QCM mathématiques. Concours Advance 2016.

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1. Soit la fonction numérique définie sur R-{1} par f(x) =(x+3) / (x+1).
A. f est continue sur ]-oo ; -1 [. Vrai.
B. Pour tout x appartenant à R-{-1}, f '(x) = 2 / (x+1)2. Faux.
On pose u = x+3 et v = x+1 ; u' =1 ; v' = 1.
(u'v -v'u) / v2 = ( x+1-x-3) /
(x+1)2 = -2 /(x+1)2.
C. La limite de f(x) est égale à 1 lorsque x tend vers l'infini. Vrai.
D. f est décroissante sur ]-1 : +oo[. Vrai.
f '(x) est négative ; f(x) est décroissante sur son intervalle de définition.

E. L'équation f(x) =0 admet une unique solution sur l'intervalle de définition. Vrai.
 x = -3.

2. Soient deux fonctions  définies sur R par f(x) = 1-4ex / (e2x+1) et g(x) = e2x-1.
A. Pour tout x appartenant à ]-oo ; 0], g(x) est négatif ou nul. Vrai.
1 / e-2x est inférieur ou égal à 1 sur
]-oo ; 0].
B. Pour tout x appartenant à [0 ; +oo[, f '(x) est positif ou nul. Vrai.
On pose u = ex et v = e2x+1 ;u' = ex ;  v' = 2e2x.
(u'v -v'u) / v2 = (ex(
e2x+1) - 2exe2x ) / (e2x+1)2 = ex (1-e2x) / (e2x+1)2
f '(x) =  4ex (e2x-1) / (e2x+1)2 .
C. f(x) est décroissante sur ]-oo ; 0]. Vrai.
La dérivée f '(x) est du signe de
e2x-1.
1 / e-2x est inférieur ou égal à 1 sur ]-oo ; 0] ;
f '(x) est donc négative et f(x) est décroissante sur
]-oo ; 0].
D. La limite de f(x) est égale à 1 lorsque x tend vers moins l'infini. Vrai .
Au voisinage de moins l'infini, le terme en exponentielle tend vers zéro.
E.
La limite de f(x) est égale à 1 lorsque x tend vers plus l'infini. Vrai .
Par croissance comparée
ex / (e2x+1) tend vers zéro lorsque x  tend vers l'infini.

3. Soit pour tout x réel, f(x) = 1-cos(2x) et g(x) = sin2(x).
A. f (p/2)=2. Vrai.
f (p/2)=1-cos p = 1-(-1) = 2.
B. Pour tout x réel, f '(x) = sin(2x). Faux.
f '(x) = -(-2) sin (2x) = 2 sin (2x).
C. Pour tout x réel, f '(x) = 2 g'(x). Vrai.
g'(x) = 2 sinx cosx = sin(2x).
D. La limite de g(x) / x2 est égale à 1 quand x tend vers zéro. Vrai.
g(x) / x2 = c La limite de sin(x) / x est égale à 1 quand x tend vers zéro.
E. La limite de f(x) / x2 est égale à 2 quand x tend vers zéro. Vrai.
f(x) = 1-cos(2x) =2sin2(x) ; f(x) / x2 = 2 f(x) / x2 .




4. Soit f la fonction numérique définie sur [1 ; +oo[ par f(x) = ln(2x) +1-x.
A. f(1) >0. Vrai.
f(1) = ln(2)+1-1 = ln(2).
B. Pour tout x appartenant à [1 ; +oo[, f '(x) = (1-x) / x. Vrai.
f '(x) = 2 /(2x) -1 = (1-x) / x.
C. f(x) est strictement décroissante sur [1 ; +oo [. Vrai.
f '(x) est négative sur  ]1 ;+ oo [ ; f (x) est strictement décroissante sur
]1 ;+ oo [
D. La limite de f(x) est égale à -oo quand x tend vers plus l'infini. Vrai.
Par croissance comparée, x croît plus vite que ln(2x) quand x tend vers l'infini.
E. Il existe un unique réel a appartenant à [1 ; +oo [, a = ln(2a) +1. Vrai.

