QCM mathématiques. Concours Advance 2014.




1. A l'auberge "l'hirondelle heureuse", le prix de la fricassée de moustiques coûte 2 becos
en 2012. En 2013 le prix de la fricassée a baissé de 30 %, puis a augmenté de 50 % l'année suivante. Depuis 2010, tout client ayant une carte de fidélité a une réduction de 10 % sur la fricassée et tout client ayant une carte bonus a une fricassée gratuite pour 10 achetées. Alors :
A.  En 2013, la fricassée coûte 0,60 becos. Faux.
2 x0,70=1,4 becos.
B. Entre 2012 et 2014, le prix de la fricassée a augmenté de 20 %. Faux.
Prix en 2014 :1,4 x1,5 =2,10 becos soit une augmentation de 5 %.
C. Un client ayant une carte de fidélité depuis 2010 paye sa fricassée en 2014 au même prix qu'en 2012. Faux.
2,10 x0,90=1,89 becos.
D. En 2014, la fricassée coute 2,10 becos. Vrai.
E. En 2014, il est financièrement plus intéressant d'avoir une carte bonus qu'une carte de fidélité lorsque l'on achète 11 fricassées par an. Faux.
Carte fidélité : prix payé : 1,89 x 11 =20,79 becos.
Carte bonus : prix payé : 2,10 x10 = 21,0 becos.

2. Limites


3. Fonction
Soit f une fonction définie et dérivable sur R dont le tableau de variations est :

A. f (4) = 0. Faux.
B. Pour tout x réel, f ( x) est inférieur ou égal à 5. Vrai.
C. L'équation f ( x) = 0 admet exactement 2 solutions. Faux.
D. L'équation f ( x) = 4 admet exactement 2 solutions. Vrai.
E. Les données ne permettent pas de connaître le signe de f(1) f(3). Vrai.

4. Fonction logarithme. Soit f la fonction définie sur ]−3,3[ par f(x)=ln [(3-x) / (3+x)]

Alors :
A. f (0) = 0. Vrai. ln(3 / 3) = ln1 = 0.
B. Pour tout x appartenant à ]−3,3[ , f (−x) = − f ( x). Vrai.
f(-x) = ln[(3-(-x)) / (3+(-x))]=ln[(3+x) / (3-x)] = -
ln [(3-x) / (3+x)]
C. Pour tout x appartenant à ]−3,3[ , f '(x) = 1/(3-x) -1 /(3+x). Faux.
On pose u = 3-x ; v = 3+x et X = u/v.
u'=-1 ; v'=1 ; X' = (u'v-v'u) / v2 = (-3-x-3+x) / (3+x)2 = -6 /
(3+x)2 .
f '(x) = X' / X =
-6 / [(3+x)(3-x)] .
D. f est croissante sur ]0,3[. Faux.
E. f est décroissante sur ]−3,0[. Vrai.




5. . Soit la fonction définie sur R par f(x) = x e-2x.
A. Pour tout x réel f '(x) +2f(x)=e-2x. Vrai.
On pose u=x et v = e-2x ; u'=1 ; v' = -2e-2x.
f '(x)=u'v+v'u=e-2x-2xe-2x+
2xe-2x=e-2x.
f '(x) +2f(x)=e-2x-2xe-2x.


6. Soit (un ) une suite géométrique de raison q >1 et de premier terme u1 = 2 .
Pour tout n entier positif, on pose Sn la somme des termes de la suite.
Alors :
A. u16=q10u6. Vrai.
u6=u1q5 ;
u16=u1q15 =u1q5 q10.
B. u5u7=u3u9. Vrai.
u1q4 u1q6=
u12q10 ; u1q2 u1q8= u12q10 .
C. Si q = 2 alors S3 =14. Vrai.
S3 = u1(1-q3) / (1-q) =2(1-23)/(1-2)=14.
D. Pour tout  entier n non nul , Sn est un entier naturel pair. Faux.
Sn = u1(1-qn) / (1-q) = 2
(1-qn) / (1-q).
E. Pour tout entier non nul, S2n = (1+qn) Sn. Vrai.
(1+qn) Sn.=(1+qn) u1(1-qn) / (1-q)= u1(1-q2n) / (1-q) =S2n.

