Mathématiques. Concours cycle de formation des ingénieurs de l'école nationale supérieure maritime 2015.

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Exercice 1.
On se place e dans le plan complexe  et on considère pour tout nombre α appartenant à C, le point Ma d'affixe a2-a.
1. On considère les points Ma et Ma+3.
(a) Montrer que O est le milieu de [
MaMa+3] lorsque a2+2a+ 3 = 0.
Ma d'affixe a2-a ; Ma+3 d'affixe (a+3)2-a-3 ; O d'affixe 0.
a2-a +(a+3)2-a-3 =0 ;
a2-a +a2+6a+9-a-3 =0 ; 2a2 +4a+6 =0.
(b) En déduire les valeurs de α pour lesquelles O est le milieu de [MaMa+3]
Discriminant D = 22-4x3=-8 = 8 i2.
Solutions : (-2 ±2i *2½) / 2 = -1±i *2½.
2. Montrer que lorsque |α −½| = 2 alors Ma est sur un cercle de rayon 4 et de centre W d'affixe −1/4.
(a-½)2 = 4 ;
a2-a+1/4 = 4.
Il existe un point W ( 0 ; -1/4) tel que :
3. On suppose ici qu'il existe θ appartenant à [−π; 0] tel que α = eiq.
(a) Montrer que α2 − α = 2 sin(θ/2) exp[i(3q+p)/2]

(b) En déduire un argument de α2 − α en fonction de θ.
(3q+p) / 2.


Exercice 2
.
Un rectangle ABCD est inscrit dans un demi-cercle de centre O, de diamètre [IJ] et de rayon 4 cm. On note
θ la mesure en radian de l'angle BOC telle que 0 < θ < ½π..

1. Démontrer que l'aire du rectangle ABCD est donnée en fonction de θ par la fonction f définie sur [0; ½π] par
f(θ) = 16 sin(2θ).
BC = OC sin q ; OB = OC cos q ;
Aire du rectangle ABCD : 2BC x OB = 2OC2 cos q sin q = OC2 sin ( 2q) = 16 sin (2q).
2. Déterminer pour quelles de valeurs de θ, l'aire du rectangle ABCD est la plus grande et donner alors les dimensions de
ce rectangle.
L'aire est maximale lorsque sin (2q) = 1 soit q = p/4.
BC =2 x 2½ ; AB = 4 x2½.
3. Montrer qu'il existe deux valeurs de θ pour lesquelles l'aire de ABCD est 10 cm2. Donner les valeurs de θ à 10−1 près.

16 sin(2θ) = 10 ; sin(2θ) = 10/16 0,625 = sin 38,68°
2q = 38,68 ; q ~ 19,3°
2q = 180-38,68 ; q =70,7 °.




Exercice 3.
La famille de fonctions fn est dénie pour n appartenant à N* et t appartenant à [0; 1] par
fn(t) =(t + 1) / (t + 2) exp(−t /n).
On note Cn, pour n entier positif, la courbe représentative de la fonction fn et on considère ensuite la suite (un) déffinie pour n n entier positif par :
1. Sur le graphique suivant on a représenté les courbes C1, C2 et C3.

(a) Que représentent les nombres u1, u2 et u3 pour les courbes C1, C2 et C3 ?
L'aire A de la surface comprise entre la courbe Ci, l'axe des abscisses, la droite d'équation x=0 et la droite d'équation x=1.
(b) A l'aide du graphique dire quel semble être le sens de variation de la suite (un). Pourquoi ?
L'aire A croît lorsque n augmente. La suite (un) est croissante.
2. Démontrer que le sens de variation de la suite (un ) est celui observé à la question précédente.
fn(t) =(t + 1) / (t + 2) exp(−t /n) est la dérivée de (un).
Pour t compris appartenant à [0 ; 1 ], fn(t) est positive. Par suite (un) est strictement croissante.
3. Vérier que (t + 1) / (t + 2)= 1 −1/(t + 2).
1-1/(t+2) = (t+2) /(t+2) -1/(t+2) = (t+1) / (t+2).
4. Déterminer alors J :

5. Montrer alors Je-1/n < un < J pour tout n entier positif.

6. En déduire que (un) est convergente. Déterminer sa limite.
La suite est strictement croissante et majorée par J =1+ln2-ln3. La suite converge vers J~0,59.

Exercice 4 .
On considère un tétraèdre OABC dont les faces OAB, OAC et OAD sont des triangles isocèles rectangles.
Dans le triangle ABC, on appelle I le pied de la hauteur issue de C. Dans le triangle OIC, on appelle H le
pied de la hauteur issue de O.

1. Déterminer une représentation paramétrique de (IC)
Le triangle ABC est équilatéral. le point I est le milieu de [AB] ; I( ½ ; ½ ; 0).
Le vecteur IC est un vecteur directeur de la droite (IC) ; cette droite passe par C.
Représentation paramétrique de la droite (IC) :
x = -0,5 t ; y = -0,5 t ; z =t+1 avec t réel.
2. Déterminer les coordonnées de H.

