Mathématiques, bac biotechnologies Métropole 09/ 2017.


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QCM. 4 points.
Pour chacune des questions, une seule des trois réponses proposées est exacte.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de
réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.
Indiquer, sans justification, le numéro de la question et la réponse correspondante .
1. Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [4 , 9], alors la probabilité P(X ≥ 5) est égale à :
a) 5 / 9 ;  b) 0,8 exact ; c) une valeur autre que 5 / 9 et 0,8.
P(X > 5) =P(5  < X < 9)= (9-5) / (9-4) = 4 / 5 = 0,8.

2. Une variable aléatoire Y suit la loi normale d’espérance 15 et d’écart type 4 alors la probabilité
P(Y ≥ 17) est :
a) supérieure à 0,25 exact ; b) inférieure à 0,15 ; c) supérieure à 0,75.
P(X > 17) = 1- P(X <17) = 1-0,691 = 0,309.

3. Dans le repère ci-dessous, la courbe Cf représente la fonction de densité f d’une variable
aléatoire suivant une loi normale d’espérance μ et d’écart type σ. De même, la courbe Cg
représente la fonction de densité g d’une variable aléatoire suivant une loi normale d’espérance
μ' et d’écart type σ'.
D’après le graphique, on a :
a) μ = μ' et σ > σ' exact ; b) μ < μ' et σ = σ' ; c) μ = μ' et σ < σ' .

µ =µ'= 4.
L'écart type mesure la dispersion autour de la moyenne.  La courbe Cf est plus étalée que la courbe Cf, donc s' < s.

4. La loi binomiale de paramètres n = 150 et p = 0,96 peut être approximée par la loi normale
d’espérance μ et d’écart type σ avec :
a) μ = 144 et σ = 5,76 ; b) μ = 150 et σ = 2,4 ; c) μ = 144 et σ = 2,4, exact.
µ = np = 150 x0,96 =144.
s = (np(1-p))½ = (150 x0,96 x0,04)½ = 2,4.
....

.....
Exercice 2.  (4 points)
Une solution contient initialement 5 millions de bactéries par mL. Toutes les 10 minutes, la concentration en bactéries augmente de 15 %.
1. Pour tout entier naturel n, on note cn la concentration en bactéries en millions par mL au bout de n dizaines de minutes.
a) Quelle est la nature de la suite (cn) ? En préciser le premier terme et la raison.
On passe d'un terme au suivant en le multipliant par 1,15. Donc suite géométtrique de premier terme c0=5 et de raison q = 1,15.
b) Vérifier qu’au bout d’une heure et demie, la concentration des bactéries en millions par mL, est égale à 17,6 (valeur arrondie à 0,1).
1,5 h = 90 minutes.
u9 = 5 x1,159 ~17,6.
c) En précisant la démarche, déterminer au bout de combien de minutes la concentration en bactéries dépasse 20 millions par mL.
5 x1,15n> 20 ;
1,15n> 4  n ln(1,15) > ln 4 ; n > ln 4 / ln(1,15) ; n >9,92.
Soit environ 100 minutes.
Les phages sont des virus infectant les bactéries ; ils peuvent donc servir d'agents antibactériens. Le but de l'exercice est d'étudier l'action de phages sur une population de bactéries.
2. On introduit des phages au bout de 90 minutes. Cette introduction de phages provoque une diminution globale de la concentration en bactéries de 40 % toutes les dix minutes. On souhaite connaître le temps nécessaire pour que la concentration en bactéries devienne inférieure à 10 % de la concentration initiale. Pour ce faire, on utilise l'algorithme ci-dessous.
Variables : I entier, C réel
Traitement :
C prend la valeur 17,6
I prend la valeur 0
Tant que C > 0,5
I prend la valeur I+1
C prend la valeur Cx0,6
Fin Tant Que
Sortie : Afficher I et C
a) Que représentent les valeurs 17,6 et 0,5 figurant dans l’algorithme par rapport à la situation concrète proposée ?
A la date t = 90 minutes, on introduit les virus. Le nombre de bactéries est alors égal à 17,6 millions.
Concentration initiale des bactéries : 5 millions  par mL ; 10 % de 5 millions = 0,5 millions. L'algorithme tourne tant que C > 0,5.
b) Quelles sont les valeurs affichées par l’algorithme en sortie ? Comment les interpréter ?
I
0
1
2
3
4
5
6
7
C
17,6
17,6 x0,6 = 10,56
10,56 x0,6= 6,336
6,336 x0,6=3,80
3,80 x0,6=2,28
2,28 x0,6 ~1,37
1,37 x0,6 ~0,82
0,82 x0,6 ~ 0,49
Au bout de 70 minutes la concentration des bactéries est inférieure à 0,5 millions par mL.





Exercice 3.
 Partie A
Chez un ostréiculteur (producteur d’huîtres) d’un village au bord de l’Atlantique, la bactérie appelée
vibrio estuarianus est apparue à partir du mois d’août 2014. Le tableau ci-dessous donne la quantité yi (exprimée en tonnes) d’huîtres affectées par cette bactérie dans son élevage en fonction de xi qui représente le numéro du mois depuis l’apparition de la bactérie. Le numéro 1 correspond au mois d’août 2014, le numéro 2 correspond au mois de septembre 2014, …
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
yi
20
210
320
390
440
480
510
540
560
570

1. a) Représenter graphiquement ce nuage de points dans un repère orthogonal.

b) Un ajustement affine semble-t-il pertinent ? Pourquoi ?
Les points n'étant pas alignés, un ajustement affine n'est pas pertinent.
2. On pose : zi = 750 /(750-yi).
. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de zi au centième.
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
zi
1,03
1,39
1,74
2,08
2,42
2,78
3,13
3,57
3,95
4,17

3. a) On réalise alors un ajustement affine de ce nouveau nuage de points Mi (xi , zi). À l’aide de la
calculatrice, donner une équation de la droite D d’ajustement de z en x obtenue par la méthode
des moindres carrés (on arrondira les coefficients à 10-4).
z =0,3566 x +0,6647.
b) Déterminer à l’aide de ce modèle d’ajustement, la quantité d’huîtres affectées par la bactérie
en décembre 2015 chez cet ostréiculteur (le mois de décembre est la période de vente la plus
importante pour un ostréiculteur). On arrondira le résultat à la dizaine de tonnes
x=17 ; z =0,3566 x17 +0,6647 =6,7269.
750 /(750-y)=6,7269 ; 750-y=111,49 ; y =638,5 ~640.

