Mathématiques, suite géométrique, algorithme
Bac Sti2d et Stl 2015.

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Nlle Calédonie
Jusqu’à présent Pierre n’a encore jamais réussi à économiser un seul euro. Pour le responsabiliser dans la gestion de son argent de poche, ses parents décident de lui verser 30 euros tous les premiers du mois. Pierre décide que pour s’offrir le téléphone de ses rêves qui coûte 150 euros, il ne dépensera chaque mois que 20% de son capital accumulé.
Le premier versement lui a été fait au 1er janvier 2015.
1. De quelle somme Pierre disposera-t-il encore au soir du 31 janvier 2015 ?
30 x 0,8 = 24 €.
2. Soit (un) le capital dont dispose Pierre juste après le n-ième versement. Ainsi u1 vaut 30 et u5 correspond au capital acquis par Pierre le 1er mai 2015.
a. Montrer que u2 = 54.
u2 = u1 +0,8 x 30 = 30 +24 = 54 €.
b. Justifier que un+1 = 0,8un +30.
Il possde un et il en dépense 20%, il lui reste 0,8 un ; il faut alors ajouter un versement de 30 €.
un+1 = 0,8un +30.
c. Recopier et compléter l’algorithme A suivant pour qu’il affiche le capital acquis le 1er avril 2015.
Initialisation
Affecter à i la valeur 1
Affecter à u la valeur 30
Traitement
Tant que i < 4
Affecter à u la valeur 0,8∗u +30
Affecter à i la valeur i + 1
Fin Tant que
Sortie
Afficher u.
3. Recopier et compléter le tableau suivant donnant des termes de la suite (un) et conjecturer la limite de cette suite.
i21222324252627282930
u148,62148,90149,12149,29149,43149,55149,64149,71149,77149,81
La suite est croissante et tend vers 150.
4. Soit l’algorithme B suivant :
Initialisation
Affecter à i la valeur 1
Affecter à u la valeur 30
Saisir la valeur de p
Traitement
Tant que |u-150| >p
Affecter à u la valeur 0,8 u + 30
Affecter à i la valeur i + 1
Fin Tant que
Sortie
Afficher i
Comment utiliser cet algorithme B pour savoir à quel moment Pierre disposera d’au moins 149,90 euros ?
Il faut donner à p la valeur 0,10.
5. Pierre se rend compte qu’avec cette gestion de son argent de poche il ne pourra jamais s’offrir le téléphone de ses rêves. Exposez un plan de gestion de l’argent de poche qui permette à Pierre d’effectuer son achat dans l’année sans demander plus d’argent à ses parents.
La dépense mensuelle doit être inférieure à 20 % du capital.
Avec 15 % : u2= 30 x 0,85 +30 =30 x1,85 = 35,5 ; u3 = 55,5 x 0,85+30 =77,18 ;
u4 = 77,18 x 0,85+30 =95,60 ;
u5 = 95,6 x 0,85+30 =111,26 ;  u6 = 111,26 x 0,85+30 =124,57 u7 = 124,57 x 0,85+30 =135,88 ;
u8 = 135,88 x 0,85+30 =145,50 ; u9 = 145,50 x 0,85+30 =153,67.
Début octobre, il peut achter le téléphone.





