Mathématiques,  concours Avenir 2013

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Simplifications d'écritures.
1. 0,5 ln(27)-2ln(3)+ln(3½) est :
a. nul.
Vrai.
b. strictement positif.
c. strictement négatif
d. aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte.

Une fonction paire est symétrique par rapport à l"axe des y ; une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

2. L'expression suivante est égale a :
Réponse b


3. (ln(3))2 -2 ln(3) est :
a : nul. . b : strictement négatif. Vrai. c : strictement positif. d :
aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte.
ln(3) (ln(3)-2) ; ln(3) est positif ; ln(3)-2 est négatif.


4. L'expression suivante est égale à :
Réponse b.
Continuité et dérivabilité. Soit f une fonction définie sur R.
5. f est continue   en -1 signifie que :
a : la limite de f(x), quand x tend vers -1, est un réel.
 b : la limite de f( x-1), quand x tend vers zéro, est un réel.
 c : la limite de  [f(-1+x) -f(-1) ] / x, quand x tend vers zéro, est un  réel.
d : aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte. Vrai.

La fonction f est continue en -1 signifie que la limite de f(x), quand x tend vers -1, est égale à (-1).

6. f est dérivable en -1 signifie :  :
a :
la limite de f(x), quand x tend vers -1, est un réel.
b : la limite de f( x-1), quand x tend vers zéro, est un réel.
 c :
la limite de  [f(-1+x) -f(-1) ] / x, quand x tend vers zéro, est un  réel. Vrai.
d : aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte.
f est dérivable en -1 signifie que la limite du taux d'accroissement en -1 est un réel.

Soit g une fonction définie sur [-1 ; 2 ] telle que g(-1)=2 ; g(0) = 1 ; g(1) = 0 et g(2)=-1.

7.
On est certain que sur [1 ; 2 ] :
a : g est strictement décroissante. b : g est strictement croissante.
c :g n'est pas strictement décroissante. d :  g n'est pas strictement croissante. Vrai.
On ignore ce qui se passe entre les valeurs proposées. On peut juste dire que g n'est pas strictement croissante.

8. On est certain que sur [1 ; 2 ], l'équation g(x) = 0,5 : :
a : n'admet pas de solution.
b : admet une uniqque solution..

c : admet au moins une solution.

d : aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte. Vrai.
On ignore si la fonction est continue. Le théorème des valeurs intermédiaires ne s'applique pas  et on ne peut pas connaître le nombre de solutions.




Equations et inéquations.
9. 1 /x inférieur ou égal à 0,2 a pour soluion :

a : ]0 ; 5]. b : [5 ; +oo[ . c : ]-oo ; 5]. d : aucune des réponse précédentes. Vrai.
Si x est positif : x est supérieur ou égal à 5.
Si x est négatif, 1/x est toujours négatif, donc inférieur à 0,2.
Solutions : ]-oo ; 0[ union [5 ; +oo[.

10.
Le nombre de solutions de l'équation :ln(x2 )= -(ln(x))2 est :
a : 0.. b : 1. c :2. Vrai. d : aucune des réponse précédentes.
2 ln (x) +ln(x) ln(x) = 0 ;ln(x) (2 +ln(x)) = 0.
Solution x = 1 et x = e-2.

11. Le nombre de solutions de l'équation :(ln(x))2 = -(ln(x))2 est :
a : 0.. b : 1
Vrai. c :2.  d : aucune des réponse précédentes.
ln(x) ln (x) +ln(x) ln(x) = 0 ; 2ln(x)ln(x)  = 0.
Solution x = 1.


12.
Le nombre de solutions de l'inéquation exp(-x2) supérieur ou égal à 1 est :
a. infini. b. 0. c : 1. Vrai. d : aucune des réponse précédentes.
-x2 supérieur ou égal à 0 ; x2 inférieur ou égal à 0 ; x =0.


13. Le nombre de complexes distincts solutions de l'équattion : 2z2 -5z+3=0 est égal à :
a. 0. b.
1. c.  2. Vrai. d. aucune des solutions précédentes.
Discriminant D = (-5)2 -4 x3x2=25-24 = 1.
Solutions ; z1 = (5-1) / 2 = 2 ; z2 =(5+1) / 2 = 3.
Les réels font partie des complexes, il y a deux solutions complexes.

Implications et équivalences.
Dans les quatre items suivants, P1 et P2 sont deux propositions et a et b deux réels. De manière générale :
14. Si P1 : "a3 = b3" et P2 :"a=b" alors :
a. seule P1 implique P2 ; b. 
seule P2 implique P1 ; c. P1 et P2 sont équivalentes Vrai ; d.  aucune des réponses précédentes.
La fonction f(x) = x3 est strictement croissante.


15.  Si P1 :"ln(a) = ln(b)" et P2 : "ea = eb" alors :
a.
seule P1 implique P2 Vrai ; b.  seule P2 implique P1. c. P1 et P2 sont équivalentes ; d. aucune des propositions précédentes.
ln(a) = ln(b) implique ea = eb .
ea = eb implique ln(a) = ln(b) seulement si a et b sont positifs.

16 . Si P1 :"a2 = b" et P2 :"a = b½" alors :
 
a. seule P1 implique P2 ; b.  seule P2 implique P1 Vrai . c. P1 et P2 sont équivalentes ; d. aucune des propositions précédentes.
a2 = b donne a = ±b½.
a = b½ donne b = a2.

