QCM Mathématiques, suites, nombres complexes, exponentielle, probabilités, concours Avenir 2017.

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Raisonnement.
Pour les questions 1 à 5 on considère une opération notée  + et définie par :
Pour tous réels a et b on A : a+ b = a + 2x ax b + b, où + et désignent respectivement l’addition et la multiplication dans R.
  1. (-2)+ (5+0,5)=
A)  -59 / 2
B) 109 / 2
C) -67 / 2
D) 101 / 2
(5+0,5)= 5 +2x5 x0,5 +0,5 = 10,5.
(-2)+ (5+0,5)= -2+2 x(-2)x10,5 +10,5 = -33,5 = -67 / 2.

2. Question 2 : Parmi les 4 propositions suivantes, laquelle est vraie ?
A : Si a > -1 alors a + a > 0.
B : Si a <-1 alors a + a > 0.
C : Si a < 0 alors a + a < 0.
D : Si a < 0 alors a + a > 0.
a + a  = a + 2a2+a = 2a2 + 2a= 2 a(a+1).

 3. On dit que l’opération + admet pour élément neutre le nombre réel noté ne si pour tout réel a on a : a + ne = ne+ a = a. Alors
A : ne = 0
B : ne = 1
C : ne = -1
D : ne est égal à une autre valeur que les trois proposées aux réponses précédentes.
 a+ ne = a + 2x ax ne + ne = a ; 2x ax ne + ne =0 ; ne(1+2a)=0 ; ne = 0.

4.  On dit qu’un nombre réel a admet pour symétrique pour l’opération +  le nombre noté a si a =a + a = ne, où ne est le nombre défini à la question 3. S’il existe, alors a =
A :-a
B : (2a-1) / a
C : -1 /a
D : -a /(1+2a).
a + a = 0 ; a+ a = a + 2x ax a + a =0 ; a(1+2a) = -a ; a= -a /(1+2a).

5. Dans R, l’équation a+ 1 = a x a admet
A : aucune solution
B : exactement une solution
C : exactement deux solutions
D : un nombre de solutions qui dépend de la valeur de a
a + 1 = a2 ; a+ 1 = a + 2x ax 1 + 1 =a2 ; 3a+1=a2 ; a2 -3a-1=0 ; D =9+4 = 13.
Le discriminant étant positif, l'équation  a+ 1 = a x a admet exactement deux solutions.

Algorithmique
Pour les questions 6 à 9 on considère l'algorithme suivant :
Variables : I , , U: nombres
Traitement :
Saisir un entier N
Saisir un nombre U
Affecter à I la valeur 0
Tant que I < N faire
                Affecter à I la valeur I+1
                                 Affecter à U la valeur U +0,5 I xU
fin du tant que
Afficher U

 6. Si on fait fonctionner l'algorithme avec N = 3 et U =2 , on obtient comme affichage
A : 15
B : 4
C : 6
D : Aucune des réponses précédentes n’est exacte.
I
 0
 1
 2
 3
N
 3
 3
 3
 3
U
 2
 2+0,5 x1x2=3
 3+0,5 x2x3= 6
 6+0,5x3x6=15
I < N
 vrai
 vrai
 vrai
 faux

7. Si on désire remplacer la boucle « tant que » par une boucle « répéter » on doit écrire
A : pour I allant de 0 à N par pas de 1
Affecter à I la valeur I+1
Affecter à U la valeur U+0,5 xIxU
Fin du pour		 B :  pour I allant de 0 à N-1 par pas de 1
Affecter à I la valeur I+1
Affecter à U la valeur U+0,5 xIxU
Fin du pour		 C :  pour I allant de 1 à N par pas de 1
Affecter à I la valeur I+1
Affecter à U la valeur U+0,5 xIxU
Fin du pour		 D :
Aucune des réponses précédentes
 n’est exacte.

8. Si on désire remplacer la boucle « tant que » par une boucle « pour » on doit écrire
A : Répéter
Affecter à I la valeur I+1
Affecter à U la valeur U+0,5 xIxU
Jusqu’à I < N		 B : Répéter
Affecter à I la valeur I+1
Affecter à U la valeur U+0,5 xI xU
Jusqu’à I = N-1		 C : Répéter
Affecter à I la valeur I+1
Affecter à U la valeur U+0,5 xI xU
Jusqu’à I > N		 D :
Aucune des réponses précédentes
 n’est exacte.
9. La variable U contient les termes successifs de la suite (un) définie par
A : u0 = 2 : un+1 =0,5 n x un pour tout entier naturel n.
B : u0 = 2 : un+1 =un+0,5 n x un-1 pour tout entier naturel n.
C : u0 = 2 : un+1 =un+(n-1)0,5 n x un-1 pour tout entier naturel n.
D : Aucune des réponses précédentes n’est exacte.
u1 doit être égal à 3. A conduit à u1 = 0 ;
u2 doit être égal à 6. B conduit à u2 = 3+2 ;  conduit à : u2 =3+0.
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Suites.
10) On considère la suite (un) définie par u0 = 5 et un+1=un+4 pour tout entier naturel,  alors u23=
A : 119
B : 85
C : 97
D : 111
Suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 4 : u23 = 5 +23 x4 = 97.