Métropole septembre.
Un smartphone est équipé d’une batterie Li-ion qui débite en usage normal un courant d’intensité moyenne I de 0,03 ampère (A).
La capacité C de cette batterie, exprimée en ampères-heures (Ah), est la quantité maximale d’électricité qu’elle peut emmagasiner.
On dit que la batterie a effectué un cycle de charge lorsque la quantité d’électricité absorbée, éventuellement en plusieurs fois, est égale à sa capacité. Lors des 300 premiers cycles de charge de la batterie, sa capacité reste égale à 1,8 Ah.
1. L’autonomie T de ce smartphone, en heures, est fonction de la capacité C de sa batterie et de l’intensité moyenne I du courant qu’elle débite en usage normal. On estime que T = 0,7× C / I.
Calculer l’autonomie T , en heures, de ce smartphone au cours de l’un des 300 premiers cycles de charge.
T = 0,7 x 1,8 /0,03 = 42 h.
2. On considère qu’après 300 cycles de charge, l’autonomie de la batterie diminue de 1% à chaque nouveau cycle de charge.
Pour tout entier naturel n, on note Tn l’autonomie, en heures, de la batterie au bout de « 300+n » cycles de charge.
On admet que T0 = 42.
a. Calculer T1 et T2. Interpréter les résultats.
T1 = 0,99 T0 = 0,99*42 = 41,58 ;
T2 = 0,99 T1 = 0,99*41,58 = 41,16.
b Exprimer Tn+1 en fonction de Tn ;
On passe d'un terme au suivant en multipliant ce terme par 0,99.
Tn+1 = 0,99 Tn.
c. Justifier que Tn = 42×0,99n .
Tn est une suite géométrique de raison 0,99 et de premier terme 42.
3. Un utilisateur souhaite déterminer à partir de combien de cycles de charge l’autonomie de la batterie aura diminué de moitié par rapport à son état initial.
a. On propose l’algorithme suivant pour déterminer le nombre de cycles de charge correspondant.
Variables
n : nombre entier naturel
T : nombre réel
q : nombre réel
Initialisation
n prend la valeur 0
T prend la valeur 42
q prend la valeur 0,99
Traitement
Tant que  T >21
T prend la valeur 42 x0,99
n prend la valeur n+1
Fin Tant que
Sortie
Afficher n +300
Recopier et compléter la partie relative au traitement.
b. Déterminer à partir de combien de cycles de charge l’autonomie de la batterie aura diminué de moitié par rapport à son état initial.
42 x0,99n <21 ; 0,99n <21 /42 ;
0,99n <0,5 ; n log 0,99  < log 0,5 ; n > 69. Soit 369 recharges.
4. Lorsque l’autonomie de la batterie devient inférieure à 5 heures, on estime qu’elle ne permet plus un usage normal du smartphone. Le nombre de cycles de charge correspondant est alors appelé durée de vie de la batterie. Déterminer
la durée de vie de cette batterie.
42 x0,99n < 5 ; 0,99n < 5 /42 ; 0,99n < 0,119 ; n log 0,99  < log 0,119 ; n >212 soit 512 recharges.









Antilles Guyanne.
Le déficit d’une multinationale a été de 15 millions d’euros en 2014. Devant l’ampleur de ce déficit, l’équipe de direction décide de prendre des mesures afin de ramener ce déficit annuel à moins de 5 millions d’euros. Jusqu’à ce que cet objectif soit atteint, cette équipe s’engage à ce que le déficit baisse de 8,6% tous les ans.
On définit la suite (un) de la manière suivante : on note un le déficit en million d’euros de cette multinationale lors de l’année 2014+n. Ainsi u0 = 15.
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à 10−3.
1. a. Montrer que u1 = 0,914u0.
u1 = (1-8,6 / 100) u0 = 0,914u0.
b. Si l’équipe de direction tient ses engagements, quel sera le déficit de la multinationale en 2016 ?
u2 = 0,914u1 = 0,9142 u0 = 0,9142 x 15 = 12,53.
c. Démontrer que la suite (un) est géométrique, puis exprimer un en fonction de n.
On passe d'un terme au suivant en multipliant ce terme par 0,914.
un+1 = 0,914 un = 0,914n u0 avec u0 = 15.
2. a. Résoudre l’inéquation suivante d’inconnue l’entier naturel n : 0,914n <= 1/3.
n log 0,914 <= log (1/3) ; -0,03905  <= -0,4771 ; n > 12,2.
b. Quand l’engagement de l’équipe de direction, à savoir ramener le déficit de la multinationale au-dessous des 5millions d’euros, sera-t-il atteint ?
Au bout de 13 ans, ( en 2027 ) le déficit sera divisé par 3, donc inférieur à 5 millions d'euros.
3. On considère l’algorithme ci-dessous qui permet de retrouver le résultat de la question précédente.
Variables
N un entier naturel
Q et U deux nombres réels.
Début
N prend la valeur 0
Q prend la valeur 0,914
U prend la valeur 15
Tant que U >=5 faire
N prend la valeur N+1
U prend la valeur 0,914 x U
Aficher U
Fin Tant que
Afficher N
Fin
a. Recopier et compléter les lignes en pointillé afin que l’algorithme renvoie l’année à partir de laquelle le déficit de cette multinationale sera ramené
en dessous de 5millions d’euros.
b. On suppose l’algorithme complété. Proposer une modification de l’algorithme afin que celui-ci affiche le montant du déficit de cette multinationale chaque année jusqu’à ce que celui ci soit ramené au-dessous de 5millions d’euros.
4. a. Calculer la somme des déficits sur onze ans à partir de l’année 2014 comprise, c’est-à-dire : u0 +u1 +u2 +···+u10·
Somme des 11 premiers termes de la suite : S=u0 (1-q11) / (1-q).
S = 15 x (1-0,91411) / (1-0,914) =0,62811 / 0,086 =109,55 millions d'euros.
b. Construire un algorithme qui donne cette somme en sortie.
Variables
N un entier naturel
Q ,U, S deux nombres réels.
Début
N prend la valeur 0
Q prend la valeur 0,914
U prend la valeur 15
S prend la valeur 15
Pour N variant de 1 à 10 faire
U prend la valeur 0,914 x U
S = S +U
Fin Pour
Afficher S
Fin


