Mathématiques, probabilités
Bac Sti2d et Stl 2016.




Polynésie  juin 2016. 
Deux amis ont monté un atelier associatif pour réparer des vélos. Le but de cette association est que chaque adhérent puisse venir réparer son vélo dans cet atelier avec l’aide d’un spécialiste. Le matériel et les outils sont fournis.
Partie A : les roulements à billes.
Nos deux amis commandent régulièrement des lots de 60 roulements à billes pour les vélos. Ils ont constaté que, lors de leur dernière livraison, sur le lot des 60 roulements à billes, 3 étaient défectueux. Ils s’inquiètent donc de la fiabilité du fabricant.
Le contrat précise que seulement 4% des pièces sont défectueuses.
1. Calculer la fréquence des pièces défectueuses dans le dernier lot.
3 / 60 = 0,05.
On considère que les pièces constituant ce lot forment un échantillon prélevé de façon aléatoire dans un stock dans lequel 4% des pièces sont défectueuses.
 2. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence des roulements à billes non conformes dans un échantillon de 60 roulements. Les valeurs approchées seront arrondies à 10−2.
n = 60 ; p = 0,04 ; q = 1-p = 0,96.
[p q /n]½ = [0,04 x 0,96 / 60]½ =0,0253 ; 1,96 *0,0253 = 0,0496~0,050.
Intervalle de confiance [ 0,04-0,05 ; 0,04 +0,05] soit : [-0,01 ; 0,09].
3. Nos amis ont-ils raison de s’inquiéter ? Justifier votre réponse
0,05 appartient à cet intervalle, nos amis n'ont pas à s'inquiéter.
Partie B : les billes
Nos amis se demandent s’ils ne devraient pas plutôt commander des billes pour réparer les roulements évoqués dans la partie A.
Ils commandent une grande quantité de billes de 6 mm de diamètre. Malheureusement, certaines présentent un défaut de diamètre. Ils s’aperçoivent qu’ils ne peuvent utiliser que les billes mesurant entre 5,9 mm et 6,1 mm.
Sur la note du fabricant est indiqué que la variable aléatoire D qui, à chaque bille, lui associe son diamètre, suit la loi normale d’espérance µ = 6 mm et d’écart-type s = 0,05 mm.
Question : Calculer la probabilité que D appartienne à l'intervalle [5,9 ; 6,1 ]. Le résultat sera arrondi à 10−2.
(D-µ) / s suit la loi normale centrée réduite :
(5-9 -6) / 0,05 = -2 ; (6,1 -6) / 0,05 = +2 ; les tables donnent t = 0,9772.
2 *0,9772 -1 = 0,9544 ~0,95.
Partie C : les chaînes de vélo
Un tableau est mis à disposition pour permettre aux utilisateurs de savoir quand ils doivent changer leur chaîne de vélo. Par exemple, pour une personne utilisant son vélo en ville (vitesse moyenne 16 km.h−1) environ 2 heures par jour, la durée de vie moyenne de la chaîne est de 625 jours.
On admet que la durée de vie en jour, d’une chaîne de vélo pour un tel utilisateur est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre l. On rappelle que la probabilité que X soit inférieure ou égale à t (exprimé en jour) vaut :
P(X <= t ) = 1−exp(−l¸t ).
1. Démontrer que l = 0,0016.
L'espérance mathématique de cette loi est égale à E(X )= 1 / l = 1 / 625 ; l = 0,0016 jour-1.
2. Le graphique représente la fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre l= 0,0016 jour-1..
a. Représenter sur ce graphique la probabilité que X soit comprise entre 350 jours et 700 jours.
Cette probabilité est représentée par l'aire hachurée.

b. Calculer la probabilité que X soit comprise entre 350 jours et 700 jours. Arrondir le résultat à 10−3.

3. Calculer la probabilité que X soit de moins de 550 jours. Arrondir à 10−3.
1-  exp ( -0,0016 x 550) = 1-exp(-0,88) = 1-0,4148 = 0,585.
4. Déterminer la valeur de x pour que P(X < x) = 0,8. Le résultat sera arrondi à l’unité. Interpréter ce résultat en le restituant dans le contexte.
1- exp(-0,0016 x) = 0,8 ; 
exp(-0,0016 x) =0,2 ; -0,0016 x = ln 0,2  ; x = ln 0,2 / 0,0016 ~1006 jours.
La probabilité qu'une chaîne dure 1006 jours est égale à 0,8.




