QCM mathématiques. Concours cycle de formation des officiers de 1ère classe de la marine marchande 2013.

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Barème :  +1 pour une réponse correcte ; -1 pour une réponse incorrecte ; 0 en absence de  réponse ; bonification d'un point pour tout exercice intégralement et correctement traité.
Exercice 1.
f désigne la fonction numérique définie sur R par : f(x) = e-x ln ( 1+ex).
1. f '(x) +f(x) = ex /(1+ex). Faux.
Calcul de f '(x) : on pose u = e-x ; v = ln(1+ex) ; u' = -e-x ; v' = ex /(1+ex).
f '(x) = u'v +v'u =
-e-x ln ( 1+ex)+1 /(1+ex).
f '(x) +f(x) =1 /(1+ex).
2. On admet que pour tout réel u >0, ln(1+u) > u /(1+u).
Grâce à cette inégalité, il est possible de préciser le sens de variation de f sur R. Vrai.
f '(x) = -e-x[ ln ( 1+ex)-ex /(1+ex)].
On pose u = ex :
f '(u) = -1/ u [ ln ( 1+u)-u /(1+u)].
ln(1+u) > u /(1+u) et u est positif ,  donc f '(u) est négatif.
f(x) est décroissante sur R.
3. g désigne une fonction numérique définie et dérivable sur R telle que : g'(x) +g(x) = ex /(1+ex).


Exercice 2
. Soit g la fonction définie sur ]0 ; +oo[ par. g(x) = 1 / ( x e(1/x))-x.
1. A la question " déterminer la limite de x e(1/x) quand x tend vers zéro par valeur positive", un élève a tenu le raisonnement suivant :

Ce raisonnement  est incorrecte. Faux.
2.
On admet que g est strictement décroissante sur ]0 : +oo[.
On note f la fonction définie sur ]0 ; +oo[ par  : f(x) = 1 /(2x e(1/x) ).
Pour tout x >0, 0 < f(x) < 0,5 x. Vrai

f(x) =0,5 g(x) +0,5x.
f(0) =0 ; g(0) = 0 ; g est strictement décroissante.
3. Soit (un) la suite numérique définie par  :
u0 = 2 et un+1 = f(un) avec n entier.
Si 0 <f(x) <0,5 x pour tout x >0, alors 0 <un <1 /2n-1 et (un) converge. Vrai.
u1 = f(u0) = f(2) =e-0,5 / 22~0,606
/ 22 ~0,303 / 2.
Initialisation : 0 < f(un-1) < 0,5 un-1 ; 0 <  un < 0,5 un-1 ; 0 <  u1 < 0,5 u0 ; 0 <  u1 < 1 / 20.
La propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang p.
0 < up  < 1 /2p-1 .
up+1 = f(up) ; 0 < f(up) < up / 2 ; 0 < up+1 < up / 2 ; 0 < up+1 < 1 / 2p.
Conclusion : la propriété étant vrai au rang 1 et héréditaire, la propriété est vrai pour tout n entier.
1 / 2p tend vers zéro si p tend vers l'infini : la suite (un) converge.

Exercice 3.
(un) désigne une suite numérique telle que u0 =0 et u1 = 1. On considère la suite numérique ( vn) définie par :
vn = un-un+1, quel que soit n entier.
1.

2.
Si (vn) est une suite géométrique de raison q comprise entre ]-1 ; +1[,
alors (un) est une suite convergente. Faux.
un = -v0(1-qn-1) / (1-q) =
(1-qn-1) / (1-q) .
qn-1 tend vers zéro si n tend vers l'infini et un tend vers 1 / (1-q).
Si q tend vers 1, alors un tend vers l'infini.

3. (un) désigne désormais la suite définie par : u0 = 0 ; u1 = 1 ; un+2 = aun+1 +(1-a)un, où a est une constante réelle comprise dans l'intervalle ]0 ; 1 [.
(vn) est une suite géométrique convergente. Faux.
vn = un-un+1 ; un+1 = aun +(1-a)un-1 ; vn =(1-a)un -(1-a)un-1 =(1-a)(un -un-1 )=(a-1)(un-1-un) =(a-1) vn-1.
Il s'agit d'une suite géométrique de raison ( a-1) et de premier terme v0 = u0-u1 = -1.
vn = -(a-1)n ; a-1 est négatif, compris dans l'intervalle ] -1 ; 0 [ .
Si a = 0,0001 :
(a-1)200 ~0,98 ; (a-1)201 ~ -0,98. La suite (vn) ne converge pas.




Exercice 4.
Pour tout entier naturel n, on note :


2. (In) est une suite croissante. Faux.
L'aire comprise entre la courbe, la droite d'équation x=0, la droite d'équation x=1 et la droite d'équation y=0, diminue quand n  croît.
3.
(In) est une suite convergente. Vrai.

