Mathématiques, probabilités, loi normale, loi binomiale, Bac S 2015

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Pondichéry. 
Partie A. Étude de la durée de vie d’un appareil électroménager
Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire X suivant une loi normale N(μ, s ) de
moyenne μ = 84 et d’écart-type s. De plus, on a P(X inférieur ou égal à 64) = 0,16.
La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de X est donnée ci-dessous.
1. a. En exploitant le graphique, déterminer P(64<= X <=104).

b. Quelle valeur approchée entière de s peut-on proposer ?
(104-84) / s =1-0,16=0,84  ; 20 / s =0,9946 d'après les tables ; s = 20 / 0,9946 ~20.
2. On note Z la variable aléatoire définie par Z =(X −84)/ s.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par Z ?
Loi normale centrée réduite N( 0 ;1 ).
b. Justifier que P(X <=64) = P(Z <= −20 /s).
Z <=(64 −84)/ s  ; Z <= -20 / s.
c. En déduire la valeur de s, arrondie à 10−3.
P(
Z <= 20 / s) =1- 0,16 =0,84 ; 20 / s= 0,9946, d'après les tables.
s =20 / 0,9946 =20,109.
3. Dans cette question, on considère que s = 20,1.
Les probabilités demandées seront arrondies à 10−3.
a. Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans.
2 ans = 24 mois ; 5 ans = 60 mois.
(24-84) /20,1= -2,985 ; (60-84) / 20,1 = -4,179.
P(Z <= -2,985 )= 0,001418 ;
P(Z > -4,179 )= 1- 0,11623 =0,88377
Probabilité que la durée de vie soit comprise entre  2 et 5 ans : 1-(0,001418+0,88377)=0,115.
b. Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans.
10 ans = 120 mois ; (120-84) / 20,1 = 1,791.
P(Z <=1,791) =0,96336 ;
Probabilité que la durée de vie soit supérieure à 10 ans : 1-0,96336 ~ 0,037.
Partie B.  Étude de l’extension de garantie d’El’Ectro
Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.
L’entreprise El’Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires.
Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l’extension de garantie montrent que 11,5% d’entre eux font jouer l’extension de garantie.
1. On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l’extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).
a. Quelle est la probabilité qu’exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à 10−3..
On note Y la variable aléatoire donnant le nombre de clients ayant pris l'extension de garantie.
Les tirages étant indépendants et de même probabilité p = 0,115, Y suit une loi binomiale de paramètres n = 12 ; p = 0,115 ; q = 1-p =0,885.
P(Z=3) = C123 x 0,1153 x0,8859 = 12 x 11 x10 / 6 x
0,1153 x0,8859 ~0,111.
b. Quelle est la probabilité qu’au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Au moins 6 signifie 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12.
P( moins de 6 clients utilisent l'extension ) = 0,99885 ;
P (au moins six clients utilisent cette extension) = 1-0,99885 = 0,00115 ~0,001.
2. L’offre d’extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémentaires, El’Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable.
On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l’extension de garantie, et on note Y la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l’entreprise El’Ectro, grâce à l’extension de garantie.
a. Justifier que Y prend les valeurs 65 et −334 puis donner la loi de probabilité de Y.
Absence de panne irréparable : Y  = 65 € ; probabilité de  cet événement  1-0,115=0,885.
 existence  d'une panne irréparable :65 -399 = -334 € ; probabilité de cet événement : 0,115
b. Cette offre d’extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l’entreprise ? Justifier.
E(Y) = 0,885 x 65 +0,115 x(-334) =57,525 -38,41 ~19,11 € par client.
Donc avantage à l'entreprise.




Liban.
En prévision d’une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de vote de futurs électeurs.
Parmi les 1 200 personnes qui ont répondu au sondage, 47% affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B. Compte-tenu du profil des candidats, l’institut de sondage estime que 10% des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20% des personnes déclarant vouloir voter
pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.
On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :
• A l’évènement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A » ;
• B l’évènement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B » ;
• V l’évènement « La personne interrogée dit la vérité ».
1. Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.
2. a. Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.

b. Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu’elle affirme vouloir voter pour le candidat A.
0,423 / 0,847 = 0,499.
3. Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0,529.
P( personne disant la vérité et votant A) + P(persone disant voter B en mentant) =0,423 + 0,106=0,529.
4. L’institut de sondage publie alors les résultats suivants :
52,9% des électeurs voteraient pour le candidat A.
Au seuil de confiance de 95%, le candidat A peut- il croire en sa victoire ?
Les conditions d'application sont bien vérifiées  n = 1200  >30 ; np = 1200 x0,529 =634,5 > 5 et n(1-p) = 1200 x(1-0,529)=565,2 >5.
1 / racine carrée (1200) = 0,02887.
Intervalle de confiance [0,529-0,0227 ; 0,529 +0,02887] soit [0,5001 ; 0,5579].
La borne inférieure est supérieure à 0,5, A peut croire en sa victoire, au seuil de confiance de 95%.
5. Pour effectuer ce sondage, l’institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10 communications par demi-heure. La probabilité qu’une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est 0,4. L’institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses.
Quel temps moyen, exprimé en heures, l’institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif ?
8 personnes acceptent de répondre  à chaque heure : 1200 / 8 = 150 heures.











Amérique du Nord.
Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle.
Partie A Contrôle avant lamise sur lemarché
Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes. La masse (exprimée en grammes) d’une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance µ = 100 et d’écart-type s = 1. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de s.
1. Calculer la probabilité de l’évènement M : « la tablette est mise sur le marché ».
P(X inférieure ou égale à 98) = 0,0228 ; P( X supérieure ou égale à 102) =0,0228.
probabilité que la tablette soit mise sur le marché =1-0,0228-0,0228=0,9544.
2. On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet évènement atteigne 0,97.
Déterminer la valeur de s pour que la probabilité de l’évènement « la tablette est mise sur le marché » soit égale à 0,97.
On pose Z =( X-µ) / s  ; (98-100) / s = -2 / s ; (102-100) / s = 2 / s = 2,17, d'après les tables ; s = 2 / 2,17 =0,9216.

Partie B. Contrôle à la réception
Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d’humidité qui doit être de 7%. On dit alors que la fève est conforme.
L’entreprise a trois fournisseurs différents : le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30% et le dernier apporte 20% du stock.
Pour le premier, 98%de sa production respecte le taux d’humidité ; pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90% de sa production est conforme, et le troisième fournit 20% de fèves non conformes.
On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note Fi l’évènement « la fève provient du fournisseur i », pour i prenant les valeurs 1, 2 ou 3, et C l’évènement « la fève est conforme ».
1. Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu’elle est conforme. Le résultat sera arrondi à 10−2.

2. Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, L’entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92% de fèves qu’elle achète soient conformes. Quelle proportion p de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?
0,98 p + 0,90(1-p)=0,92 ; 0,08 p =0,02 ; p = 0,25.


Centres Etrangers.
Un fournisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont premier prix, et les autres sont haut de gamme. Un magasin de bricolage dispose d’un stock de cadenas
provenant de ce fournisseur ; ce stock comprend un grand nombre de cadenas de chaque type.
Partie A.
1. Le fournisseur affirme que, parmi les cadenas haut de gamme, il n’y a pas plus de 3% de cadenas défectueux dans sa production. Le responsable du magasin de bricolage désire vérifier la validité de cette affirmation dans son stock ; à cet effet, il prélève un échantillon aléatoire de 500 cadenas haut de gamme, et en trouve 19 qui sont défectueux.
Ce contrôle remet-il en cause le fait que le stock ne comprenne pas plus de 3% de cadenas défectueux ?
On  utilise un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.
1,96 x(0,03 x0,97 / 500 )½ =0,01495 ; I =[0,03-0,01495 ; 0,03 +0,01495] soit [0,015 ; 0,045 ] ; 19 / 500 =0,038, cette valeur appartient à l'intervalle de fluctiation : le contrôle ne remet pas en cause
le fait que le stock ne comprenne pas plus de 3% de cadenas défectueux.
2. Le responsable du magasin souhaite estimer la proportion de cadenas défectueux dans son stock de cadenas premier prix. Pour cela il prélève un échantillon aléatoire de 500 cadenas premier prix, parmi lesquels 39 se révèlent défectueux. Donner un intervalle de confiance de cette proportion au niveau de confiance 95%.
Fréquence de  cadenas  défectueux : f = 39/500 = 0,078.
 n = 500 >30 ; nf = 500 x0,078 = 39 >5 ; 500 x(1-0,078) = 461 >5. Les trois conditions sont vérifiées.
1 /500½ = 0,0447 ; I = [0,078 -0,0447 ; 0,078+0,0447] soit [0,033 ; 0,123 ].
Partie B : D’après une étude statistique faite sur plusieurs mois, on admet que le nombre X de cadenas premier prix vendus par mois dans le magasin de bricolage peut être
modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne µ = 750 et d’écart-type s = 25.
1. Calculer P(725 <= X <=775).
Loi normale centrée réduite : (725-750) / 25 = -1 ; (775-750) / 25 = 1.

