400 /3)½ ;
Or R = 20 cm ; r =
(202-400 /3)½  = 20 x2½ / 3½~16,33 cm.
  a = 2p (1-r / R)~2p (1-16,33 / 20)~0,367 p radian ou 66°.
b. L'angle a dépend-il du rayon R du disque en carton ?
Non :
a = 2p (1-r / R) avec r = (R2-h2)½ et h2=R2/3.
r =
(R2-R2/3)½  = (2R2/3)½  =R x(2 / 3)½ ; r / R = (2 / 3)½ ;
a = 2p (1- (2 / 3)½).

Exercice 3.
L'objectif est de déterminer une mesure de l'angle entre deux liaisons carbone-hydrogène dans la molécule de méthane.
Un tétraèdre régulier est un polyèdre dont las quatre faces sont des triangles équilatéraux.
1. Justifier que l'on peut inscrire ce tétraèdre dans un cube ABCDEFGH en positionnant 2 atomes d'hydrogène sur les sommets A et C du cube et les deux autres atomes d'hydrogène sur deux autres sommets du cube. Représenter la molécule dans le cube donné.

Tous les segments rouges ont même mesure celle de la diagonale d'un carré.
Les triangles ACH, CHF, AFH et ACF sont équilatéraux.


On travaillera dans le repère indiqué ci-dessous.

2. Démontrer que l'atome de carbone est au centre W du cube.
Toutes les distances carbone-hydrogène sont égales.
Le centre du cube est à égale distance  des sommets du cube.
W( 0,5 ; 0,5 ; 0,5).

3. Déterminer l'arrondi au dixième de degré de la mesure de l'angle que forment entre elles les liaisons carbone-hydrogène.

Antilles.
On note R l’ensemble des nombres réels.
L'espace est muni d'un repère orthonormé (O, i, j, k).
On considère les points A(−1; 2; 0), B(1; 2; 4) et C(−1; 1; 1).
1.a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b. Calculer le produit scalaire suivant.
c. En déduire la mesure de l’angle BAC , arrondie au degré.

2. Soit n le vecteur de coordonnées (2 ; -1 ; -1).
a. Démontrer que ce vecteur  est un vecteur normal au plan (ABC).
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

Equation cartsienne du plan (ABC) : 2x -y -z +d =0.
Les coordonnées du point A vérifient cette équation : 2(-1)-2-0+d=0 soit d = 4.
Par suite : 2x -y -z +4 =0.
3. Soient p1 le plan d'équation 3x + y − 2z + 3 = 0 et p2 le plan passant par O et parallèle au plan d'équation x -2z + 6 = 0.
a. Démontrer que le plan p2 a pour équation x=2z.
 L'équation cartésienne du plan p2 est de la forme x-2z+d=0.
Les coordonnées du point O(0 ; 0 ; 0) vérifient cette équation : 0-2x0+d = 0 soit d =0 ;
par suite :
x-2z=0 ou x = 2z.
b. Démontrer que les plans p1 et p2 sont sécants.
Un vecteur normal au plan p1 a pour coordonnées (3 ; 1 ; -2).
Un vecteur normal au plan p2 a pour coordonnées (1 ; 0 ; -2).
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Donc
les plans p1 et p2 sont sécants.
c. Soit la droite D dont un système d'équations paramétriques est
x=2t ; y=-4t-3 ; z=t avec t réel.
Démontrer que D est l’intersection des plans p1 et p2.
Pour tout réel t : 3(2t)+(-4t-3)-2t+3=6t-6t-3+3=0 ; donc D est incluse dans p1.
Pour tout réel t : 2t -2t=0 ; donc D est incluse dans p2.
Ces deux plans étant sécants suivant une droite, cette droite ne peut être que la droite D.
4. Démontrer que la droite D coupe le plan (ABC) en un point I dont on déterminera les coordonnées.
Il faut résoudre le système :
x=2t ;
y=-4t-3 ; z=t et 2x -y -z +4 =0.
4t-(-4t-3)-t+4=0 ; 7t +7=0 ; t = -1.
Par suite x  =-2 ; y =4-3 = 1 ; z = -1.
La droite D et le plan ABC n'ont qu'un seul point commun obtenu pour t =-1.
Les coordonnées de ce point sont I(-2 ; 1 ; -1).

Métropole.
L’espace est muni d’un repère orthonormé (O, i, j, k).
Soit P le plan d’équation cartésienne : 2x −z − 3 = 0.
On note A le point de coordonnées (1 ; a ; a2), où a est un nombre réel.
1. Justifier que, quelle que soit la valeur du réel a, le point A n’appartient pas au plan P.
Si A appartient au plan P, ces coordonnées vérifient l'équation cartésienne de ce plan.
2-a2-3 =0 ; a2 = -1 ; impossible.
 A n'appartient pas au plan P.
2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D (de paramètre noté t) passant par
le point A et orthogonale au plan P.
Coordonnées d'un vecteur directeur de cette droite : (2 ; 0 ; -1).
Représentation paramétrique de cette droite ;
x = 2t +xA =2t +1.
y = 0 +yA = a ; z = -t +zA = -t +a2.
b. Soit M un point appartenant à la droite D, associé à la valeur t du paramètre dans la
représentation paramétrique précédente.
Exprimer la distance AM en fonction du réel .
AM2 = (2t+1-1)2 +(a -a)2 +(-t+a2-a2)2.
AM2 =4t2+t2=5t2. AM= 5½|t|.
On note H le point d’intersection du plan P et de la droite D orthogonale à P et passant par le point A. Le point H est appelé le projeté orthogonal du point A sur le plan P, et la distance AH est appelée distance du point A au plan P.
3. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle la distance AH du point A de coordonnées (1 ;a ; a2) au
plan P est minimale ? Justifier la réponse.
H appartient à la fois au plan P et à la droite D. Les coordonnées de H vérifient :
xH = 2t+1 ; yH = a ; zH = -t+a2.
2xH-zH-3 = 0 ; 4t+2+t-a2-3=0 ; 5t =a2 +1 ; t =(a2+1) /5.
D'après la question précédente AH = 5½|t| soit
. AH= |a2+1| /5½ =(a2+1) /5½ .
AH est minimum si a = 0 ; AHmini = 5.

Amérique du Sud.
On considère un cube ABCDEFGH.

Les diagonales AC et BD du carré sont perpendiculaires.
La base ABCD du cube et la hauteur AEsont perpendiculaires.
c. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).

L’espace est muni du repère orthonormé.
a. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan (BDE) est x+y +z−1 =0.

b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection K de la droite (AG) et du plan (BDE).
Equations paramétriques de la droite (AG) : x = t ; y = t ; z = t avec t réel.
Les coordonnées de K vérifient à la fois les équations paramétriques de la droite et celle du plan.
t + t +t -1 = 0 soit t = 1 /3. K( 1/3 ; 1/3 ; 1/3).
c. On admet que l’aire, en unité d’aire, du triangle BDE est égale à 3½ /2. Calculer le volume de la pyramide.
Hauteur de cette pyramide KG=[(1-1/3)2+(1-1/3)2+(1-1/3)2]½=2 / 3½.
Volume de la pyramide = aire de base x hauteur / 3 = 3½ / 2 x 2 /(3 x3½)=1 / 3 unités de volume.



  

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