Exercice 5.
f désigne une fonction numérique, impaire, définie et continue sur R, dont le tableau des variations sur [0 ; +oo[ est le suivant :

1.  F est une fonction croissante sur [0 ; +oo[. Faux.
f(x) est croissante sur [0 ; 3 ] et décroissante pour x >3. Il en est de même de F.
2. F(1) =F(-1). Faux.

3. Quand x tend vers plus l'infini, F(x) tend vers l'infini. Vrai.
F(x) représente l'aire de la surface comprise entre la courbe, la droite d'équation x=0 et l'axe des abscisses.

Exercice 6.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. q désigne un élément de l'intervalle ]- p/2 ; p/2 [.
On note z0 le nombre complexe défini par : z0 = 1 +exp(2iq).
1. Une écriture exponentielle de z0 est z0 = 2 cos (q) exp(iq). Vrai.
z0 = 1 +cos(2q) +i sin (2q).
| z0 |2 =(
1 +cos(2q) )2+sin2 (2q)= 2+2cos(2q) = 4cos2(q) ; |z0|= 2 cos (q).
z0 / |z0|= cos a + i sin a = (1 +cos(2q)) / (2 cos (q)) +i sin (2q) /(2 cos (q)).
On identifie :
cos a = (1 +cos(2q)) / (2 cos (q)) = cos(q) ;
sin (2q) /(2 cos (q)) = 2 sin(q) cos (q) / (2 cos (q)) = sin (q).

2. Si q = p/6, z02013  est un nombre réel. Faux.
[2 cos (p/6)]2013 exp(i 2013p /6) ;
2013p /6 =335,5 p =167 x(2p) +1,5 p.

3. z0 = 4 /z0 si et seulement si q = 2kp avec k appartenant à Z. Faux.
z0 = ±2 ;
2 cos (q) exp(iq) = ± 2 ; cos (q) exp(iq) = ± 1.
cos (q) (cos (q) +i sin (q)) = ±1 ; sin (q) = 0 ; q = k p.









Exercice 7.

1. zA +zB = 0. Faux.
O milieu de [AB] ; O appartient à l'axe horizontal : xO = (xA +xB) / 2 = xB / 2 est un nombre réel ; yO = (yA +yB) / 2=0.
2. ( zB-zC) / (zA-zC)= ki avec k constante réelle non nulle. Faux.
zB-zC = xB -xC +i(yB -yC) =xB -1 +i(yB -yC).
zA-zC = xA -xC +i(yA -yC) = -1 +i(yA -yC).
Or yA = -yB ; zA-zC = -1 -i(yB +yC).
( zB-zC) / (zA-zC)=[xB -1 +i(yB -yC)] / [ -1 -i(yB +yC)]


Exercice 8.
Soit un cube dont l'arète mesure une unité.

2. La droite (AG) est perpendiculaire au plan (BDE). Vrai.

3. Le point I (1/3 ; 1/3 ; 1/3) est l'intersection du plan ( BDE) et de la droite (AG). Vrai.
Représentation paramétrique de la droite ( AG) : x = t ; y = t et z = t avec t réel.
Equation cartésienne du plan ( BDE) : x +y +z = a ; B(1 ; 0 ; 0 ) appartient à ce plan, d'où a = 1.
Intersection de la droite et du plan : t +t ++t = 1 soit t = 1/3.
Coordonnées du point intersection de la droite et du plan : (1 /3 ; 1 /3 ; 1 /3).

Exercice 9.
L'espace est muni d'un repère orthogonal.
1. D1 désigne la droite dont une représentation paramétrique est : x = 2 ; y = 2+t et z = -4-t, avec t  réel.
D1 est la droite passant par le point M de coordonnées ( 2 ; -2 ; 0) et dont le vecteur directeur est le vecteur de coordonnées (0 ; -1 ; 1).
Faux.
Coordonnées du vecteur directeur de la droite D1 : ( 0 ; 1 ; -1).
Si M appartient à cette droite :  xM=2 ( vérifié) ; yM=2+t = -2 soit t = -4 ; par suite zM = -4-( -4) = 0, ( vérifié).
2. D2 désigne la droite définie par l'intersection des plans d'équations x +y+z =0 et x-z = 1.
Pour démontrer que D1 et D2 sont deux droites sécantes, il suffit de vérifier que les vecteurs directeurs des droites sont deux vecteurs non colinéaires.
Faux.