5. Transmission de données numériques.
La fibre optique permet de partager une vidéo en quelques instants et sur de longues distances.
La qualité de la transmission des données est caractérisée par le débit et l'atténuation que subit le
signal. Une fibre optique a un débit moyen de 100 Mbit/s et une atténuation linéique de 0,2 dB/km. La vitesse de la transmission correspond à la vitesse de la lumière dans le verre : v = 2 108 m.s-1.
Données : L'atténuation linéique a correspondant à la diminution de la puissance du signal par kilomètre, est dénie par : a= 10 / L log(Pe / Ps)
avec Pe : la puissance du signal à l'entrée de la fibre,
Ps : la puissance du signal à sa sortie,
L : la distance parcourue par le signal en km.
Aide au calcul : log(10n) = n
A. La propagation dans une fibre optique est dite libre. Faux.
La propagation  est guidée dans une direction, celle de la fibre.
B. Dans une bre optique de 1000 km de longueur, les informations sont transmises en  5 µs.Faux.
1000 / (2 105) =0,005 s = 5 ms.
C. La transmission d'une image de 400  500 pixels codée en RVB nécessite 6  105 octets. Vrai.
Un octet pour chaque couleur primaire par pixel soit 3 x400 x500 =
6 105 octets.
Un fim projette 25 images de 400 x 500 pixels codées en RVB par seconde.
D. Le débit de la fibre utilisée est insuffisant pour voir le lire dans de bonnes conditions. Vrai.
25 x6 105 octets par seconde soit 8 x25 x6 105 =120 106 bits /s = 120 Mbits /s.
Le long d'une fibre optique, le signal est amplifié lorsque PS = Pe/100.
E. Le signal est amplié tous les 100 km parcourus. Vrai.
0,2= 10 / L log(100 )=  20 / L ; L = 20 /0,2 = 100 km.

6 .Échange d'énergie.
Une bouteille isotherme de type  thermos  est un système ingénieux qui permet de garder chaud
ou froid pendant plusieurs heures le liquide qu'elle renferme. L'isolation est assurée par une double
paroi de verre. Entre les deux parois, on a fait le vide. De plus, le verre est argenté pour supprimer les rayonnements thermiques vers l'extérieur.
On introduit dans la bouteille un volume V = 0,5 L d'eau. L'ensemble a une température de 95°C.
La température du système diminue de 2°C toutes les 4000 secondes.
Donnée : Chaleur massique thermique de l'eau : ceau = 4,0 kJ.kg-1 °C-1.
U = m cDT ( avec m en kg, c en kJ.kg-1 C-1)
A. L'énergie perdue en 4000 s est de 4,0 kJ. Vrai.
U = 0,5 x4,0 x2 = 4,0 kJ.
B. Le flux thermique es 5 W. Faux.
énergie ( J) / durée ( s) =4 000 / 4000 = 1 W.
C. La résistance thermique de la paroi est inférieure à 0,5 K.W-1.
Faux.
R = différence de température / flux thermique = 2 / 1 = 2 K.W-1.
D. Plus la paroi est isolante, plus la conductivité thermique est grande. Faux.
L'épaisseur de la paroi est e=10 mm. La surface intérieure du vase est S= 0,05 m2 et la résistance
thermique est fixée à la valeur R = 1,0 K.W-1.
E. Dans ces conditions, la conductivité thermique de la paroi du vase Dewar est l= 0,2 W m-1 K-1. Vrai.
l = e /(RS) =0,010 / 0,05 =
0,2 W m-1 K-1.









7.  La chauve-souris.
 Non seulement le sonar des chauve-souris leur indique à quelle distance se trouve une proie ou un obstacle, mais il leur révèle aussi des détails précis de cet objet. Du retard de l'écho par rapport aux sons qu'elles émettent, les chauve-souris déduisent la distance aux objets. En détectant les variations de fréquence de l'écho par rapport au son émis, elles perçoivent la vitesse relative d'un insecte en vol et la fréquence des battements de ses ailes.  D'après N. Suga  Pour la science  juillet 2001.
Le signal reçu par la chauve-souris a une fréquence fr = 50,5 kHz et la fréquence du signal émis fe = 50 kHz et est perçu 10 ms après l'émission.
L'effet Doppler donne une relation entre fe, fr, v et u avec v la vitesse de l'onde émise par la chauve-souris et ±u la vitesse de l'insecte. Le signe devant u dépend de l'approche ou de l'éloignement de l'insecte par rapport à la chauve-souris. fr = fe v / (v ±u).
Données : Vitesse des ultrasons dans l'air : v = 340 m.s-1.
A. L'insecte se trouve à une distance d = 3,4 m de la chauve-souris. faux.
340 x0,010 = 3,4 m, distance aller + retour du signal. l'insecte  se trouve à 1,7 m de la chauve-souris..
B. L'insecte s'éloigne de la chauve-souris. Faux.
La fréquence reçue est supérieure à la fréquence émise, l'insecte se rapproche de la chauve-souris.
C. Dans ce cas, la relation s'écrit : 
fr = fe v / (v -u). Vrai.
D. La vitesse u de l'insecte se calcule ainsi : u =v (1-fe / fr). Vrai.
fr (v -u)= fe v ; v -u= fe v / fr ; u= v (1-fe / fr).
E. La vitesse de l'insecte a pour valeur u = 3,4 m.s-1. Vrai.
u = 340 (1-50 /50,5) =340 x 0,5 / 50,5 =3,36 m / s ~3,4 m /s.