Partie B
Depuis le mois de janvier 2015, on tente d’éradiquer cette bactérie à l’aide d’un antibiotique mis au
point par un laboratoire pharmaceutique. Le directeur de ce laboratoire affirme que cet antibiotique
permet de sauver 76 % des huîtres affectées par cette bactérie.
1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence d’huîtres sauvées par
l’utilisation de l’antibiotique dans un échantillon de 1000 huîtres (on arrondira les bornes de
l’intervalle à 10-3).
n =1000 > 30 ; np = 1000 x0,76 = 760 > 5 ; n(1-p) = 1000 x0,24 = 240 > 5.
Les conditions sont vérifiées pour déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
1,96(0,76 x0,24 / 1000)½ =0,0261.
Intervalle de fluctuation : [0,76 -0,0261 ; 0,76 +0,0261] soit [0,734 ; 0,786]
2. L’ostréiculteur décide d’utiliser cet antibiotique sur un lot de 1000 huîtres de son élevage
affectées par cette bactérie. Il constate, qu’après l’utilisation de cet antibiotique, 74 % des huîtres
ont été sauvées.
L’observation faite par l’ostréiculteur remet-elle en question l’affirmation faite par le directeur du
laboratoire ? Justifier la réponse.
0,74 appartient à l'intervalle précédent. Au risque de 5 %, il n'y a pas de raison de mettre  en cause l'affirmation du directeur.











Exercice 4 ( 7 points)
1. Soit la fonction g définie sur [0, 10] par g(x) = 60 x e-0,5x .
À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient deux expressions de la dérivée de la fonction g :
g'(x) = -30(x-2) e(-0,5x).
a) Déterminer le signe de la dérivée de la fonction g.
e-0,5x est toujours positif. Le signe de la dérivée est le signe de 30(x-2) soit le signe de 2-x.
g'(x) >0 sur [0 ; 2[ ; g(x) est strictement croissante.
g'(x) < 0 sur ]2 ; 10] ; g(x) est strictement décroissante.
g'(x) = 0 pour x = 2 ; g(x) présente un maximum.  
b) Établir le tableau de variations de g sur [0, 10]
.
2. Un laboratoire teste l’efficacité d’une nouvelle crème solaire. Pour cela, il mesure le taux d’hydratation, en pourcentage, de la peau d’une personne, qui est exposée au soleil pendant 10 heures. On admet que pour tout réel t de [0, 10], g(t) est le taux d'hydratation de la peau au
bout de t heures après l’application de la crème.
a) Calculer le taux d’hydratation, en pourcentage, de la peau au bout d’une demi-heure après l’application de la crème. On arrondira au dixième
g(0,5) = 60 x0,5 e-0,25 =23,4 %..
b) Déterminer à quel moment le taux d’hydratation, en pourcentage, est maximal
L'étude de la fonction g indique un taux d'hydratation maximal au bout de 2 heures..
c) On peut commercialiser cette crème si le taux d’hydratation dépasse 30 % pendant une durée d’au moins 3 heures.
À l’aide de la représentation graphique Cg de la fonction g donnée, expliquer si le laboratoire peut ou non commercialiser cette crème (on fera notamment apparaître les traits de construction utiles).
Cette crème est commercialisable.

3. Un chercheur du laboratoire étudie l’élimination au contact de la lumière d’un composant de la crème solaire. La concentration de ce composant est modélisée par une fonction f.
Lorsque t représente le temps d’exposition à la lumière, en heures, f (t) représente la concentration en g L-1 de ce composant restant dans la crème.
On admet que la fonction f définie sur [0 , +∞[ est solution de l’équation différentielle suivante :
(E) : y'+ 0,4y = 0 .
a) On sait qu’à l’instant t = 0, la concentration du composant est égale 1,3 g L-1.
Montrer alors que pour tout réel t de [0 , +∞[, f(t) = 1,3 e-0,4t.
Solution générale de (E) ; y = A e-0,4t, avec A une constante déterminée par la condition initiale.
y(0) = A = 1,3.
b) Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 , +∞[.
Ce résultat est-il cohérent avec la situation étudiée ? Pourquoi ?
f '(t) = 1,3 (-0,4) e-0,4t = -0,52 e-0,4t.
Le terme en exponentielle étant toujours positif, f '(t) est négative et f(t) est strictement décroissante.
Ce résultat est cohérent, le composant s'élimine au contact de la lumière au cours du temps.
c) Déterminer, au bout de combien de temps, la concentration du composant est inférieure à 0,3 g L-1. On donnera la valeur en heures et minutes, arrondie à la minute.
1,3 e-0,4t < 0,3 ; e-0,4t <0,3 / 1,3 ; -0,4 t < ln(0,3 / 1,3) ; t > ln(1,3 / 0,3) / 0,4 ; t >3,666 heures.
soit t >  3 h40 min.

.



  

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