Etude d'une fonction sinus, nombres complexes, probabilités , Concours Marine Marchande 2012 et 2013.
 


Mettre le problème ci-dessous sous la forme d’un système d’équations puis le résoudre.
Deux cercles concentriques ont une différence de leurs périmètres égale à 50 m. L’aire qui n’est pas commune aux deux cercles mesure 400 m². Calculer le rayon de chacun des cercles en arrondissant le résultat au millième.
On appelle R le rayon du grand cercle et r celui du petit cercle.
Circonférence du grand cercle : 2p R. Circonférence du petit cercle : 2 p r.
Différence  des deux périmètres : 2p(R-r)= 50 (1)
Aire du grand disque : pR2 ; aire du petit disque : pr2.
Différence des aires : p(R2-r2) =p(R+r)(R-r)=400. (2).
par suite 25(R+r) =400 soit R+r =16 ou bien R = 16-r.
Repport dans (1) :
2p(16-2r)= 50 ; 16-2r = 7,9577 ; r = 4,021 m et R = 16-4,021 =11,979 m.

Calculer la longueur d’un arc d’un cercle de rayon 6 cm intercepté par un angle de 30°.
q=30° = p/6 ; longueur de cet arc : qR =3,14 /6 * 6 = 3,14 cm.


L’induction B du champ magnétique dans l’acier doux varie en fonction de son excitation magnétique H conformément au tableau ci-dessous :
B (tesla) 0 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
H ( A m-2) 0 500 625 800 1100 1600 2300
On considère une variation linéaire (selon une équation de droite) entre chaque point.
Calculer la valeur au centième de l’induction du champ magnétique correspondant à une excitation magnétique de 1 235 A.m-1.

Soit f la fonction définie sur t appartenant à  [-5/3 ; 7/3 ] par f(t) = sin (½pt-p/6). On appelle (C) sa courbe
représentative dans un plan muni d’un repère orthogonal d’unité 3 cm pour l’axe des ordonnées et des abscisses.
Calculer les valeurs de t pour que f(t) soit nulle.
sin (½pt-p/6)=0=sin ( (2k+1)p) ; ½pt-p/6= (2k+1)p ; 0,5 t -1/6 = 2k+1.
t = 4k+2+1/3 ; k=0 , t = 7/3 ; k =-1, t =-5/3.
Calculer la dérivée de f et donner son tableau de variation.
f '(t) = ½p cos
pt-p/6). La dérivée est nulle pour :
cos (½pt-p/6)=0=cos ( (2k+1)½p) ; ½pt-p/6= (2k+1)½p ; 0,5 t -1/6 = (2k+1)0,5.
t = 2k+1 +1/3 ; k=0, t =4/3 ; k=-1, t = -2/3.

Calculer les coordonnées du point d’intersection noté I entre la courbe C et la droite d’équation : t = 0.
f(0) = sin (-p/6) =-0,5.
Calculer l’équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse t = 0.
f '(0) =½p cos(-p/6)~1,36 ; y = f '(0) x +b = 1,36 x +b.
La tangente passe par le point I ( 0 ; -0,5 ) : -0,5 = b ; y = 1,36 x -0,5.
Construire la courbe C et la droite T, en plaçant le point I.




Dans un repère orthonormé  on considère les points A(1, 4) et B(5, −2).
Calculer les coordonnées du point I, milieu de [AB].
xI = ½(xA+xB) =0,5(1+5) =3 ;
yI = ½(yA+yB) =0,5(4-2) =1.
Donner une équation de la droite (AB).
y=ax +b ; la droite passe en A : 4=a+b (1) ; la droite passe en B : -2=5a+b (2).
(1)-(2) donne : 4+2=a-5a ; 6 = -4a ; a = -1,5.
par suite b = 4-a = 4+1,5 =5,5  et y = -1,5x +5,5.
Donner une équation de la médiatrice de [AB].

Soit M(x,y) un point de cette médiatrice.

