Mathématiques, pourcentages, nuage de points, suite géométrique
Bac St2S 2015.




Métropole. 
En l’an 2000, les ventes d’antibiotiques s’élevaient en France à 192 millions de boîtes. La consommation abusive d’antibiotiques s’est traduite par un développement des résistances bactériennes. Cette question préoccupe encore aujourd’hui les autorités sanitaires. En France, un plan national a été engagé en 2001 sur le thème « les antibiotiques, c’est pas automatique ».
On a constaté que, de 2000 à 2015, la vente de boîtes d’antibiotiques en France a baissé chaque année de 2%. On suppose, dans cet exercice, que la baisse de 2% par an va se poursuivre jusqu’en 2030. On étudie ce modèle.
Le nombre de boîtes d’antibiotiques vendues sera exprimé en millions de boîtes, arrondi si nécessaire, à 10−3. On modélise le nombre de boîtes d’antibiotiques vendues en France à l’aide d’une suite numérique (un). On note u0 le nombre (en millions) de boîtes d’antibiotiques vendues en France en l’an 2000. Étant donné un entier naturel n, on note un une estimation, dans le modèle choisi, du nombre (enmillions) de boîtes d’antibiotiques vendues en France pendant l’année 2000+n. On a donc u0 = 192.
Partie A.
1. À combien peut-on estimer le nombre de boîtes d’antibiotiques vendues en 2001 selon le modèle choisi ?
u1 = (1-0,02)u0 = 0,98 u0 = 0,98 x 192 = 188,16.
2. a. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique et déterminer sa raison.
On passe d'un terme au suivant en multipliant ce terme par 0,98  ( raison q = 0,98).
b. Exprimer un en fonction de n, pour tout entier naturel n.
un = 0,98n x u0 = 098n x 192.
3. Estimer, dans le modèle choisi, le nombre de boîtes d’antibiotiques qui seront vendues en 2017.
n = 7 ; u7 = 192 x0,9817=136,19.
4. a. Résoudre l’inéquation 192×0,98x <=120.
0,98x >= 120 / 192 ;  x log 0,98 >= log (120 / 192) ; -0,00877 x >= -0,204 ; x >23,27.
b. En utilisant lemodèle choisi, déterminer à partir de quelle année le nombre de boîtes d’antibiotiques vendues sera inférieur à 120 millions.
A partir de l'année 2000 + 24 soit 2024.
Partie B.
Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul automatisé, permet d’observer, tous les 5 ans, l’évolution, en pourcentage, du nombre de boîtes vendues en France par rapport à celui de l’an 2000. La colonne C est au format pourcentage et les résultats sont arrondis à 0,01%.

A B C
1 Année Nombre de boîtes vendues ( million) Evolution en %
2 2000 192
3 2005 173,553 -9,61 %
4 2010 156,878 -18,29 %
5 2015 141,805 -26,14 %
6 2020 128,181 -33,24 %
7 2025 115,865 -39,,65 %
8 2030 104,733 -45,45 %
1. Une formule a été entrée dans la cellule C3, puis recopiée vers le bas jusqu’à la cellule C7.
Parmi les trois propositions suivantes, réécrire sur la copie la formule qui convient :
=(B3 - B2) / B2 ; =(B3 - B2) / 192 ; =(B3 - $B$2) / $B$2.
2. Calculer la valeur qui apparaîtra dans la cellule C8.
(104,733-192) / 192 x100 = -45,45 %.




Antilles.
Le tableau suivant indique le nombre de tués sur les routes françaises par année :
Année 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Rang ( xi) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Nombre tués (yi) 5318 4709 4620 4433 4443 3992 3963 3653 3268
1. a. Calculer les coordonnées du point moyen de ce nuage. On arrondira, si nécessaire, les résultats à l’unité.
xmoyen =(0+1+2+3+4+5+6+7+8)/9 = 4 ;
ymoyen = (5318 + 4709 +4620 +4433 +4443 +392 +3963 +3653 +3268) / 9 = 4267.
b. Placer dans le repère de l’annexe 1 le point G de coordonnées (4 ; 4 267).
2. On fait l’hypothèse que l’évolution du nombre de tués sur les routes françaises est correctement
modélisée par la droite d’ajustement D d’équation y = −220x +5147.
a. Prouver que le point G appartient à la droite D.
y = -220 x 4 +5147 =4267 ; on retrouve yG.
b. Tracer la droite D sur le graphique.

c. Déterminer, selon ce modèle, une estimation du nombre de tués en 2014.
-220 x 9 +5147 =3167.
3. On estime que le modèle reste valable jusqu’en 2017.
Selon cet ajustement, à partir de quelle année le nombre de tués devient-il inférieur à 2 800 ?
-220x +5147 <2800 ; -220x < 2800 -5147 ; 220 x >=2347 ; x >=10,67 ( 2005+11 = 2016).