Métropole.
Partie A.
1. Selon les prévisions de l’ADEME, quel serait en 2030 le nombre de véhicules hybrides vendus ?
24 % sur un total de 2 millions de véhicules vendus soit 2 x 0,24 = 0,48 million.
2. Selon les prévisions de l’ADEME, quel serait en 2030 le pourcentage de véhicules à faible émission de CO2 dans le parc automobile ?
4 % de voituree électriques et 7% de voiture hybrides soit 11% de véhicules à faible émission de CO2.

Partie B.
1. Le tableau suivant est incomplet. Déterminer le pourcentage d’augmentation des ventes de véhicules hybrides de 2012 à 2013.
Véhicules VP et VULAugmentation des ventes de véhicules

de 2011 à 2012de 2012 à 2013
Véhicules hybrides103,9 %.......
Véhicules électriques116 %49,8 %
Ventes de véhicules hybrides 2012 : 27730 ; ventes 2013 : 41340.
(41340-27730 ) /  27730 x 100 ~ 49,1 %.
2. Après un fort démarrage des ventes de véhicules hybrides, les professionnels de l’automobile envisagent une augmentation de leurs ventes de 16% par an de 2013 à 2030.
Le nombre de véhicules hybrides vendus en 2013 est de 41 340. On décide de modéliser les ventes annuelles de véhicules hybrides par une suite géométrique de raison 1,16.
On note un le nombre de véhicules hybrides vendus durant l’année 2013+n.
a. Donner u0. u0 = 41 340.
b. Exprimer un en fonction de n. un = 1,16n u0 = 41 340 x 1,16n.
c. L’augmentation de 16% par an des ventes de véhicules hybrides permettrait-elle d’atteindre la prévision de l’ADEME pour l’année 2030 ?
Nombre de véhicules hybridesvendus en 2030 : 35 x 0,07 = 0,48 million.
n = 2030-2013 = 17 ; u17 = 1,1617 x 41 340 ~0,515 million. La prévision est atteinte, voir dépassée.
3. Les professionnels de l’automobile s’intéressent aussi aux ventes de véhicules électriques de 2013 à 2030. Le nombre de véhicules électriques vendus en 2013 est de 13 954.
a. On réalise sur tableur une feuille de calcul qui détermine le nombre de véhicules électriques vendus de 2013 à 2030 en supposant une augmentation annuelle de 16% à partir de 2013.
Donner la formule saisie dans la cellule B3 de la feuille de calcul ci-dessous pour compléter le tableau par « recopie vers le bas ».