3. Montrer que (OH) est orthogonale au plan (ABC).
Equation du plan (ABC) : ax +by+cz+d=0
A appartient à ce plan : a+d=0.
B appartient à ce plan : b+d=0 , par suite a=b.
C appartient à ce plan : c+d=0 ; par suite a=b=c et d = -a.
ax +ay +az -a = 0 soit en prenant a = 1/3 :
x /3 +y /3 +z/3 -1/3=0.
Le vecteur de coordonnées (1/3 ; 1/3 ; 1/3) est orthogonal au plan ( ABC).










Exercice 5.
On considère la suite (un) dénie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = (2un + 3)½.
1. Montrer à l'aide d'un raisonnement par réccurrence, que pour tout n entier, on a
0 < un < un+1 <3.
Initialisation : u1 = 5½. 0 < u0 < 1 <3 est vraie.
Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang p : 0 < up < up+1 <3.
up+1 = (2up + 3)½. up+2 = (2up+1 + 3)½.
up+2 -up+1 =(2up+1 + 3)½- (2up + 3)½.
Or up < up+1 , donc up+1 < up+2 .
up+1 <3 ; 2up+1 < 6 ; 2up+1 +3 < 9 ; (2up+1 +3)½< 3.
La propriété est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire ; elle vraie pour tout n entier.
2. En déduire que la suite est convergente. Démontrer que sa limite est 3.
La suite est strictement croissante et majorée par 3.
3. Voici un algorithme :
Variables :
n et p sont des entiers, u et v sont des réels.
Entrée :
Demander à l'utilisateur la valeur de p.
Initialisation :
Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 1
Afffecter à v la valeur 5½.
Traitement :
Tant que v − u > 10−p
Affecter à n la valeur n + 1.
Affecter à u la valeur (2u + 3)½.
Affecter à v la valeur (2v + 3)½.
Sortie : Afficher n.
(a) Recopier et compléter le tableau suivant en faisant tourner l'algorithme :
p
1
2
n
3
5

(b) Expliquer pourquoi la condition de la boucle tant que n'est plus vériffiée à partir d'une certaine valeur de n ce qui permet à l'algorithme de s'arrêter.

n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
u=1
u=5½~2,23607 u=(2 x5½+3)½ ~2,73352 u=2,90982
u=2,9698
u~2,9899
v=5½
v=(2 x5½+3)½ ~2,73352
v=(2 x2,73352 +3)½~2,90982
v=(2 x2,90982 +3)½~2,9698 v=(2 x2,9698 +3)½~2,9899 v=2,9966
v-u ~1,23607
v-u=0,4968
v-u=0,1763 > 10-1
v-u =0,05997 < 10-1
v-u=0,020 > 10-2
v-u=0,0067 < 10-2
v et u sont croissants ; u croît plus vite que v ; v-u va donc tendre vers zéro.


Exercice 6.
.Une usine fabrique des casques de moto, en grande quantité. Ces casques contiennent de la mousse dont la densité est exprimée en kg par m3. Dans la suite de l'exercice les résultats seront donnés à 10−2 près.
Partie 1.
La mousse fabriquée a une densité conforme lorsqu'elle est dans l'intervalle [41, 5; 42, 5]
1. On note X la variable aléatoire qui à chaque morceau de mousse prélevé au hasard dans la production, associe sa densité. On suppose que X suit la loi normale de moyenne 42 et d'écart type σ1 = 0, 5.
Donner la probabilité que la mousse prélevée soit conforme.
On pose Y = (X-42) /0,5 ; Y suit la loi normale centrée réduite.
(42,5-42)/0,5 = 1; les tables donnent P(Y < 1)=0,8413.
P(-1 < Y < 1) = 1-2(1-08413)=0,6826 ~0,68.
2. Le dirercteur de l'usine n'est pas satisfait de la qualité de la production, aussi il décide de revoir les réglages de ses machines pour que 95% soit conforme. Déterminer quelle doit être l'écart type de la production dont la densité moyenne est en ore de 42 kg par m3.
P(-1 < Y < 1) = 1-2(1-P(Y < 1))=0,95.
2P(Y < 1)-1=0,95 ; P(Y < 1)=0,975.
Les tables donnent t = 1,96 ; (42,5-42) / s = 1,96 ; s =0,5 / 1,96 ~0,255 ~0,26.
Partie 2 :
Le casque d'une moto à une durée de vie en années qui est régie par une loi exponentielle de paramètre λ = 0, 46.
1. Déterminer la probabilité que le casque ait une durée de vie supérieure à 5 ans.
P( X >5) = exp(-0,46 x5) =0,10.
2. On dispose d'un casque qui au bout de trois ans est comme neuf. Déterminer la probabilité que la durée de vie du casque soit supérieure à 8 ans.
La loi exponentielle est sans mémoire. La probabilité que le casque ait une durée de vie supérieure à 8-3 = 5 ans est 0,10.
3. L'entreprise qui fabrique des casques vient de créer une nouvelle mousse dont la probabilité que la durée de vie du casque soit supérieure à 8 ans est de 90 %. Déterminer la valeur du paramètre λ de la loi exponentielle suivie par la durée de vie de cette nouvelle mousse.
P( X >8) = exp(-l x5) =0,90 ; -5 l = ln(0,90) = -0,10536 ; l ~0,021.



  

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