2. Le responsable du magasin veut connaître le nombre n de cadenas premier prix qu’il doit avoir en stock en début de mois, pour que la probabilité d’être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à 0,05. On ne réalimente pas le stock en cours de mois. Déterminer la plus petite valeur de l’entier n remplissant cette condition.
P(X>n)<0,05. P (X inférieure ou égal à n) doit être supérieur ou égal à 0,95.
Les tables donnent (n-750) / 25 = 1,645 ; n = 1,645 x25 +750 ~ 792
Partie C : On admet maintenant que, dans le magasin :
• 80% des cadenas proposés à la vente sont premier prix, les autres haut de gamme ;
• 3% des cadenas haut de gamme sont défectueux ;
• 7% des cadenas sont défectueux.
On prélève au hasard un cadenas dans le magasin. On note :
• p la probabilité qu’un cadenas premier prix soit défectueux ;
• H l’évènement : « le cadenas prélevé est haut de gamme » ;
• D l’évènement : « le cadenas prélevé est défectueux ».
1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
2. Exprimer en fonction de p la probabilité P(D). En déduire la valeur du réel p. Le résultat obtenu est-il cohérent avec celui de la question A - 2. ?
p =(0,07 -0,006 ) / 0,8  =0,08 , cette valeur appartient bien à [0,033 ; 0,123 ]. ce ésultat est donc ochérent.
3. Le cadenas prélevé est en bon état. Déterminer la probabilité que ce soit un cadenas haut de gamme.
P( le cadenas est en bon état) = (1-p) x0,8 + 0,2 x0,97 =0,736 + 0,194=0,93.
P ( un cadenas haut de gamme est en bon état) = 0,194 / 0,93 = 0,2086 ~0,209.

Polynésie.
Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65 ans peut être modélisée par une variable aléatoire X1 suivant la loi normale d’espérance μ1 = 165 cm et
d’écart-type s1 = 6 cm, et celle des hommes de 18 à 65 ans, par une variable aléatoire X2 suivant la loi normale d’espérance μ2 = 175 cm et d’écart-type s2 = 11 cm.
Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à 10−2 près.
1. Quelle est la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53 mètre et 1,77 mètre ?
2. a. Déterminer la probabilité qu’un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 mètre.
Loi normale centrée réduite : pour les femmes : (153-165) / 6= -2 ; (177-165)/6=+2 ;
pour les hommes : (170-175)/11= -0,455.

Probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53 mètre et 1,77 mètre : 0,95.
Probabilité qu’un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 mètre : 1-0,32 = 0,68.
2.b. De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent 52% de la population des personnes dont l’âge est compris entre 18 et 65 ans. On choisit
au hasard une personne qui a entre 18 et 65 ans. Elle mesure plus de 1,70 m. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ?

 On note les événements : H " la personne est un homme" et D " la personne mesure plus de 1,70 m".
Probabilité qu'une femme mesure plus de 1,70 m ; (170-165) / 6=0,833. Les tables donnent : 1-0,797=0,203 ~0,20.

Probabilité que la persone soit une femme mesurant plus de 1,70 m : 0,104 / 0,43 =0,24.

Antilles septembre.
Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d’un mois.
• 40% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d’orange ;
• 25% des bouteilles de jus d’orange vendues possèdent l’appellation « pur jus ».
Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d’orange, la proportion des bouteilles de « pur jus » est notée x, où x est un réel de l’intervalle [0 ; 1].
Par ailleurs, 20%des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l’appellation «pur jus ».
On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants :
R : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d’orange ;
J : la bouteille prélevée est une bouteille de « pur jus ».
Partie A.
1. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.
2. Déterminer la valeur exacte de x.