AB
1AnnéePrévisions des ventes
2201313954
3201416186,64
=$B2 x 1,16.
b. Ce taux d’augmentation annuel permettrait-il d’atteindre les prévisions de l’ADEME des ventes de véhicules électriques en 2030 ?
129 291 véhicules électriques seraient vendus en 2030 ; les prévisions donnent 0,12 x 2 = 0,24 million. La prévision n'est pas atteinte.
4. Les professionnels de l’automobile cherchent un pourcentage d’augmentation annuelle des ventes de véhicules électriques qui permettrait d’atteindre
les prévisions de l’ADEME en 2030. On considère l’algorithme suivant :
Variables
u : un nombre réel
q : un nombre réel
Initialisation
Affecter à u la valeur 173 974
Affecter à q la valeur 1,16
Traitement
Tant que u <=240000
q prend la valeur q +0,01
u prend la valeur 13954×q17
Fin Tant que
Sortie
Afficher (q −1)×100
a. Que représente la valeur 173 974 prise par la variable u dans l’initialisation de l’ algorithme ?
La prévision des ventes de voitures électriques en 2030 avec un taux de progression de 16 % par an..
b. Faire fonctionner cet algorithme. Pour cela reproduire et compléter le tableau ci-dessous. Des colonnes supplémentaires pourront être ajoutées.


Etape 1Etape 2Etape 3
q 1,16 1,17 1,18 1,19
u 173 974 13954 x1,1717 =201306 13954 x1,1817 =232644 13954 x1,1917 =268512

c. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme ? Interpréter le résultat.
19 % d'augmentation des ventes anuelles de véhicules électriques permet d'atteindre l'objectif de 240000 véhicules électriques vendus en 2030.

 Polynésie.
À l’échelle européenne, le marché des services énergétiques devrait croître de 5% par an. En 2014, le fournisseur d’énergie ENERGIA a réalisé un chiffre d’affaires de 920 millions d’euros dans les services énergétiques.
1. Déterminer le chiffre d’affaires que devrait réaliser le fournisseur ENERGIA dans les services énergétiques pour l’année 2015.
920 x (1+0,05) =966.
On suppose que dans les prochaines années, la tendance va se poursuivre. Notons Cn le chiffre d’affaires, en million d’euros, réalisé par le fournisseur ENERGIA dans les services énergétiques pour l’année 2014+n.
2. Exprimer Cn+1 en fonction de Cn. En déduire la nature de la suite (Cn) et donner ses éléments caractéristiques.
Cn+1 = 1,05 Cn = 1,05n u0 = 1,05n x 920.
Suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme 920.
3. Exprimer Cn en fonction de n. Cn =1,05n x 920.
4. a. Calculer la valeur du chiffre d’affaires en 2019.
n = 5 ; C5 =1,055 x 920=1174,18.
b. Quel est le pourcentage d’augmentation du chiffre d’affaires de 2014 à 2019 ?
(1174,17 -920) / 920 x 100 =27,6 %.
5. On veut déterminer à partir de quelle année le chiffre d’affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques va doubler.
a. On considère l’algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes 8 et 13 afin que cet algorithme réponde à la question posée.
1 Variables
2 N : un nombre entier naturel
3 C : un nombre réel
4 Initialisation
5 Affecter à N la valeur 0
6 Affecter à C la valeur 920
7 Traitement
8 Tant que C <= 1840
9 Affecter à N la valeur N +1
10 Affecter à C la valeurC∗1,05
11 Fin Tant que
12 Sortie
13 Afficher N+2014.
b. En faisant tourner cet algorithme complété, déterminer l’année à partir de laquelle le chiffre d’affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1 840 millions d’euros.
InitialEtape 1Etape 2Etape 3Etape 4Etape 5Etape 6Etape 7Etape 8Etape 9Etape 10Etape 11Etape 12Etape 13Etape 14Etape 15
2014 ( n=0)201520162017201820192020202120222023202420252026202720282029
C (en  millions)920 x 1,05
 =966
966 x 1,05
=1014,3
1014,3 x 1,05
=1065,015
1118,261174,181232,891294,531359,261427,221498,581573,511652,191734,801821,541912,61

c. Proposer une méthode plus directe pour répondre à la question précédente par le calcul.
1,05n x 920 >=1840 ; 1,05n >=2 ; n log 1,05 = log 2 ; n >= 14,2 ( soit n =15, année 2029 ).
6. Après avoir effectué une analyse du marché, on prévoit plutôt une hausse annuelle de 10% du marché des services énergétiques à l’échelle européenne. Déterminer l’année à partir de laquelle le chiffre d’affaires va doubler.
1,1n x 920 >=1840 ; 1,1n >=2 ; n log 1,1 = log 2 ; n >= 7,3 ( soit n =8, année 2022 ).



  

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