Polynésie.
Le tableau suivant, extrait d’une feuille d’un tableur, donne le prix annuel moyen du paquet de cigarettes (20 cigarettes) le plus vendu, en euros, entre 2000 et 2014.

A B C D E F G H I
1 Année 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014
2 Rang xi 0 2 4 6 8 10 12 14
3 Prix moyen yi 3,20 3,60 5 5 5,30 5,65 6,30 6,70
4 Taux dévokution ( %)
par rapport à l'année n-2









Partie A .
1. Un journaliste affirme que le prix entre 2000 et 2014 a augmenté de près de 50%. L’affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
(6,70-3,20) / 3,20 x 100 ~109 %, l'affirmation est fausse.
2. La ligne 4 est au format pourcentage. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C4 et recopier vers la droite pour compléter la ligne 4 ?
=(C$3-B$3) / B$3.
Partie B.
1. a. Sur la feuille de papiermillimétré fournie, représenter le nuage de points de coordonnées (xi ; yi ) dans un repère orthogonal .

b. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points, puis placer le point G sur le graphique précédent. Arrondir les résultats à 0,01 près.
xmoyen = (0+2+4+6+8+10+12+14) / 8 = 7.
ymoyen = (3,2 +3,6 +5+5+5,3+5,65+6,3+6,7) / 8 =5,09.
2. On admet que la droite D d’équation y = 0,24x +3,41 est un bon ajustement affine du nuage de points et que cet ajustement reste valable jusqu’en 2025. a. Vérifier que le point G appartient à la droite D.
0,24 x 7 +3,41 = 5,09; on retrouve l'ordonnée du point G.
b. Tracer la droite D sur le graphique précédent en indiquant les points utilisés.
Pour x = 0, y = 3,41 ; pour x = 10 ; y = 5,81.
c. Selon cet ajustement, quel sera le prix moyen annuel d’un paquet de cigarettes en France en 2020 ?
x = 20 ; y = 0,24 x 20 +3,41 =8,21 €.
d. À partir de quelle année celui-ci dépassera-t-il les 10 euros ? Expliquer la démarche.
0,24x +3,41 >10 ; 0,24 x >10-3,41 ; 0,24 x >6,59 ; x > 27,45  ( soit 2000 +28 = 2028).


Antilles septembre.
Le tableau ci-dessous indique les dépenses de santé des soins hospitaliers de l’année 2008 à l’année 2013.
Année
2008
2009
2010
2011
2012
2013
Rang xi
1
2
3
4
5
6
Dépense ( milliards €) yi
76
79
81
82
84
87
 Partie 1 :
1. Le montant de la CSBM (consommation de soins et de biens médicaux) pour l’année 2013 était de 187 milliards d’euros.
Calculer la part des dépenses de santé des soins hospitaliers en 2013 par rapport au montant de la CSBM. On exprimera le résultat en pourcentage arrondi à 0,1% près.
87 / 187 x100 = 46,5 %
2. Construire le nuage de points de coordonnées xi ; yi.

3. Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points.
xmoyen =(1 +2+3+4+5+6 ) / 6 = 3,5.
ymoyen = (76 +79+81+82+84+87) / 6=81,5.
4. On fait l’hypothèse que l’évolution des dépenses de santé des soins hospitaliers est correctement modélisée par la droite D d’équation y = 2x +74,5.
a. Prouver que le point G appartient à cette droite.
2 x3,5 +74,5 = 81,5, on retrouve l'ordonnée du point G.
b. Tracer la droite D dans le repère précédent.
La droite passe par G et par le point de coordonnées (0 ; 74,5).
c. Selon ce modèle, estimer la dépense de santé des soins hospitaliers pour l’année 2014.
x = 7 ; y = 2 x 7 +74,5 = 88,5.
Partie 2 :
Ces mêmes dépenses de santé des soins hospitaliers ont été saisies dans une feuille de calcul d’un tableur représentée ci-dessous :
A B C D E F G
1 Année 2008 2009 2010 2011 2012 2013
2 Dépenses ( milliards €) 76 79 81 82 84 87
3 Taux dévolution