0,10+0,60 x =0,20 ; x = 1 / 6.
3. Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de «pur jus ».
Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d’orange.
0,10 / 0,20 = 0,5.
Partie B.
Afin d’avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot des 500 dernières bouteilles de jus de fruits vendues.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de « pur jus » dans ce lot.
On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces 500 bouteilles puisse être assimilé à un
tirage au sort avec remise.
1. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire X. On en donnera les paramètres.
Les tirages étant indépendants et de même probabilité p = 0,2, X suit une loi binomiale de paramètres n = 500 ; p = 0,2 ; q = 1-p =0,8.
2. Déterminer la probabilité pour qu’au moins 75 bouteilles de cet échantillon de 500 bouteilles soient de « pur jus ». On arrondira le résultat au millième.
Espérance : np = 500 x0,2 = 100 ; variance npq = 500 x0,2 x0,8=80.
Probabilité pour qu'au plu 74 bouteilles ne soient pas de pur jus = 0,001627, d'après les tables ou la calculatrice.
Probabilité pour qu’au moins 75 bouteilles de cet échantillon de 500 bouteilles soient de « pur jus » = 1-0,001627~0,998.
Partie C.
Un fournisseur assure que 90% des bouteilles de sa production de pur jus d’orange contiennent moins de 2% de pulpe. Le service qualité du supermarché prélève un
échantillon de 900 bouteilles afin de vérifier cette affirmation. Sur cet échantillon, 766 bouteilles présentent moins de 2% de pulpe.
1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de bouteilles contenant moins de 2% de pulpe au seuil de 95%.
n = 900 >30 ; p = 0,9 ; np = 0,9 x900 = 810 >5 ; n(1-p) = 900 x0,1 = 90 > 5 ; les conditions sont remplies :
1,96 (pq / n)½ =1,96 (0,9 x0,1 / 900)½=0,0196 ; Intervalle de fluctuation : [0,90 -0,0196 ; 0,90 +0,0196] soit [0,880 ; 0,920 ]
2. Que penser de l’affirmation du fournisseur ?
766 / 900=0,851, cette valeur n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation. L'affirmation du fournisseur est fausse.

Polynésie septembre.
Partie A.
On étudie une maladie dans la population d’un pays. On a constaté que le taux, en nanogrammes par millilitre (ng.mL−1), d’une substance Gamma présente dans le
sang est plus élevé chez les personnes atteintes de cette maladie que chez les personnes qui n’en sont pas atteintes.
1. Le taux de cette substance Gamma dans la population des personnes qui ne sont pas atteintes par la maladie est modélisé par une variable aléatoire T qui suit la loi normale d’espérance μ = 40 et d’écart-type s = 8.
On choisit au hasard une personne parmi celles qui ne sont pas atteintes par la maladie étudiée.
 Calculer la probabilité que le taux dans le sang de la substance Gamma soit supérieur à 60 ng.mL−1.
Loi normale centrée réduite : (60-40) / 8=2,5.
P(taux substance Gamma supérieure à 60 ng L-1) = 1 - P(
taux substance Gamma inférieure ou égale à 60 ng L-1) = 1-0,9938 ~0,0062.
2. Des études ont mis en évidence que le taux moyen de la substance Gamma chez les personnes atteintes par la maladie étudiée est de 50 ng.mL−1 et que 10% d’entre elles ont un taux de substance Gamma inférieur à 43 ng.mL−1. On appelle T ′ la variable aléatoire quimodélise le taux de la substance Gamma en ng.mL−1 chez une personne atteinte par la maladie étudiée.
On admet que T ′ suit la loi normale d’espérance μ′ et d’écart-type s′. Préciser la valeur de μ′ et déterminer la valeur de σ′.
µ' = 50
ng.mL−1 . On pose Z = (43-50) / s' ;  Z suit la loi normale centrér réduite N(0 ; 1 ).
P(Z inférieur ou égal à -7 / s') = 0,1. Les tables ou la calculatrice donne
-7 / s' = -1,282 ; s' =7/1,282 =5,46.
Partie B.
Pour dépister chez une personne la maladie étudiée, on effectue une prise de sang. On considère que le dépistage est positif si le taux de la substance Gamma est supérieur
ou égal à 45 ng.mL−1. Une personne étant choisie au hasard dans la population, on appelle :
• M l’évènement « le patient est atteint par la maladie étudiée » ;
• D l’évènement « le patient a un dépistage positif ».
On admet que :
• 82% des personnes atteintes par la maladie étudiée ont un dépistage positif ;
• 73% des personnes non atteintes par cette maladie ont un dépistage négatif.
On sait de plus que 10% de la population étudiée est atteinte par cette maladie.
1. Démontrer que la probabilité qu’un patient ait un dépistage positif est de 0,325.
2. Calculer la probabilité qu'un patient ayant un dépistage négatif soit malade. Interpréter ce résultat.