7. Soit m réel et fm la fonction définie sur R par fm(x)=x2+2mx+9.
A. f5(x)=(x+1)(x+9). Vrai. (x+1)(x+9) = x2 +10x+9.
B.
Pour tout m réel, la courbe de fm passe par le point I(0 ; 9). Vrai. fm(0)=9.
C. Pour tout m réel , pour tout x réel, fm(x) est positive ou  nulle. Faux.
D. Pour tout m réel , l'équation fm'(x)=0 admet une seule solution. Vrai.
fm'(x) =2x+2m =2(x+m) =0 ; solution unique x = -m.
E. Pour tout m réel, pour tout x réel, fm+1(x) est supérieure ou égale à fm(x). Faux.


8. Soit f une fonction continue sur R, de valeur moyenne 4 sur[−2,2]
Alors on peut affirmer que :
A.
B. Pour tout x appartenant à [−2,2], f ( x) est positive ou nulle. Faux.
C. f n'est pas une fonction impaire. Vrai.
Dans le cas d'une fonction impaire, en intégrant entre -2 et +2, on trouverait une moyenne nulle.
D. Il existe a appartenant à [−2, 2], f (a) = 4. Vrai.
E. La valeur moyenne de f2 sur [−2,2] est 16. Faux.









9. Soit f la fonction définie sur [−1,1] par (f(x)= x3 − 3x + 2

Alors :
A. f est croissante sur [−1,1]. Faux.
f '(x)=3x2-3=3(x2-1), négative sur [-1 ; 1], donc f(x) est décroissante sur cet intervalle.
B. Pour tout x appartenant à[−1,1], f ( x) est positive ou nulle. Vrai.
f(x) est strictement décroissante et minorée par 2 sur cet intervalle.
C. Pour tout a appartenant  à[0,4], l'équation f ( x) = a admet une unique solution sur [−1,1]. Vrai.
D. Pour tout x appartenant à [−1,1], si f ( x) est inférieure ou égal à 2, alors x est négatif ou nul. Faux.
E. Pour tout x appartenant à Î[−1,1], si x est supérieur ou égal à-0,5, alors f(x) est inférieure ou égale à 27/8. Vrai.
f(-0,5)=(-0,5)3 -3 x(-0,5) +2 = -1/8 +3,5=27 /8.
De plus la fonction est strictement décroissante sur cet intervalle.

10. On appelle octet une liste de 8 éléments pris dans l'ensemble {0,1}
(exemple d'octet : 00110011). Alors il y a :
A. C24 =6 octets se terminant par 1000. Faux.
On fixe les 4 derniers chiffres, donc seuls les 4 premiers varient. 24 = 16.
B. 25 octets se terminant par 100. Vrai.
On fixe les 3 derniers chiffres, donc seuls les 5 premiers varient. 25 = 32.
C. C25 =10 octets commençant par 100. Faux.
On fixe les 3 premiers chiffres, donc seuls les 5 derniers varient. 25 = 32.
D.  5! x25 octets contenant 100 (remarque : 10101111 ne contient pas 100). Faux.
E. 4! Octets contenant exactement quatre 0. Faux.
Par exemple 00001111.
Il y a 8! façon de ranger 8 éléments distincts. Or il y a 4 éléments identiques à zéro et 4 éléments identiques à 1, d'où : 8! /(4! x4!).

11. Dans un jeu, on lance une bille dans un appareil comportant 6 portes de sortie numérotées de 1 à 6. La probabilité que la bille sorte par la porte 2 est 1/6. La règle du jeu est : un joueur mise 1€, il reçoit 3€ si la bille sort par la porte 2, sinon il ne reçoit rien.
Yves fait 6 parties successives. X est la variable aléatoire représentant le nombre de parties gagnées par Yves.
Alors :
A. P(X=2) = 1/3. Faux.
A chaque partie, la probabilité de gain est 1/6.
P(X=2)=1/6 x1/6 = 1 / 36.
B. P( X supérieur ou égal à 1) = 1-(5 / 6)6.Vrai.
C. La probabilité qu'Yves ne perde pas d'argent est P( X supérieur ou égal à 2). Vrai.
On gagne 2 € si la bille sort par la porte 2, sinon on perd 1 €. Il suffit donc de gagner deux parties.
D. Yves peut gagner au plus 12€. Vrai.
E. La probabilité qu'Yves gagne de l'argent est égale à celle qu'il en perde. Faux.