Métropole septembre 2016.
Une usine métallurgique fabrique des boîtes de conserve pour des entreprises spécialisées dans le conditionnement industriel de légumes. La probabilité qu’une boîte prélevée au hasard soit non conforme est 0,04.
Un lot de 200 boîtes choisies au hasard est livré à une entreprise spécialisée dans le conditionnement des légumes. Le nombre de boîtes fabriquées par cette usine métallurgique est assez important pour pouvoir assimiler un tel prélèvement à un tirage avec remise de 200 boîtes.
PARTIE A.
La variable aléatoire X désigne le nombre de boîtes non conformes dans un tel lot.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Les prélevements sont indépendants et leur nombre est fixé à n = 200. La probabilité qu'une boîte soit non conforme est constante p = 0,04. La probabilité  qu'une boîte soit conforme est q = 0,96.
X suit la loi binomiale de paramètre n = 200 et p = 0,04.
2. Déterminer la probabilité qu’un tel lot contienne exactement quatre boîtes non conformes.
p(X=4)=C4200 q196 p4 =200*199*198*197 / (2*3*4) *0,96196 *0,044=0,276.
p(X=4)=5,55 10-2 ~ 0,055.
PARTIE B.
On décide d’approcher la loi binomiale suivie par X par la loi normale d’espérance µ= 8 et d’écart type s = 2,77.
1. Justifier le choix de ces paramètres.
µ ~np = 200*0,04 = 8 ; s ~(npq)½= ( 200*0,4*0,96)½=2,77.
2. À l’aide de la loi normale ainsi définie :
a. calculer P(6<=  X <= 10) et interpréter le résultat trouvé ;
(6-µ) / s = (6-8) / 2,77 = -0,722 ;
(10-µ) / s = (10-8) / 2,77 = +0,722 ;
Loi normale centrée réduite :
P(-0,722 <=  (X-µ) / s <= 0,722).
Les tables donnent 
P(0,722) ~ 0,765
 2P(t)-1 =2*0,765 -1  ~0,53.
La probabilité de trouver dans ce lot,  un nombre de boîtes non conformes
compris entre 6 et 10, bornes comprises, est égal à 53 %.
b. Déterminer une approximation de la probabilité qu’il y ait au maximum 4 boîtes non conformes.
Il faut calculer P(X< =4).
(4-µ) / s = (4-8) / 2,77 = -1,444 ; les tables donnent P(1,444) ~0,9256.
Puis 1 -0,9256 ~0,074.
Partie C.
Dans le lot livré de 200 boîtes, on compte 11 boîtes non conformes. Le fabricant des boîtes est averti. Doit-il s’inquiéter ?

(pq / n)½ =(0,04 *0,96 /200)½ =  0,01386.
Intervalle de fluctuation avec un seuil de confiance de 95 % :
 [0,04 -0,01386 *1,96 ; 0,04 +0,01386 *1,96] soit  [0,013 ; 0,067 ].
11 / 200 = 0,055, cette valeur appartient à l'intervalle de fluctuation.
Le fabriquant ne doit pas s'inquiété, aves un risque de 5 %.