La probabilité qu'un patient ayant un dépistage négatif soit malade est égale à 0,018 / 0,675 = 0,0267.
3. Un patient a un dépistage positif. Le médecin le rassure en lui indiquant qu’il n’a qu’une chance sur quatre d’avoir contracté la maladie. Qu’en pensez-vous ?
1-0,243 / 0,325=0,252 ( 25,2 %).
Il a un peu plus d'une chance sur quatre d’avoir contracté la maladie.
 Partie C.
Lors du dépistage précédent, la prise de sang est effectuée chez des sujets à jeun. Les données montrent que 82% des patients malades ont un dépistage positif.
Pour améliorer le confort des personnes susceptibles de subir cet examen sanguin, on souhaite vérifier si le fait d’être à jeun est une condition indispensable dans le
protocole. On considère un groupe de 300 personnes malades sur lesquelles la prise de sang n’est pas effectuée à jeun. Le dépistage se révèle positif pour 74% d’entre elles.
Ce dépistage peut-il être effectué sur des personnes qui ne sont pas à jeun ?
n = 300 >30 ; np = 300 x0,82 =246 >5 ; n(1-p) = 300 x0,18 =54 >5. Les conditions sont vérifiées pour déterminer un intervalle de fluctuation.
1,96 (pq / n)½ =  1,96(0,82 x0,18 /300)½=0,0435.
Intervalle de fluctuation : [0,82 -0,0435 ; 0,82 +0,0435 ) soit [
0,776 ;0,863 ].
0,74 n'appartient pas à cet intervalle. Le dépistage doit se faire sur des personnes à jeun.

Nlle Calédonie mars 2016.
Partie A
Une boite contient 200 médailles souvenir dont 50 sont argentées, les autres dorées. Parmi les argentées 60% représentent le château de Blois, 30% le château de Langeais,
les autres le château de Saumur. Parmi les dorées 40% représentent le château de Blois, les autres le château de Langeais.
On tire au hasard une médaille de la boite. Le tirage est considéré équiprobable et on note :
A l’évènement « la médaille tirée est argentée » ;
D l’évènement « la médaille tirée est dorée » ;
B l’évènement « lamédaille tirée représente le château de Blois » ;
L l’évènement « la médaille tirée représente le château de Langeais » ;
S l’évènement « la médaille tirée représente le château de Saumur ».
1. Dans cette question, on donnera les résultats sous la forme d’une fraction irréductible.
a. Calculer la probabilité que la médaille tirée soit argentée et représente le château de Langeais.
b. Montrer que la probabilité que la médaille tirée représente le château de Langeais est égale à 21 /40.

c. Sachant que la médaille tirée représente le château de Langeais, quelle est la probabilité que celle-ci soit dorée ?
 ( 9 / 20) / (21 / 40) = 18 /21 = 6 /7.
2. Sachant que la médaille tirée représente le château de Saumur, donner la probabilité que celle-ci soit argentée.
Cette probabilité est égale à 1, il n'y a pas de médaille dorée représentant Saumur.
Partie B.
Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre 9,9 et 10,1 grammes.
On dispose de deux machines M1 et M2 pour produire les médailles.
1. Après plusieurs séries de tests, on estime qu’une machine M1 produit des médailles dont la masse X en grammes suit la loi normale d’espérance 10 et d’écart-type 0,06.
On note C l’évènement « la médaille est conforme ».
Calculer la probabilité qu’une médaille produite par la machine M1 ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à 10−3 près.
On pose Z = (X-10) / 0,06. Z suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1). (10,1-10) /0,06 =1,667.

La probabilité qu’une médaille produite par la machine M1 ne soit pas conforme vaut : 0,048+0,048 = 0,096.
2. La proportion des médailles non conformes produites par la machine M1 étant jugée trop importante, on utilise une machine M2 qui produit des médailles dont la masse Y en grammes suit la loi normale d’espérance μ = 10 et d’écart-type s.
a. Soit Z la variable aléatoire égale à (Y −10) /s.
Quelle est la loi suivie par la variable Z ?
Z suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1).
b. Sachant que cette machine produit 6% de pièces non conformes, déterminer la valeur arrondie au millième de s.
(10,1-10) / s = 1,88 ;
s =0,1/1,88 ~0,053.




  

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