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Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (0, i, j). On considère les trois nombres complexes suivants :
zA = 2 - i 3½ ;  zB = - zA ; zC =
 Ecrire sous forme algébrique les complexes zB et zC puis placer les trois points A, B et C dans le plan complexe.
zB = -2+
i 3½  ; zC =½(2 - i 3½)(2 + i 3½) =½(4-3i2) = 3,5.

Calculer les modules et arguments des complexes zBA = zA – zB et zCA = zA – zC.
zBA = 2-(-2) - i 3½ -i 3½  =4-2 i 3½ ; module de  zBA : (42 +(2*3½)2)½ =28½ =2*7½ ~5,29 ;  argument : arct( -3½/2) = -0,713 rad ( -40,85 °).
zCA =2-3,5 - i 3½  =-1,5-2 i 3½ ; module de  zCA : ((-1,5)2 +(3½)2)½ =5,25½ ~2,29 ; argument : arct( -3½/(-1,5)) = 0,857 rad ( 49,1 °).
Démontrer que le triangle ABC est rectangle au point A.
L'angle A est droit : -arg
zBA +arg zCA = 40,85 + 49,1 = 89,95 ~90°.
zBC =-2-3,5 + i 3½  =-5,5+ i 3½ ; module de  zBC : ((-5,5)2 +(3½)2)½ =33,25½ ~5,77 ;
BC2 =33,25 et AB2 + AC2 =28 +5,25 =33,25.

Soient les deux nombres complexes z1 =3+2i et z2 = -1-4i.
Mettre sous forme a + bi les nombres complexes suivants :

z1+z2 =3+(-1) +2i+(-4i) =2-2i.
z1 z2 =(3+2i)(-1-4i) =-3-12i-2i-8i2 =5-14i.
z12=(
3+2i)2=9+4i2+12i =5+12i.






Un équipage de seize marins comporte six officiers et dix matelots. Quatre marins dont un officier sont des chinois.
 On choisit, au hasard, un marin dans l’équipage. On note A l’évènement : « le marin choisi est un officier ». On note B l’évènement : « le marin choisi
est un chinois ».
Calculer :
P (A) : six cas favorables sur 16 possibles ; P(A) =6/16 = 3/8 =0,375.
 P (B)  : quatre cas favorables sur 16 possibles ; P(B) = 4/16 = 0,25.


la probabilité que le marin choisi soit un officier ou un chinois ;

la probabilité que le marin choisi soit un officier chinois ou un matelot qui n’est pas chinois.
P(C)=P(être un officier chinois) = 0,375*0,25=0,09375.
P(D)=P(être un matelot non chinois) =0,625*0,75 =0,46875.


Une entreprise est spécialisée dans la vente de câbles métalliques de deux types C1 et C2.
Ces câbles proviennent de deux fournisseurs A et B.
Dans la livraison de A, il y a 50 % de chaque type de câbles et dans la livraison de B, il y a 20% de câbles C1. Le fournisseur A livre 2500 câbles sur un total de 5500 câbles.
Recopier et compléter le tableau ci-contre à l’aide des renseignements précédents.

A B Total
C1 1250 600 1850
C2 1250 2400 3650
Total 2500 3000 5500
On tire un câble au hasard (tous les câbles ont la même probabilité d’être tiré). Déterminer la probabilité :
 que ce soit un câble de type C1 : P(C1) =1850 / 5500 =0,3364 ~0,34.
que ce soit un câble provenant du fournisseur B : P(B) =3000 / 5500 =0,5454 ~0,55.
que ce soit un câble de type C1 et qu’il provienne du fournisseur A.
P(C1) x P(A) =0,3364*(1-0,5454) =0,153.




La figure ci-contre est la représentation graphique d’une fonction dérivable sur R. Les droites T1 et T2 sont tangentes
à la courbe aux points d’abscisses 1 et 4.
Déterminer graphiquement f (1) et f (4). Déterminer graphiquement f ′(1) et f ′(4).

Écrire une équation de la droite T1.
y=f '(1) x +b =-4x+b.
Cette droite passe au point de coordonnées (1 ; 5 ) : 5= -4+b ; b =9 ; y = -4x+9.


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