Métropole 06 / 2016.
Un pont levant enjambant un canal peu fréquenté est constitué d’un tablier qui, une fois relevé, permet le passage de bateaux de différentes tailles.
Hauteur du tablier en position haute : 7mètres. Longueur du tablier : 30 mètres
Temps de montée du tablier : 2 minutes
Temps en position haute du tablier (hors incident) : 8 minutes. Temps de descente du tablier : 2 minutes.
Partie A - Sur la route
Un automobiliste se présente devant le pont. Le tablier du pont est en position haute. On s’intéresse ici au temps d’attente D, exprimé en minutes, de l’automobiliste avant qu’il puisse franchir le canal, pont baissé (hors incident).
1. Combien de temps l’automobiliste attend-il au minimum ? au maximum ?
2 minutes si le pont comence à descendre ;
 10 minutes si le pont est en fin de montée.
2. On admet que le temps d’attente, en minutes, de l’automobiliste pour franchir le pont est une variable aléatoire D qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [2 ; 10]. Déterminer l’espérance E(D) de la variable aléatoire D et interpréter le résultat dans le contexte.
E(D) = (2+10) / 2 = 6.
En moyenne un automobiliste attend 6 minutes.
3. Calculer la probabilité que le temps d’attente de l’automobiliste ne dépasse pas 5 minutes.
p(2 <=D <=5) =(5-2) / 6 = 0,5.
Partie B - Sur l’eau
Dans cette partie les résultats demandés seront arrondis à 10−2 près.
Lorsqu’un bateau est passé, le tablier du pont revient en position basse. Le temps, exprimé en heures, avant que le bateau suivant se présente devant le pont est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre l = 0,05. Ce temps est appelé temps de latence.
1. Déterminer l’espérance E(T ) de la variable aléatoire T et interpréter le résultat dans le contexte.
E(T) =1 / l = 1 /0,05 = 20.
En moyenne, un bateau se présente toutes les 20 heures.
2. On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = 0,05exp(−0,05x) .
a. Montrer que la fonction F définie sur [0 ; +∞[ par F(x) = −exp(−0,05x ) est une primitive de f.
Dériver F(x) : F '(x) = 0,05 exp(−0,05x ) = f(x).
b. Démontrer que P(T <=t ) = 1−exp(−0,05t ).

3. a. Calculer la probabilité que le temps de latence soit inférieur à une demi journée, soit 12 heures.
p(T <=12) = 1-exp(-0,05 *12) =1-0,549 ~ 0,45.
b. Calculer la probabilité que le temps de latence soit supérieur à un jour.
p(T <=24) = 1-exp(-0,05 *24) ~0,70 ; p(T > 24 ) = 1-0,70 = 0,30.
c. Calculer P(12<=T <=24).
1-0,45 -0,30 = 0,25.


Antilles Guyanne 2016.
Un manufacturier de pneumatiques produit des pneus d’avions en grande quantité. Il s’engage à livrer des produits spécifiques aux avionneurs de masse maximum garantie de 124 kg. Ces pneus doivent supporter une charge nominale de 10 tonnes, des vitesses pouvant aller jusqu’à 420 km.h−1 et des températures instables allant de −40 °C (en altitude) à 250 °C (au moment du décollage).
Partie A.
On note M la variable aléatoire qui, à chaque pneu prélevé au hasard dans la production, associe sa masse en kilogramme. On admet que la variable aléatoire M suit la loi normale demoyenne μ = 121,37 et d’écart type s = 0,42.
1. Déterminer la probabilité qu’un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg comprise entre 120,95 et 121,79.
(120,95 -121,37) / 0,42 = -1 ;
(121,79 -121,37) / 0,42 =+-1 ;
Loi normale centrée réduite  ( -1 <= (M-µ) / s <= 1) ; les tables donnent pour t = 1, P(1) = 0,841 3 ;
2
P(1) -1=2*0,8413 -1 = 0,6826 ~0,683.
2. Déterminer la probabilité qu’un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg supérieure à 122,63.
(122,63 -121,37) / 0,42 = 3 ; P(3) =0,998 65 ; 1-0,998 65 ~0,00135.
Partie B.
Un pneu trop lourd entraîne une augmentation de la consommation du kérosène.
Lorsque la masse d’un pneu reçu par une compagnie aérienne dépasse 121,9 kg cela entraîne des pénalités financières pour le manufacturier.
Sur la chaîne de fabrication, on prélève de façon aléatoire un échantillon de 36 pneus et on constate que 2 d’entre eux ont une masse qui dépasse 121,9 kg.
1. Quelle est la fréquence des pneus dans l’échantillon prélevé dont la masse dépasse 121,9 kg ?
p = 2 /18 =1/9 ~0,111 ; q = 1-p = 8 /9 ; n = 36.
2. Déterminer l’intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% de la proportion de pneus dont la masse dépasse 121,9 kg dans la production.
(p q / n)½ =[ 8 /(81+36)]½=0,05238 ; 1,96 *0,05238 = 0,10266;
 Intervalle de confiance [0,111 -0,1026 ; 0,11 +0,1026 ] soit [0,0085 ; 0,214 ].
3. Donner une interprétation du résultat précédent.
La proportion de pneus ayant une masse supérieure à 121,9 kg est comprise entre 0,85 % et 21,4 % avec un risque d'erreur de 5 %.
 



  

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