Mathématiques, nombres complexes, géométrie dans l'espace, suites, concours Avenir 2015



Géométrie plane et nombres complexes.
Soient les points A, B, C du plan complexe, d’affixes respectives a = −5−2i, b = −i et c = −3−4i

34. En unités d'aire, l'aire du triangle ABC est égale à
a. 2.
b. 3. c. 6 Vrai .d. 12.



35. L’équation réduite de la droite (d) passant par C et parallèle à (AB) est
a. y=0,2x-17/5 Vrai; b. y=0,2x+17/5 ; 
c.y=5x+11 ; d. y=5x-11. Vrai.
La droite (AB) est dirigée suivant le vecteur de coordonnées (5 ; 1).
La droite (d) est dirigée suivant le vecteur de coordonnées (5 ; 1) et passe par C(-3 ; -4) :
Equation paramétrique de cette droite : x = 5t-3 ; y = t-4.
t = y+4 soit x = 5y+20-3 ; y = 0,2x-17/5.


36. L’équation réduite de la médiatrice du segment [CB] est :
a : y=x-1. . b :y= -x+1 . c : y=x+4. d : y=-x-4. Vrai.
La droite (BC) est dirigée suivant le vecteur de coordonnées (-3 ; -3).
La médiatrice au segment [BC] est dirigée suivant le vecteur de coordonnées (+1/3 ; +1 / 3)
Cette médiatrice passe par le point sde coordonnées  : (0-3) / 2 ; (-4-1)/2 soit -1,5 ; -2,5.
Equation paramétrique de cette médiatrice : x = 1/3t-1,5 ; y = 1/3t-2,5.
1/3t= -x-1,5 ; y=-x-4
.
37. La parabole d’équation y = ax2 +ßx +g passant par les points A, B et C est telle que :
a : ß >0 et g >0. b : 
ß >0 et g <0. . c :  ß <0 et g >0. d :  ß <0 et g <0.
La parabole passe par B(0 ; -1) : -1 = g.
La parabole passe par A(-5 ; -2) : -2 = 25a -5ß+g ; -2 = 25a -5ß-1 ; -1 = 25a -5ß ;
La parabole passe par C(-3 ; -4) : -4 = 9a -4ß+g ; -4 = 9a -4-1 ; -3 = 9a -4ß ;
-9=225
a -45ß ; -75 = 225a -100ß ; soustraire : 66=55ß. ß = 6/5.




Algorithme.
On considère l’algorithme suivant :
Saisir un entier N inférieur ou égal à 4
Saisir un entier P supérieur ou égal à 6
Tant que N +1 est inférieur ou égal à P
Affecter à N la valeur N +1,5
Affecter à P la valeur P −N
Fin de Tant que
Si N est un entier alors afficher N
Sinon afficher P
Fin de Si
38. Pour N = 4 et P = 6, le nombre affiché est

a : 0,5 Vrai  b : 2. c : 5,5. d : aucune des réponse précédentes. Vrai..
N
4
4+1,5=5,5
P
6
6-5,5=0,5

39.
Pour N = 1 et P = 9, le nombre affiché est
a : 3 Vrai.. b : 3,5. c : 4. Vrai. d : aucune des réponses précédentes.
N
1
1+1,5=2,5
2,5+1,5=4
P
9
9-2=6,5
6,5-4=2,5

Géométrie dans l'espace.
Dans le repère orthonormé de l’espace, on considère les points A(1 ; 3 ; 2), B(−1 ; 3 ; 3), C(0 ; 3 ; −2), D(2 ; -2 ; 0) et E(8 ; −2 ; −3).
40.


41.
Une équation paramétrique de la droite (BD) est
a. x = -6t+5 ; y = 10t-7 ; z = 6t-3. Vrai. b. x=-t+2 ; y =3t-2 ; z = 3t.
 
c : x=3t+1 ; y = -5t-3 ; z = -3t-3. d : aucune des réponse précédentes.
Vrai.
La droite (DB) est dirigée suivant le vecteur de coordonnées [-1-2 ; 3 -(-2) ; 3-0) soit (-3 ; 5 ; 3).
De plus elle passe par le point B(-1 ; 3; 3).
Une représentation paramétrique de cette droite est : x = -3t-1 ; y = 5t+3 ; z = 3t+3, t réel.
Le point de coordonnées (5 ; -10 ; -3 ) appartient à cette droite, il suffit de prendre t = -2.

42. Une équation cartésienne du plan passant par D et perpendiculaire à (AB) est
a. -2x+z= -6.
b. 
6x-3z =18.
c.
6y+5z =12
d. aucune des propositions précédentes.
Vrai.
La droite (AB) est dirigée suivant le vecteur de coordonnées ( -1-1 ; 3-3 ; 3-2) soit (-2 ; 0 ; 1)
Equation cartésienne de ce plan : -2x +z = a.
Le point D(2 ; -2 ; 0) appartient à ce plan : -2 x2 +0 = a ; a = -4.

43. Le nombre de plans parallèles à (AB) passant par les points D et E est
a. 0 ; b. 
1 ; c. 2 .; d.  infini. Vrai

44.  Une équation cartésienne du plan passant par les points A et C et parallèle à (BD) est
a. x-y+z=0; b. 4x+2y-z=8 ; c. 2x+3y-3z=5; c. aucune des propositions précédentes.
Vrai.
Une représentation paramétrique de la droite (BD) est : x = -3t-1 ; y = 5t+3 ; z = 3t+3, t réel.
Cette droite est dirigée suivant le vecteur de coordonnées (-3 ; 5 ; 3).


45 .
Le triangle BCD est : a. rectangle, non isocèle ; b.rectangle isocèle ; c. isocèle non rectangle ; d. aucune des propositions précédentes.Vrai.

Les côtés ont des mesures différentes et la relation de Pythagore n'est pas vérifiée..










Suites d'intégrales.
Soient (An) et (Bn) les suites définies pour n supérieur ou égal à 1 par :
50.  (Bn) est :
a. constante ; b. strictement décroissante. Vrai c. strictement croissante. d.non monotone.
Primitive de ln(x) :F= x (ln(x)-1) ; F(1) = -1 ; F(1/n) = -1/n (ln(n)+1) ; Bn = -1+1/n (ln(n)+1).

51 Pour tout n supérieur ou égal à 2, (Bn) est :
a. strictement négatif  Vrai ; b. strictement pôsitif ; c. nul ; d. Aucune des 3 réponses précédentes n'est exacte.

52. A1=
a. 1/4 ; b. 1/3  ; c. 1/2, Vrai ; d. 1.
Primitive de ln(x) / x ; on pose u = ln(x) ; u' = 1/x ;  primitive de u u' = œu2 soit 0,5 (ln(x))2.
A1 = 0,5 (ln(e))2-(ln(1))2=0,5 x1-0=0,5.

53. A2=
a.1/4 ; b. 1/3 Vrai ; c. 1/2 ; d. 1.
On pose U = ln(x) ; U' = 1/x ; (ln(x)2 / x =U2U' ; primitive de U2U'  =U3 / 3 =( ln(x))3 / 3.
A2 =( ln(e))3 / 3 -( ln(1))3 / 3 = 1/3-0=1/3.

54. (An) est :
a. constante  ; b. strictement décroissante Vrai ; c. strictement croissante ; d. non monotone.

55.  (An)
a. converge Vrai ; b. diverge vers -oo  ; c. diverge vers +oo ; d. diverge sans limite.







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