12. Dans le repère (O, i , j , k ), on considère le plan P d'équation x − y + 2z − 4 = 0 et D la droite passant par I (1 ; 1 ; b) et de vecteur directeur u (−1 ; a ; 1) où a et b sont des réels. Alors :
A. Si a diffère de 1 alors pour tout b réel l'intersection de D et P est un point. Vrai.
Représentation paramétrique de la droite : x = xI-t=1-t ; y=yI+at =1+at ; z=zI+t=b+t.
Dans l'hypothèse où le plan et la droite ont un point commun :
x − y + 2z − 4 =1-t-(1+at)+2(b+t)-4 =1-t-1-at+2b+2t-4=2b-4+t(1-a)=0.
si t =(4-2b) / (1-a), le plan et la droite se coupent.
B. Si b = 2 alors pour tout a réel l'intersection de D et P est un point. Faux.
C. Si b diffère de 2 alors pour tout a réel la droite et le plan ne se coupent pas. Faux..
D. Si a =1 et b = 2 alors la droite et le plan ne se coupent pas. Faux.
E. Si a =1 et b diffère de 2 alors la droite et le plan ne se coupent pas. Vrai.

13. Pour tout nombre complexe z,
A. |z2+1| supérieur ou égal à |z+1|. Faux.
z= a+ib, a et b réels.
Module de z+1 = |z+1|= [(a+1)2 +b2]½.
Module de z2+1 : |z2+1 |=[(a2-b2+1)2+(2ab)2]½.
Dans le cas où a =0 et b=1 ;|z+1|=2½ est supérieur à  |z2+1 |=0.
B. |z +1| supérieur ou égal à |z-2|. Faux.
Module de z-2 = |z-2|= [(a-2)2 +b2]½.
Pour  a = 0, [(0+1)2 +b2]½ est inférieur à [(0-2)2 +b2]½.
C. Si |z+1|=2 alors il existe q appartenant à [ 0 ; 2p[,  tel que z = eiq+1. Vrai.
z+1 est de la forme 2 eiq. Pour q=0, |z+1|=2.
D. S' il existe q appartenant à [ 0 ; 2p[, z = -5eiq+1 alors |z|=4. Faux.
E. Si |z| = 2 alors |z −1| =1. Faux.
z= a+ib, a et b réels ; 4 = a2+b2.
Module de z-1 = |z-1|= [(a-1)2 +b2]½.

14. On dispose de 4 cartes
Chaque carte vaut un nombre entier strictement positif de points. On donne ci-dessous la somme des points des 3 cartes :

On note : x : valeur de la carte avec l'étoile ; y : valeur de la carte avec le carré, z : valeur de la carte avec le pentagone et u : valeur de la carte avec le cercle.
x+y+z=200. (1) ; x+y+u=150. (2) ; x+z+u=100. (3) ; y+z+u =n. (4)
(1)-(2) donnent z-u = 50 (5) , d'où : x+2u = 50 (6) ; y+2u=n-50 (7) ; x+y =150-u. (8).
A. Il est impossible que n =50. Vrai.
(1)+(2)+(3)+(4) donnent : 3x +3y+3z+3u=450+n ; x+y+z+u=150+n/3 donc n est un multiple de 3.
50 n'est pas un multiple de 3.
B. n est supérieur ou égal à 150. Vrai.
(1)-(2) donnent z-u = 50 (5) , d'où : x+2u = 50 ; y+2u=n-50 ; x+y =150-u.
C. n est un multiple de 3. Vrai.
(1)+(2)+(3)+(4) donnent : 3x +3y+3z+3u=450+n ; x+y+z+u=150+n/3, donc n est un multiple de 3.
D. Si n = 210 alors une des cartes vaut 10 points Vrai.
(6)+(7)-(8) donnent : 4u=n-150+u ; 3u=n-150.
Si n = 210, u = 20 ;
(5) donne : z=70 ; (6) donne x =50-2*20=10 ; (7) donne y=120.
E. Si n = 210 alors une des cartes vaut 30 points. Faux.



  

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