Calculs d'aires et volumes, mise en équation, PGCD, brevet 2013.
 


(sujet 2013)
Un enfant a ramassé 20 coquillages. Les grands mesurent 2 cm de long, les petits mesurent 1 cm.
Tous les coquillages mis bout à bout font 32 cm au total.
Combien a-t-il de grands coquillages et combien de petits ?
On note x le nombre de petits coquillages et 20-x le nombre de grands coquillages.
Longueur = 32 = x+2(20-x) ; 32 = x+40-2x ; x =8.
8 petits coquillages et 12 grands coquillages.

Un vendeur de bain moussant souhaite faire des coffrets pour les fêtes de fin d’année. En plus du traditionnel « pavémoussant », il veut positionner par dessus une « pyramide moussante » qui ait le même volume que le pavé.
Les schémas suivants donnent les dimensions (h désigne la hauteur de la pyramide)
:
On rappelle les formules suivantes :
Vpavé = Longueur×largeur×hauteur
 Vpyramide =aire de la base×hauteur /3

Calculer le volume d’un « pavé moussant »
.
Vpavé = Longueur×largeur×hauteur =20*20*8 =3200 =3,2 103 cm3.
Montrer que le volume d’une « pyramide moussante » est égal à 400h/3 cm3.  En déduire la hauteur.
La pyramide a le même volume que le pavé ; l'aire de la base de la pyramide est égale à : 20*20 = 400 cm2.
3200 = 400 *h /3 ; 8 = h/3 ; h = 8*3 = 24 cm.

Un pâtissier a préparé 840 financiers* et 1 176 macarons*. Il souhaite faire des lots, tous identiques, en mélangeant financiers et macarons. Il veut utiliser tous les financiers et tous les macarons. * Les financiers et les macarons sont des pâtisseries.
Sans faire de calcul, expliquer pourquoi les nombres 840 et 1 176 ne sont pas premiers entre eux.
Ce sont des nombres pairs : ils admettent 2 comme diviseuur commun.
Le pâtissier peut-il faire 21 lots ? Si oui, calculer le nombre de financiers et le nombre de macarons dans chaque lot.
840 / 21 =40 ; 1176/21=56.
Il peutt faire 21 lots comptant chacun 40 financiers et 56 macarons.
Quel est le nombre maximum de lots qu’il peut faire ? Quelle sera alors la composition de chacun des lots ?
Rechercher le PGCD de 840 et 1176 :
840 = 40*21 = 8*5*3*7 =23*3*5*7 ; 1176 = 21*56 = 3*7*8*7 = 23*3*72.
PGCD(840 ; 1176 )=
23*3*7 =168.
840 / 168 =5 ; 1176 / 168 = 7.
Il peut faire au maximum 168 lots comptant chacun 5 financiers et 7 macarons.
Cette année, chaque lot de 5 financiers et 7 macarons est vendu 22,40 €. L’année dernière, les lots, composés de 8 financiers et de 14 macarons étaient vendus 42 €.
Sachant qu’aucun prix n’a changé entre les deux années, calculer le prix d’un financier et d’un macaron.
On appelle x le prix d'un financier et y le prix d'un macaron.
5x +7y = 22,4 ; 8x +14y = 42.
10x +14y = 44,8 (1) ;  8x +14y = 42.
Soustraire (1)-(2) : 2x =2,8 ; x = 1,4 € ; y = (22,4-5*1,4) / 7 =2,2 €.


Le fleuve Amazone est celui qui possède le débit moyen le plus important au monde. Il est d’environ 190 000 m3/s.
En France, un foyer de 3 personnes consomme en moyenne 10 000 L d’eau par mois.
Donner un ordre de grandeur du nombre de ces foyers que pourrait alimenter ce fleuve en un an.
Rappel : 1 L = 1 dm3 et 1 m3 = 1 000 L
.
Trois personnes consomment en moyenne 10 m3 par mois soit 120 m3 par an.
Volume d'eau débité par le fleuve en un an :  190 000*3600*24*365 ~ 1012 m3.
Nombre de foyers :
1012 /120 ~ 5 1010.

.