8. Voyage lunaire.
Le 16 juillet 1969, la lanceur Saturn V a décollé de Cap Canaveral et a emmené l'équipage de la mission Apollo 11 sur le sol lunaire. Après plus de 70 heures de vol, le vaisseau spatial s'est mis en orbite circulaire autour de la Lune à une altitude de 110 km avant de faire descendre le module lunaire sur la Lune avec à son bord Niel Armstrong et Edwin Aldrin. Le rayon de la trajectoire du vaisseau vaut alors 1800 km.
Données : Constante de gravitation universelle : G = 6,6  10-11 SI.
Masse de la Lune : ML = 7,0 1022 kg. Masse du vaisseau : m = 30 t.
Aide au calcul :(77 / 30)½ =1,6 ; (7,7 /30)½ = 0,5.
A. La vitesse du vaisseau est constante sur l'orbite circulaire. Vrai.
La valeur de la vitesse est constante, sa direction change.
B. Le vecteur accélération et le vecteur vitesse sont perpendiculaires à chaque instant. Vrai.
Accélération centripète et vitesse portée par la tangente au cercle.
C. La vitesse du vaisseau ne dépend pas de la masse du vaisseau. Vrai.
v2 = GML / r.
D. Si la vitesse du vaisseau augmente, la période de révolution autour de la Lune augmente. Faux.
v= 2pr / T =2pGML / (v2 T ) ; T =2pGML / (v3 ) .
E. La vitesse du vaisseau sur cette orbite vaut v = 1, 6 103 m.s-1. Vrai.
v2 =6,6 10-11 x7,0 1022 / (1,8 106) =6,6 x7 / 18 106 = 7,7 / 3 106 ; v = 1,6 103 m /s.

9. Quantité de mouvement et énergie.
Un pendule est constitué d'une masse suspendue à un fil inextensible. On le lâche sans vitesse initiale et on néglige les frottements de l'air.
Données : Masse du pendule : M = 50 g Période d'un pendule : T = 2p (L /g)½.
Intensité de la pesanteur : g = 10 N.kg-1. Aide au calcul : p2= 10
A. La période d'un pendule de longueur L = 1 m vaut T = 2 s. Vrai.
T2 = 4p2 L / g = 40 / 10 ; T = 2 s.
B. L'énergie mécanique du pendule se conserve lors des oscillations. Vrai.
Un pendule balistique est un système permettant de mesurer la vitesse v d'un projectile de masse m.
Un pistolet à air comprimé tire des projectiles de masse m = 0,25 g et le projectile reste alors attaché à la masse M du pendule balistique qui monte à une hauteur maximale H = 0,05 m. On prend Ep = 0 J dans la position d'équilibre du pendule.
C. L'énergie mécanique du système (projectile+pendule) est Em = 0,025 J. Vrai.
L'énergie mécanique du système se conserve et vaut (M+m) g H = 50,25 10-3 x10 x0,05 =0,025 J.
D. La vitesse du pendule juste après le choc est V = 1,0 m.s-1. Vrai.
½(m+M)V2 = Em = 0,025 ; V2 = 0,050 /(50,25 10-3) ~1,0.
E. La vitesse du projectile à la sortie du pistolet est v = 200 m.s-1. Vrai.
Conservation de la quantité de mouvement du système : mv = (M+m) V ; v = 50,25 / 0,25 ~ 200 m/s.

10. Onde et particule.
La matière est constituée de nombreuses particules. Le noyau d'un atome est constitué de protons et de neutrons, eux-mêmes constitués de quarks. Le proton est constitué de deux quarks up et d'un quark down. Un quark up possède une charge électrique égale à 2e/3.
Données : Charge élémentaire : e =1,6 10-19 C
Masse d'un proton : mp = 1,6 10-27 kg.
Vitesse de la lumière : c =3,00 108 m/s.
Constante de Planck : h = 6,6 10-34 J s.
Longueur d'onde associée à une particule de quantité de mouvement p : l = h /p.
Dilatation des durées :DT = g DT0.
A. La charge d'un quark down est -e/3. Vrai.
4e / 3 + x = e ; x = -e/3.
B. La cohésion des noyaux des atomes est obtenue grâce à l'interaction électrique. Faux.
C. Un proton ayant une vitesse correspondant à 10% de la vitesse de la lumière est associé à une onde de longueur d'onde l d'ordre de grandeur 10-14 m. Vrai.
l = 6,6 10-34 /(1,6 10-27 x 3 107) = 6,6 / (1,6 x3) 10-14 ~1,4 10-14 m.
Les muons sont des particules produites lors de la collision entre particules cosmiques et particules de l'atmosphère. Elles sont formées à 20 km d'altitude et touchent le sol en 67 µs pour un observateur terrestre. Des études ont montré que la durée de vie propre des muons est de 2,2 µs. Ce qui s'expliquepar la dilatation des durées dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte.
D. La vitesse d'un muon pour un observateur terrestre est proche de la vitesse de la lumière. Vrai.
20 000 / (67 10-6) ~3 108 m/s.
E. Le coeffcient de dilatation a pour valeu 0,3. Faux.
g = 67 /2,2 = 30.



  

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