11) On considère la suite (un) définie par un =(-1)n x E(n/3) / (n2+n+1) , où E(x) désigne la partie entière de x, alors
A : (un) n’est ni minorée, ni majorée.
B :  (un) est minorée mais pas majorée.
C : (un) est majorée mais pas minorée.
D : est bornée.
La présence de (-1)n  élimine les propositions B et C.
Quand n devient grand, (un) , u2n tend vers zéro par valeur positive et u2n+1 tend vers zéro par valeur négative.

12. On considère une suite (un) arithmétique de raison 3 et une suite (vn) arithmétique de raison 2, alors la suite (wn) définie par wn=un+vn vn est
A : arithmétique de raison 6.
B : géométrique de raison 5.
C : arithmétique de raison .
D : arithmétique de raison 5.
un+1 =3+ un ; vn =2 + vn ; wn =5 + vn +un.

13) On considère une suite géométrique (un) de raison 3 et une suite géométrique (vn) de raison 2, alors la suite alors la suite (wn) définie par wn=un x vn vn est
A : géométrique de raison 6.
B : géométrique de raison 5.
C : géométrique de raison 9.
D : géométrique de raison 8.
un+1 =3 un ; vn+1 =2 vn ; wn =6  vn un

 14) On considère une suite (un) géométrique de raison 3 et une suite (vn) géométrique de raison 2, alors la suite (wn) définie par wn = 0,5(un+vn) est
A : géométrique de raison 2,5.
B : arithmétique de raison2,5 .
C : arithmétique de raison 4,5.
D : ni arithmétique, ni géométrique.
un+1 =3 un ; vn+1 =2 vn ; wn =0,5(3un + 2vn).

Nombres complexes.
 15) On considère le nombre complexe z = 3 i , alors z4 =
A : 81 i
B : -81
C : -81 i
D : 81
z = 3 exp(ip/2) ; z4 = 34 exp(2ip) = 81.

16) Les nombres réels a et b tels que pou tout z complexe, z3 +(2-i) z2 +(1-2i)z-i=(z-i)(z2+az+b) sont :
A) a=-2 et b = 1
B) la = -2 et b =-1
C) a = 2 et b = -1
D) a=2 et b = -1.
(z-i)(z2+az+b)=z3 +(a-i) z2 +(b-ai)z-bi =z3 +(2-i) z2 +(1-2i)z-i.
On identifie : b = 1 ; a = 2.

 17) exp(ip/2) [6exp(ip)+2] / (2i )=
A) -2
B) 2+i
C) 0
D) 2.
exp(ip/2) / i = 1 ; exp(ip) = -1 ; exp(ip/2) [6exp(ip)+2] / (2i )=0,5 (-6+2) = -2.

 18) On considère le nombre complexe z = (2 +2i) / (3½+i), alors un argument à 2 p près de z est :
A) -p /12
B) p /12
C) 5p /12
D) -5p /12
z = (2+2i)( 3½-i) / 2 =(1+i)(( 3½-i)  ; 1+i = exp(ip/4) ; 3½-i =2 exp(-ip/6) ;  z = 2 exp(i(p/4-p/6)) = 2 exp(ip/12).

 19) On considère le nombre complexe z = 5½ exp(3ip/4), alors un argument  de la moyenne arithmétique de z et de son conjugué est
A) 0.
B) p/2
C) p.
D) 3p/2.
z + z  =2 fois la partie réelle de z = 2 x 5½ cos (3p/4) = -10½.

20) On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé. L'affixe du vecteur suivant est :
A) 10 exp(ip/3).
B) 5 exp(-ip/3)
C) 5½ exp(-ip/3)
D) 10 exp(-ip/3).



21) On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé , les images des solutions de l’équation z4=6 sont
A : les sommets d’un triangle équilatéral.
B : les sommets d’un carré.
C : les sommets d’un pentagone régulier.
D : les sommets d’un hexagone régulier.
On pose Z = z2 ; Z2 = 6 : Z= +6½ et Z = i26½
z = ±60,25 et z = ± i 60,25  .

Probabilités conditionnelles
Pour les questions 22 à 24 on considère l’arbre pondéré suivant :


22) P(A3)=
A) 0,1
B) 0,2
C) 0,5
D) 0,498.