Heiata et Hiro ont choisi comme gâteau de mariage une pièce montée composée de 3 gâteaux cylindriques superposés, tous centrés sur l’axe (d) comme l’indique la figure ci-dessous :


Les trois gâteaux cylindriques sont de même hauteur : 10 cm.  Le plus grand gâteau cylindrique, le n° 1, a pour rayon 30 cm.
Le rayon du gâteau n° 2 est égal au 2 /3 de celui du gâteau n° 1. Le rayon du gâteau n° 3 est égal au 3 /4 de celui du gâteau n° 2.
Montrer que le rayon du gâteau n° 2 est de 20 cm.
30 *2 / 3 = 10*2 = 20 cm.
Calculer le rayon du gâteau n° 3.
20*3 /4 = 5*3 = 15 cm.
Montrer que le volume total exact de la pièce montée est égal à 15 250 p cm3.
Rappel : le volume V d’un cylindre de rayon R et de hauteur h est donné par la formule V = p×R2 ×h.
V =
p×302 ×10 +p×202 ×10 +p×152 ×10 = 10 p(302 +202 +152) =10 p(900 +400 +225) =15 250 p cm3.
Quelle fraction du volume total représente le volume du gâteau n° 2 ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
V2 =
p×202 ×10 ; V2/ V= 200 / 1525.
200 = 23*52 ; 1525 =52*61 ;
V2/ V= 8 / 61.

ABCD est un rectangle tel que AB = 30 cm et BC = 24 cm. On colorie aux quatre coins du rectangle quatre carrés identiques en gris. On délimite ainsi un rectangle central que l’on colorie en noir.

Dans cette question, les quatre carrés gris ont tous 7 cm de côté.Dans ce cas :
 quel est le périmètre d’un carré gris ?
4*7 = 28 cm.
quel est le périmètre du rectangle noir ?
Longueur L = AB-2*7 = 30-14 = 16 cm ; largeur = l = BC-2*7 =24-14 = 10 cm.
périmètre du rectangle noir : 2(L+l) = 2(16+10) = 52 cm.
Dans cette question, la longueur du côté des quatre carrés gris peut varier. Par conséquent, les dimensions du rectangle noir varient aussi.
Est-il possible que le périmètre du rectangle noir soit égal à la somme des périmètres des quatre carrés gris ?
On note x la mesure du côté d'un carré gris. Périmètre des 4 carrés gris : 4*4x = 16 x cm.
L= 30-2x ; l =24-2x ; périmètre du rectangle noir : 
2(L+l) =2(30-2x+24-2x) =108-8x.
108-8x =16x ; 108 =24 x ; x =108 / 24 =4,5 cm.




Flora fait des bracelets avec de la pâte àmodeler. Ils sont tous constitués de 8 perles rondes et de 4 perles longues. Cette pâte à modeler s’achète par blocs qui ont tous la forme d’un pavé droit dont les dimensions
sont précisées ci-dessous. La pâte peut se pétrir à volonté et durcit ensuite à la cuisson.

Flora achète deux blocs de pâte à modeler : un bloc de pâte à modeler bleue pour faire les perles rondes et un bloc de pâte à modeler blanche pour faire les perles longues.
Combien de bracelets peut-elle ainsi espérer réaliser ?
On rappelle les formules suivantes : Volume d’un cylindre : V = p×rayon2 ×hauteur
Volume d’une sphère : V =4 / 3p×rayon3.
Volume d'un bloc : 2*6*6 = 72
cm3.
Volume d'une perle ronde : 4 / 3p×0,43=0,268 cm3 ; nombre de perles rondes : 72 / 0,268 ~268.
Volume d'une perle longue : p×0,42 ×1,6=0,804 cm3 ; nombre de perles longues : 72 / 0,804 ~89.
On peut réaliser 89/4 ~ 22 bracelets.

Un oeuf de poule pèse en moyenne 63 grammes. Sachant que :
• le blanc d’oeuf est deux fois plus lourd que le jaune d’oeuf,
• le jaune d’oeuf est deux fois plus lourd que la coquille,
combien pèse la coquille d’un oeuf de poule ?
On appelle x la masse de la coquille : masse du jaune : 2x ; masse du blanc : 4 x.
Masse de l'oeuf : x + 2x +4x = 63 ; x = 9 g.




QCM.
Trois mille trente et trois centimes s'écrit : 300 030,300 3030,300 3030,03
2080+10+10 est égal à : 3000 2100 3100
3x*2x est égal à : 6x 5x2 6x2
5 10-3 est égal à : 50-3 -5000 0,005
Les solutions de l'équation x(x+7)=0 sont : 0 et -7 0 et 7 1 et -7
Racine carrée 16 + racine carrée 9 est égal à : 4+3=7 4½+3½ 25½ =5
Pierre va en vélo au collège, il part à 6 h 38. Son trajet dure 25 min.
les cours commence à 7 h05. Il arrivera  :
à l'heure.
6 h38+0h25 =6 h63 ou 7 h03
en avance en retard
Dans un jeu de 52 carte, on tire une carte. Quelle est la probabilité que la carte soit un as ? 1/52 0,777 4 / 52



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