17. Si P1:"AB2=AC2+BC2" et P2 :"ABC est un triangle rectangle", alors :
 
a. seule P1 implique P2 Vrai ; b.  seule P2 implique P1 . c. P1 et P2 sont équivalentes ; d. aucune des propositions précédentes.
Il n'est pas précisé quel est l'angle droit dans le triangle rectangle ABC.










Interprétation graphique.
  Ci-dessous la parabole représentant la fonction f définie sur R.

Soient les suites (Un) et (Vn) définies, pour tout entier naturel n respectivement par : Un = f(n) et V0 = a ; Vn+1 = f(Vn) où a est un  réel.
18.  La tangente à la parabole au point d'abscisse 3 a pour équation :
a. x=6 ; b. y=6. Vrai. c. y = 6x-18.
d. Aucune des 3 réponses précédentes n'est exacte.
La tangente est horizontale ( y = 6) au point d'abscisse x = 3.

19. La dérivée est définie par f '(x) =  :
a. -4x /9 -4/3 ; b. -4x/9 +4/3 Vrai ; c. 4x/9 -4/3 ; d. 4x/9+4/3.
La dérivée doit s'annuler pour x = 3, être négative pour x >3 et positive pour x <3.

20. Quand x tend vers l'infini, la limite de f(x)-x est égale à :
a. -oo . Vrai; b. +oo ; c. 0 ; d. aucune des proposition proposée.
Equation de la parabole y  = -2x2 /9 +4x/3 +4.
Au voisinage de l'infini, f(x) -x est équivalent à -2x2/9.

21.
Réponse c.

22. La suite (Un) est :
a. minorée non majorée ; b. majorée non minorée vrai ; c. bornée ;
d. Aucune des trois propositions proposées n'est correcte.
La suite est majorée par u3 = 6.

23. Pour a = 1, V2 appartient à :
a.[0 ; 2] ; b. [2 ; 4] ; c. [4 ; 6 ] vrai ; d. Aucune des trois propositions proposées n'est correcte.
V0 = 1 ; V1 = f(1) ~5,11 ; V2 = f(5,11) ~5,0.

24. Pour a = -1, la suite (Vn) est :
a. constante ;
b. strictement décroissante ; c. strictement croissante ;
d. Aucune des trois propositions proposées n'est correcte. Vrai.
V0 = -1 ; V1 = f(-1) ~2,4; V2 = f(2,4) ~5,9 ; V3 = f(5,9) ~4,1.
La suite n'est pas monotone.

25. Pour a = -4, la suite (Vn) est :
a. convergente ; b. diverge vers -oo, vrai ; c. diverge vers +oo ; d. aucune des propositions précédentes.
V0 = -4 ; V1 = f(-4) ~-5; V2 = f(-5) ~ -8,2 ; V3 = f(-8,2) ~ -22.

Trigonométrie.
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x cos (x/3).

26. f est :
a.paire ; b. impaire Vrai; c. paire et impaire ; d. aucune des propositions précédentes.
La fonction cos (x/3) est paire; f(-x) = -x cos (-x/3) = -x cos (x/3) = -f(x)..

27. f est :
a. périodique de période 2p.
b. périodique de période 6p. Vrai.
c. périodique de période 2p/3.
d. aucune des propositions précédentes. Vrai.
cos (x+6p)/3)= cos (x/3 +2p) = cos (x/3).] de l'équation f(x) = 0 est :
Mais  (x+6p) cos(x/3) diffère de x cos (x/3) :  f n'est pas périodique.

28. Le nombre de solution sur [-2p ; +2p] de l'équation f(x) = 0 est :
a. 0 ; b. 1 ; c. 2 ; d. 3. Vrai.
x = 0 ; cos (x/3) = 0 = cos (±p/2) ; x/3 = ±p/2 ; x = ±3p/2.

29. Sur R la fonction f '(x) est définie par :
a.-x sin (x/3).
b. cos(x/3) +x sin (x/3).
c. cos (x/3)-x sin (x/3).
d. aucune des propositions précédentes. Vrai.
On pose u = x et v = cos(x/3) ; u'=1 ; v' = -1/3 sin (x/3).
u'v+v'u = cos(x/3) -x/3 sin (x/3).

30. Sur R la primitive F de f telle que F(0)=0 est définie par :
a. x2/2 sin (x/3).
b. 3x2/2 sin (x/3).
c. 9 cox (x/3) +3x sin (x/3).
d. aucune des propositions précédentes. Vrai.
Dériver chaque proposition :
(a) : x sin (x/3) + x2/6 cos (x/3).
(b) : 3x sin(x/3) +x2/2 cos (x/3).
(c) : -3sin (x/3) +3 sin(x/3) +x cos (x/3)= x cos (x/3).
F(0) = 9 cos (0) +3 x0 sin (0) = 9. La condition F(0) =0 n'est pas vérifiée.

31. Quand x  tend vers l'infini, la limite de f(x) est égale à :
a. 0.
b. -oo.
c. +oo.
d. aucune des propositions précédentes. Vrai.
La fonction n'a pas de limite : elle s'annule de manière périodique, admet des maximum de plus en plus grands et des minimum de plus en plus négatifs.

32. Quand x tend vers l'infini f(1/x) est égale à :
a. 0. Vrai.
b. -oo.
c. +oo.
d. aucune des propositions précédentes.
La limite de f(1/x) quand x  tend vers l'infini est égale à la limite de f(x) quand x tend vers zéro.


33. Sur R la primitive de f(x) entre -p et +p est :
a. nulle. Vrai.
b. strictement négative.
c. strictement positive.
d. aucune des propositions précédentes.



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