1. a. Calculer le taux d’évolution de ces dépenses entre les années 2012 et 2013. On donnera le résultat en pourcentage arrondi à 0, 1% près.
(87-84) / 84 x100=3,57 ~3,6 %.
b. Donner une formule à saisir dans la cellule C3 pour obtenir, après recopie vers la droite, les taux d’évolution en pourcentage de ces dépenses entre deux années consécutives (les cellules de la
ligne 3 sont au format pourcentage).
=(C$2-B$2) / B$2.
2. On fait l’hypothèse qu’à partir de l’année 2013, les dépenses de santé des soins hospitaliers augmentent de 3% tous les ans. Ces dépenses sont modélisées par la suite géométrique (un) de premier terme u0 = 87 et de raison 1,03.
a. Calculer u3. Arrondir le résultat à l’unité.
u3=q3u0 = 1,033 x 87 ~ 95 milliards d'euros.
b. Que représente u3 dans le contexte de l’exercice ?
u3 représente les dépenses de santé prévues en 2016.
c. Chaque année le plafond des dépenses de santé des soins hospitaliers est fixé à 100 milliards d’euros. Selon ce modèle, à partir de quelle année les dépenses de santé des soins hospitaliers
dépasseront-elles ce plafond ? On justifiera la réponse par un calcul.
un3=qnu0 >=100 ; 1,03n x 87 >= 100 ; 1,03n >= 100 / 87 ; n log 1,03 > log ( 100 / 87) ; n > =4,7 (  année 2013 +5 = 2018).

Métropole septembre.
Partie A.
Depuis 1997, le Conseil européen a adopté une directive concernant l’évaluation et la gestion de la qualité de l’air ambiant en agglomération. Pour cela, on calcule lamoyenne annuelle des concentrations en particules fines en suspension dans l’air, à partir de mesures effectuées régulièrement. Le tableau ci-dessous indique les concentrations annuelles moyennes en particules fines dans les grandes agglomérations belges, exprimées en micro grammes par mètre cube d’air (μg·m−3).
Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Rang xi 1 2 3 4 5 6 7
Concentration  annuelle yi 40 35 34 33 34 33 35
Année 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Rang xi 8 9 10 11 12 13
Concentration  annuelle yi 31 30 31 26 26 28
Afin d’effectuer des prévisions pour les années futures, les services sanitaires décident de conduire une étude statistique de ces données.
On a représenté dans un repère orthogonal du plan le nuage de points de coordonnées (xi ; yi ) associé à ce tableau.
1. Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer dans le repère.
xmoyen =(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13) / 13=7.
ymoyen = (40+35+34+33+34+33+35+31+30+31+26+26+28) / 13 =32.
2. a. On donne le point A(11 ; 28). Montrer que l’équation réduite de la droite (AG) s’écrit : y = −x +39. Tracer la droite (AG) sur le graphique donné.
Equation de la droite  y = a x +b.
La droite passe en A : 28 = 11a+b ; la droite passe en G : 32 = 7a+b.
Soustraire : 32-28 = (7-11)a soit a = -1 ; par suite b = 28+11 = 39.

b. En supposant que la droite (AG) réalise un ajustement affine du nuage valide jusqu’en 2020, estimer la concentration annuelle moyenne en particules fines dans l’air des grandes agglomérations
belges pour l’année 2015. y = -15+39 = 24.
Partie B.
Ces particules fines peuvent pénétrer profondément dans les poumons et y occasionner des inflammations et une détérioration de la santé des personnes souffrant de maladies pulmonaires ou cardiaques. Par précaution, le Conseil européen a fixé à 40 microgrammes par mètre cube la valeur limite maximale de la concentration annuelle moyenne en particules fines dans l’air.
Afin de respecter cette norme, on a calculé les concentrations annuelles moyennes dans l’air en particules fines dans les grandes agglomérations bulgares :
Les services sanitaires bulgares ont mis en place depuis 2013 une série de mesures incitatives pour réduire la concentration annuelle moyenne en particules fines. Ils souhaitent ainsi obtenir une diminution de 3% par an de cette concentration.
Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centième.
1. On modélise à l’aide d’une suite (un) la diminution souhaitée de 3% par an de la concentration annuelle moyenne en particules fines dans les grandes agglomérations bulgares.
On pose u0 = 53 et, pour tout entier naturel n non nul, on désigne par un la concentration annuelle moyenne souhaitée pour l’année (2013+n).
a. Calculer les concentrations annuelles moyennes en particules fines souhaitées pour les années 2014 et 2015.
u1 = (1-0,03)u0 = 0,97 x 53 = 51,41.
u2 = 0,97 x 51,41 = 49,87.
b. Quelle est la nature de la suite (un) ? Justifier que la raison est égale à 0,97.
On passe d'un terme au suivant en multipliant ce terme par 1-0,03 = 0,97 : donc suite géométrique de raison q = 0,97 et de premier terme 53.
c. Exprimer un en fonction de n, pour tout entier naturel n.
un = qn u0 = 0,97n x53.
d. Selon cemodèle, calculer la concentration annuelle moyenne en particules fines souhaitée pour l’année 2019.
n = 0,976 x 53 =44,15.
2. a. Résoudre l’inéquation 53×0,97x <=40.
0,97x <=40 / 53 ; x log(0,97) <= log(40 / 53) ; -0,01323 x <= -0,1222 ; x > log (40/53) / log (0,97) ; x >9,24.
b. En déduire à partir de quelle année la Bulgarie pourra atteindre la valeur limite fixée par le Conseil européen.
2013 +10 = 2023.



  

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