23. P(A1 n B)=
A) 0,1
B) 0,12
C) 0,18
D) 0,4

24. Les évènements A1 et B et sont
A : incompatibles.
B : certains.
C : dépendants.
D : indépendants.

Lecture graphique
Pour les questions 25 à 28 on se place dans le plan muni d’un repère orthonormé. On a tracé la courbe représentative d’une fonction dérivable et strictement décroissante sur R. Le point M est le point de la courbe d’abscisse 0. La droite (MC) avec C ( 2,5; 0) est la tangente à la courbe au point d’abscisse 0. Le point M et le point A (2 ;1) sont situés sur le même cercle dont le centre est l’origine du repère.


25) La courbe représentative de f admet
A : la droite d’équation x = 1 comme asymptote horizontale en + ∞.
B : la droite d’équation y = 1 comme asymptote horizontale en + ∞.
C : la droite d’équation x = 1 comme asymptote verticale en + ∞.
D : la droite d’équation y = 1 comme asymptote verticale en + ∞.

26) La valeur exacte de est  f(0) est :
A) 21 / 10
B) e
C) 5½
D) 3 x3½ / 2.
OM = OA = (22+12)½ = 5½.

27) Un vecteur directeur de la droite (MC) a pour coordonnées :
A) -5½ ; 2
B) -5½ ; 2 x 5½
C) -5½ ; -2 x 5½
D) -5  ; 2 x 5½
Coordonnées du vecteur MC : xC-xM = 2,5 -0 = 2,5 ; yC-yM = 0 -5½ = -5½ ;
Coordonnées d'un vecteur colinéaire  au vecteur OM : -2 x5 ; -2 x(-5½).

28) La fonction représentée est f(x) = (1+ae-x)½ avec a  =
A) 3½
B) 5½
C) 4
D) 1,5.
f(0) =(1+ae0)½ =(1+a)½ =5½ .

Trigonométrie.
Pour les questions 29 à 31 on considère la fonction cotangente notée cotan(x) et définie par cos(x) / sin (x).
29) cotan(p/4)=
A)  1
B) 0
C) 2½
D) 3½.
cos (p/4) / sin (p/4) = 1.

30. la fonction cotangente n'est pas définie si :
A) x = p /2 +2kp où k est un entier relatif.
B) x = p /2 +kp où k est un entier relatif.
C) x = 2kp où k est un entier relatif.
D) x =kp où k est un entier relatif.
sin(x) doit être différent de zéro.

31. Pour tout appartenant à son domaine de définition, la fonction cotangente est dérivable et admet pour fonction dérivée :
A) 1 +(cotan(x))2.
B) 1 / sin2(x).
C) -1 / sin2(x).
D) (cotan(x))2-1.
On pose u = cos(x) et v = sin(x) ; u' = -sin(x) ; v' = cos(x).
(u'v-v'u) / v2 = (-sin2(x) -cos2(x)) / sin2(x) = -(sin2(x) +cos2(x)) / sin2(x) = -1 /sin2(x)


Fonction exponentielle.
32)  e5x e-3 / (e3)2  =
A) e-3.
B) e-15 /6.
C) e-4.
D) e9.
e(5-3) / e6 = e2-6=e-4.

33) Les solutions dans de l’équation e2x+ex-2=0 sont :
A) -2 et 1.
B) 0
C) e-2 et e.
D) Aucune des réponses précédentes n'est juste.
On pose X = ex positif ; X2+X-2 = 0 ; D = 1+4x2 = 9 ; X = (-1+3) / 2 = 1 ; ex=1 ; x = 0.

34) Quand x tend vers plus l'infini, la limite de exp(x3-3x+9)½) =
A) plus l'infini
B) zéro
C) exp(x1,5)
D) e3.

35) Pour tout nombre réel non nul  ex / x4 =
A) e4y / (16y4) avec y = 4x.
B) (ey / y)4 / 256 avec x = 4y
C) e4y / (16y4) avec x = 4y.
D) (ey / y)4 / 64 avec x = 4y.
On pose x = 4y : e4y / (44.y4 )= (ey)4 / (256.y4) =(ey / y)4 / 256.

36). On considère la fonction f définie surR  par : f(x) = cos(3x) e-2x. La fonction dérivée de f en x  est
A : -e-2x(3 sin(3x) +2 cos(3x)).
B : -3e-2x(3 sin(3x) +2 cos(3x)).
C : -2e-2x(3 sin(3x) +2 cos(3x)).
D : -e-2x(3 sin(3x) -2 cos(3x)).
On pose u = cos(3x) et v = e-2x ; u' = -3 sin(3x) ; v' = -2e-2x.
u'v+v'u = -3e-2xsin(3x) - 2e-2xcos(3x) =  -e-2x(3 sin(3x) +2 cos(3x)).

37) Quand x tend vers zéro, la limite de  (e3x+2-e2) / x est :
A) plus l'infini.
B) zéro.
C) e2 / 3.
D. 3 e2.
e2(e3x-1) / x ~ e2(1+3x-1) / x = 3e2.


  

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