Matrices : addition, multiplication, inverse, concours ingénieur territorial.

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(sujet 2004)
On considère les matrices :
Calculer J2 et exprimer ce rsultat en fonction de I.

Calculer les produits AB et BA ; les exprimer en fonction de I
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Calculer les produits A2 et B2 ; les exprimer en fonction de J.




Pour tout couple (a,b) de nombres réels, on pose :
Exprimer M(a,b) sous forme de combinaison linéaire de A et B.

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Etant donnés 4 nombres réels a, b, a' et  b' exprimer le produit M(a,b) M(a',b') sous forme de combinaison linéaire de I et J.

C = (a+b)(a'+b') +(b-a)((a'-b')=aa'+ab'+ba'+bb'+ba'-bb'-aa'+ab'=2(ab' +a'b).
D =(a+b)(b'-a')+(b-a)(a'+b') =ab'-aa'+bb'-ba' +ba'+bb'-aa'-ab'=2(bb'-aa').
E=(a-b)(a'+b')+(a+b)(a'-b')=aa'+ab'-a'b-bb'+aa'-ab'+a'b-bb'=2(aa'-bb').
F=(a-b)(b'-a')+(a+b)(a'+b')=ab'-aa'-bb'+a'b+aa'+ab'+a'b+bb'=2(ab'+a'b).

En déduire le produit M(a,b) M(b,a).
Dans le résultat précédent, on remplace a' par b et b' par a :






Démontrer que M(a,b) est inversible lorsque a ou b est non nul. En déduire alors sont inverse en fonction de M(b,a).
Si le déderminant de M(a,b) est différent de zéro, alors Mm(a,b)  est régulière ou inversible.

D = (a+b)2-(b-a)(a-b) =
(a+b)2+(a-b)2 =a2+b2+2ab+a2+b2-2ab =2(a2+b2).
D diffère de zéro si a ou b est non nul.




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