3. Deux droites sécantes ( non perpendiculaires) définissent un angle géométrique aigü a et un angle géométrique ß.
Une mesure ( en rad) de l'angle géométrique aigü fait par les droites D1 et D2 est p/6.
Vrai.
Ecrire de  deux manières différentes le produit scalaire suivant :

Exercice 10.
Le temps d'attente en minutes à l'un quelconque des comptoirs d'enregistrement d'un aéroport, peut être mpdélisé par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre l = 0,04.
1. Le temps moyen d'attente à l'un des comptoirs est de 25 minutes. Vrai.
1 / 0,04 = 25 min.
2. Un client a déja attendu 20 minutes à un comptoir. La probabilité qu'il soit reçu dans les 5 minutes suivantes n'excède pas 0,2. Vrai.
La loi exponentielle modèlise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire. Le fait que le phénomène ait duré pendant t heures ne change rien à son espérance de vie à partir de l'instant t.
P(X<5)=1-exp(-0,04 x5) = 1-exp(-0,2) = 1-0,819 ~0,18.
3.  Huit comptoirs sont ouverts et le temps d'attente à un comptoir est indépendant du temps d'attente aux autres. Des comptoirs supplémentaires sont ouverts lorsque la durée d'attente à au moins 5 des 8 comptoirs est supérieure à 20 minutes. La probabilité que de nouveaux comptoirs soient ouverts est voisine de 0,26. Faux.
Probabilité d'attendre plus de 20 minutes à un comptoir : exp(-0,04 x20) ~0,45
Probabilité d'attendre plus de 20 minutes : à 2 comptoirs :  0,452= 0,2025 ; à 3 comptoirs : 0,453=0,0911 ; à 4 comptoirs : 0,454=0,041 ; total : 0,785.
Probabilité d'ouverture de nouveaux comptoirs : 1-0,785 ~0,22.

Exercice 11.
A la veille d'une élection, deux candidats A et B sont en présence. Un sondage est réalisé sur un échantillon de 400 électeurs choisis au hasard dans la circconscription considérée. ( L'ffectif de la population constituée des électeurs de cette circonscription est supposé suffisamment grand pour que le prélévement de  cet échantillon puisse être assimilé à un tirage successif et avec remise des 400 individus dans cette population.
1. Lors de la précédente consultation électorale, A avait obtenu 51 % des suffrages exprimés. Le sondage qui vient d'être réalisé, le crédite de 190 intentions de vote.
Au niveau de confiance de 95 %, sa côte de popularité est restée stable. Vrai.
1 / 400½ =0,05 ; 190 /  400 = 0,475 ; intervalle de confiance [ 0,475 -0,05 ; 0,475 +0,05 ] soit : [0,425 ; 0,525 ].
0,51 appartient à cet intervalle de confiance.
2. Le candidat B qui se présente pour la première fois, est quand à lui, crédité de 208 intentions de vote. Au niveau de confiance de 95 %, le candidat B a raison de penser que si les élections s'étaient déroulées à la date de ce sondage, il aurait certainement été élu. Faux.
1 / 400½ =0,05 ; 208 /  400 = 0,52 ; intervalle de confiance [ 0,52 -0,05 ; 0,52 +0,05 ] soit : [0,47 ; 0,57 ].
3. p désigne la proportion d'électeurs qui vont effectivement  voter pour B. Au niveau de confiance de 95 %, il aurait fallu réaliser un sondage sur un échantillon d'effectif au minimum supérieur à 1600 pour obtenir une esttimation à 5 % près.  Vrai.
1/1600½=0,025.

Exercice 12.
 L'éppreuve  de maths d'un concours consiste à choisir 3 affirmations parmi 5 proposées, puis à répondre par vrai, faux, je ne  sais pas à ces trois affirmations. Le barême est le suivant : +1 pour toute réponse correcte, -1 pour toute réponse incorrecte, 0 pour je ne sais pas.
On additionne les points obtenus pour obtenir une note sur trois. Les candidats complètent le document réponse suivant :
Affirmation n°
Vrai
Faux
Je ne sais pas
...



...



...



Un candidat n'ayant aucune connaissance en maths, décide  de compléter son document réponse en remplissant la colonne "affirmation n°"  par trois nombres choisis au hasard parmi 1, 2, 3, 4, 5, puis en cochant au hasard sur chaque ligne, l'une des cases vrai, faux, je ne sais pas.
1. Sans tenir compte de l'ordre, il y a dix façons de compléter la colonne de gauche du tableau précédent. Vrai.
C53 = 5 x4x3 / (2x3) = 10.
2. Ce candidat a plus d'une chance sur 2 d'avoir une note supérieure ou égale à 1 sur 3. Faux. 10 / 27 ~0,37.
3. En terme d'espérance, il est plus avantageux pour lui de choisir de ne cocher que les cases vrai ou faux pour les trois affirmations, que de cocher la case " je ne sais pas" pour l'une des 3 affirmations  et vrai ou faux pour les deux autres. Faux.



  

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