Décomposer en éléments simples une fraction rationnelle.

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Exemple 1.
Factorier le polynome : P(x) = x3-3x+2.
P(1) = 0 ; P(x) = (x-1)(ax2+bx+c).
Développer :
P(x) =ax3+bx2+cx -ax2-bx-c =ax3+(b-a)x2+(c-b)x -c = x3-3x+2.
On identifie  : a=1 ; c=-2 ; b=1.
P(x) = (x-1)(x2+x-2).
x2+x-2= (x-1)(dx+e)) = dx2-dx+ex-e = dx2+x(e-d)-e.
On identifie : d=1 et e =2.
Par suite P(x) =
(x-1)2(x+2).
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :
Le degré du polynome figurant au numérateur étant supérieur à celui du polynome figurant au dénominateur, faire la division.

Réduire au même dénominateur ; le numérateur vaut :
N= a(x+2) +b(x-1)(x+2) +c(x-1)2=ax+2a+bx2+bx-2b+cx2-2cx+c =(b+c)x2+a+b-2c)x+2a-2b+c.
Identifier : (b+c)x2+(a+b-2c)x+2a-2b+c =3x2-2x.
b+c=3 ; a+b-2c =-2 ; 2a-2b+c=0.
éliminer b : a+3-3c=-2 ; 2a-6+3c=0.
éliminer c : a =-5+3c ; -10+6c-6+3c=0 , c = 9c = 16 , c = 16/9.
par suite a = 3/9 et b = 11/9.



En déduire la décomposition en éléments simples de la dérivée de R(x).
Dérivée de x : 1.
Dérivée de (x-1)-2 : -2(x-1)-3.
Dérivée de (x-1)-1 : -(x-1)-2.
Dérivée de (x+2)-1 : -(x+2)-2.

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Exemple 2.
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle : 
Factoriser le dénominateur : -1 est une racine évidente :
x4+x3+x+1 = (x+1)(ax3+bx2+cx+d) = 
ax4+bx3+cx2+dx+ax3+bx2+cx+d = ax4+(a+b)x3+(b+c)x2+(c+d)x +d.
Identifier : a=1 ; d=1 ; a+b=1 soit b = 0 ; b+c=0 soit c = 0.
x4+x3+x+1 =(x+1)(x3+1).
-1 est une racine évidente :
x4+x3+x+1 =(x+1)2(x2+ex+1) =x4+ex3+x2+2x3+2ex2+2x+x2+ex+1 =x4+(e+2)x3+2(1+e)x2+(e+2)x+1.
d'où e = -1 et
x4+x3+x+1 =(x+1)2(x2-x+1).
(x2-x+1) ne possède pas de racines réelles, le discriminant b2-4ac = (-1)2-4*1*1 est négatif.

Réduire au même dénominateur ; le numérateur vaut :
N = a(x2-x+1)+b(x+1)
(x2-x+1)+(cx+d) (x+1)2.
Développer :
ax2-ax+a+bx3-bx2+bx+bx2-bx+b +cx3+dx2+2cx2+2dx+cx+d=(b+c)x3+(a+d+2c)x2+(2d+c-a)x+a+b+d.
Identifier :
(b+c)x3+(a+d+2c)x2+(2d+c-a)x+a+b+d =-3x3-2x2+1.
b+c=-3 ; a+d+2c=-2 ; 2d+c-a=0 ; a+b+d=1.
éliminer b : b = -3-c ; 
a+d+2c=-2 soit a+c+d=1 ; 2d+c-a=0 ;  a+d-c=4.
éliminer c : c = a-2d ; 3a-3d=-2 ;  3d=4 ; d = 4/3 d'où a =2,3 ;  c = 2/3-8/3 = -2 ; b =-1 ;







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