Equilibre d'un système soumis à des forces, Mouvement uniformément varié,  Concours  Marine Marchande 2012 et 2013

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Le schéma ci-dessous représente une masse M suspendue par un anneau à deux câbles, reliés aux poulies 1 et 2, qui font respectivement un angle de 60° et de 30° avec la verticale du lieu. On donne :
- la valeur de la masse : M = 500 kg ;
- l’accélération de la pesanteur : g = 10 m.s-2.

Indiquer et représenter sur ce schéma les forces auxquelles l'anneau est soumis.

Calculer le module de ces forces.
F1 = Mg sin 30 =500*10*0,5 =2,5 103 N.
F2 = Mg sin 60 =500*10*0,866 =4,3 103 N.
En déduire la valeur des forces de tension des câbles T1 et T2.
Les masses des poulies étant négligeables : T2=F2 et T1 = F1.

Un ouvrier soulève une brouette représentée sur la figure ci-dessous et chargée de graviers dont la masse vaut 100 kg. La distance « a » entre le centre de gravité G de la brouette chargée et le moyeu de la roue est à la moitié de la distance « b » entre le moyeu de la roue et les poignées. Le diamètre « d » de la roue est de 0,40 m. Une fois soulevée, la hauteur des poignées de la brouette est h = 0,70 m et l’angle formé par l’axe longitudinal de la brouette
avec l’horizontal est a = 30°. On considère que l’accélération de la pesanteur vaut 10 m.s-2.

Calculer à l’équilibre la force verticale devant être exercée sur chaque bras de l’ouvrier.
L'action du plan au contact avec la roue  passe par l'axe de rotation : son moment par rapport à cet axe est nul.
F est la force exercée sur les deux bras de l'ouvrier.
A l'équilibre : F b = Mg a cos 30 avec b = 2a.
2F =Mg cos 30 ; F = 100*10*0,866 / 2=  433 N.
Force exercée sur chaque bras : 266 N.
Calculer à l’équilibre la distance « b » entre le moyeu de la roue et les poignées.
sin 30 = (h-½d) / b ; b = (h-½d) / sin 30 = (0,70-0,20) / 0,5 = 1,0 m.


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Un automobiliste roule à la vitesse de 100 km.h-1 lorsqu’il aperçoit un obstacle immobile et inévitable à 100 m. Il freine aussitôt et percute l’obstacle à 10 km.h-1.
Enoncer les équations horaires de la vitesse et de la distance parcourue d’un mobile lors d’un mouvement rectiligne uniformément décéléré. En déduire l’expression de la décélération en fonction des vitesses initiale, finale et de la distance.
On note a la décélération, vi la vitesse initiale, vf la vitesse finale, d la distance parcourue et t la durée du freinage :
 la vitesse est une primitive de la décélération : vf = at +vi ;
la distance est une primitive de la vitesse : d =½at2 +vit.
t =(vf-vi)/a ; repport dans l'expression de "d" :
d =½
(vf-vi)2/a +vi(vf-vi)/a =( 0,5 vf2 +0,5 vi2 -vfvi +vfvi-vi2)/a =0,5(vf2-vi2) / a.
Autre méthode : utiliser le théorème de l'énergie cinétique : ½m
vf2 -½mvi2 =ma d ; simplifier par m.
Calculer la décélération.
a =
(vf2-vi2) /(2d) ; vf = 10/3,6 = 2,78 m/s ;  vi = 100/3,6 = 27,8 m/s ;
a =(2,782-27,82) / 200 =-3,8255 ~-3,8 m s-2.
Calculer la durée du freinage.
t =(vf-vi)/a =(2,78-27,8) / (-3,8255) =6,5 s.
Dans le cas où l’obstacle est un tracteur se déplaçant dans le même sens que l’automobile à la vitesse uniforme de 10 km.h-1. A 100 m du tracteur, l’automobiliste décélère
à 1,9 m.s-2 à partir de 100 km.h-1.
Donner les équations horaires de la décélération de l’automobile et de la vitesse du tracteur.
L'origine des distances est la position initiale de la voiture et l'origine des temps le début du freinage.
Automobile :
d =½at2 +vit. ; tracteur : d' =v0t +100.
En déduire  la durée du freinage,  la distance parcourue entre le début du freinage et le choc et la vitesse au moment du choc.
Au moment du choc d = d' ; ½at2 +vit = v0t +100.
0,5(-1,9)t2 +27,8 t=2,78 t +100 ; -0,95
t2 +27,8 t-2,78 t -100 =0.
0,95t2 -25 t +100 =0. Résoudre et retenir la racine positive ::
discriminant D = 252-4*100*0,95 =245 ; t = (25-15,65) / 1,9 =4,92 ~4,9 s.
Distance parcourue par le tracteur : d'-100 = 2,78*4,92 =13,6 m ; distance parcourue par la voiture : 100 +13,6 = 113,6 m.
Vitesse de la voiture au moment du choc : d =
0,5(vf2-vi2) / a.
2ad =
vf2-vi2 ; vf2 = vi2+ 2ad = 27,82 +2*113,6(-1,9) =341 ; vf = 18,5 m/s ou 18,5*3,6 = 66,5 km/h.






Une motocyclette parcourt la trajectoire ABCDEFG représentée sur le dessin ci-dessous. La distance rectiligne AB est de 450 m, celle de FG est de 225 m et le diamètre du demi-cercle BCDEF est de 152 m.

La vitesse initiale de la motocyclette est nulle au point A, puis elle augmente uniformément de 1 m.s-2 jusqu’au point B.
Du point B au point F, le module de la vitesse reste constant, puis, du point F au point G, il diminue uniformément de 2 m.s-2.
Indiquer les temps de passage aux différents points ABCDEFG.
AB = ½a1t12 ; t1 = (2AB/a1)½ =(2*450/1)½ = 30 s ; vB =a1t1 =1*30 = 30 m/s.
Il parcourt la demi circonférence BF =152*3,14 /2 =238,6 m à la vitesse de 30 m/s.
Date du passage en F : t2 =30 +238,6 / 30 =37,954 ~38 s. 
FG = ½a2(t-t2)2 +30(t-t2) ou encore si t3 est la durée de ce parcours :
FG = ½a2t32 +30t3 ;
225 = 0,5(-2)
t32 +30t3 ; t32 -30t3 +225 =0, résoudre et retenir la racine positive :
D =302-4*225 = 0 ; t3 = 30/2 = 15 s. Date de passage en G : 15+38 = 53 s.
Vitesse en G : v = a2t3 +vF =-2*15+30 = 0.
Indiquer la direction de la vitesse de la motocyclette et noter son module aux différents points en utilisant la couleur bleue ;
 indiquer la direction de l’accélération de la motocyclette et noter son module aux différents points en utilisant la couleur rouge.
Accélération centripète sur le demi-cercle de valeur v2/R =302 / 76 = 7 m s-2.
Calculer les forces subies par la motocyclette aux différents points et préciser quelles sont leur direction.
 La masse totale de la motocyclette et de son pilote, notée m, est de 150 kg. L’accélération de la pesanteur, notée g, est de 10 m.s-2. Les changements
d’accélérations aux points B et F sont instantanés. Les forces de frottement sont négligées.

Poids, vertical vers le bas, valeur mg = 150*10 = 1,5 103 N. Action du plan, opposée au plan.
Sur AB, force motrice de même sens que l'accélération a1, valeur ma1 = 150*1 = 150 N.
Sur FG, force motrice de même sens que l'accélération a2, valeur m|a2| = 150*2 = 300 N.
Force d'inertie centripète sur le demi-cercle : 150*7 =1,05 103 N.








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