Mathématiques, étude de fonction, suite géomètrique
Bac St2S 2016.




Métropole 2016. 
On étudie la durée d’allaitement maternel d’un groupe de 1 000 nourrissons nés le même jour. À la fin de chaque semaine après la naissance, on compte le nombre de nourrissons encore allaités maternellement.
Partie A.
Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne semaine après semaine le nombre de nourrissons encore allaités maternellement.

A
B
C
D E
F
G
H
I
1
Nombre de semaines
depuis la naissance
1
2
3
4
5
6
7
8
2
Nombre de nourrissons
encore allaités maternellement
595
572
551
534
505
485
472
453
3
Pourcentage d'évolution

-3,9 %






  1. Déterminer le pourcentage d’évolution, entre la deuxième et la troisième semaine, du nombre de nourrissons encore allaités maternellement. Le résultat sera arrondi à 0,1%.
(572-551) / 572 *100 = -3,67 %.
2. Les cellules C3 à I3 sont au format pourcentage arrondi à 0,1%.
Proposer une formule à saisir dans la cellule C3 qui, recopiée vers la droite, permet de calculer
le pourcentage d’évolution entre deux semaines consécutives du nombre de nourrissons allaités
maternellement.
=(C$2-B$2) / B$2.
Partie B.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 100] par :
f (x) = 620×0,96x .
1. On admettra que la fonction f a les mêmes variations que la fonction g définie sur l’intervalle
[0 ; 100] par g (x) = 0,96x . Déterminer, en justifiant, le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 100].
Si 0 < a < 1, alors la fonction qui à x associe ax est une fonction strictement décroissante sur R.
Dans ce cas a = 0,96, nombre strictement inférieur à 1, en conséquence la fonction x |-->0,96x est une fonction strictement décroissante sur [0 ; 100].
Par suite la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 100].
2. Compléter le tableau de valeurs, correspondant à la fonction f. Les résultats seront arrondis à l’unité.
x
0
5
10
20
30
40
60
80
100
f(x)
620
506
412
274
182
121
54
24
10

3. Tracer l’allure de la représentation graphique de la fonction f dans le repère fourni.

4. a. Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) <= 250. Tracer les pointillés nécessaires et donner
une valeur approchée du résultat avec la précision permise par le graphique.
b. Retrouver le résultat précédent par le calcul.
250 <= 620 *0,96x ; 250 / 620 <=
0,96x ; log(250 / 620) <= x log 0,96 ;
-0,394 <= -0,0177 x  ; x > 22,25.

c. On modélise, à l’aide de la fonction f , le nombre de nourrissons allaités maternellement.
Ainsi, f (x) donne une estimation du nombre de nourrissons encore allaités maternellement, x semaines après leur naissance.
Selon ce modèle, estimer le nombre de semaines à partir duquel moins d’un quart des nourrissons
seront encore allaités maternellement.
23 semaines.
Partie C
Dans cette partie, on modélise, à l’aide d’une suite géométrique, le nombre de nourrissons allaités maternellement. On suppose que ce nombre diminue de 4% chaque semaine.
Pour tout entier n strictement positif, on note Un une estimation du nombre de nourrissons encore
allaités maternellement n semaines après leur naissance.
Ainsi U1 = 595.
1. Justifier que la raison de la suite géométrique (Un) est 0,96.
U2 = U1 (1-0,04) = 0,96 U1 ;
U3 = U2 (1-0,04) = 0,96 U2 = 0,962 u1.
On passe d'un terme au suivant en multipliant ce terme par 0,96.
Il s'agit d'une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme U1= 595.
2. Pour tout entier n >1, exprimer Un en fonction de n.
U3 = U2 (1-0,04) = 0,96 U2 = 0,962 u1.
un =
0,96n-1 u1 = 595 un-1.
3. Selon ce modèle, à combien peut-on estimer le nombre de nourrissons encore allaités maternellement 24 semaines (soit environ 6 mois) après leur naissance ?
u24 595 x 0,9623 = 233.




Métropole septembre 2016.
Le service d’urgence d’un hôpital reçoit un patient infecté par une bactérie très virulente. Des prélèvements sanguins sont régulièrement effectués afin de suivre l’évolution du nombre de bactéries en fonction du temps. Tous les prélèvements réalisés ont le même volume.
Dans le premier prélèvement effectué au moment de l’admission du patient, on dénombre 19 000 bactéries. La situation évoluant très rapidement, on administre au bout de trois heures un puissant antibiotique dont l’effet est immédiat.
Dans toute cette étude, on note t, le temps ( en heures) écoulé depuis le premier prélèvement.
Soit f  la fonction définie pour tout réel t ∈ [0 ; 12], par f (t )= −t3 +9t2 +21t +190.
On considère que cette fonction permet de modéliser, en fonction du temps. le nombre de bactéries (en centaines) présentes dans le prélèvement effectué sur le patient à l’instant t .
Ainsi f (3) est le nombre de centaines de bactéries présentes dans le prélèvement sanguin effectué au bout de 3 heures après l’admission du patient à l’hôpital.
Partie A : Étude de la fonction f
1. Calculer f (0), f (7), f (12).
f(0) = 190 ; f(7) = -73 +9 x72+21 x 7 +190 = -343+441+147+190 =435.
f(12) =
-123 +9 x122+21 x 12 +190 = -1728+1296+252+190 =10.
2. Soit f ′ la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f ′(t ) pour tout réel t ∈ [0 ; 12].
f '(t) = -3t2+ 18 t +21.
On admettra pour la suite de cette partie que la dérivée peut s’écrire sous la forme :
f ′(t )= −3(t +1)(t −7).
3. Compléter le tableau qui donne le signe de la dérivée f ′ et les variations de f.

4. Calculer f ′(10).
f '(10) = -3 (10+1)(10-7) =-3 x 11 x 3 = -99.
Partie B : Application
On donne une représentation graphique de la fonction f .
1. Par lecture graphique, déterminer le nombre de bactéries dans le prélèvement effectué trois heures après l’admission du patient à l’hôpital.

30 800 bactéries sont présentes 3 heures plus tard.
2. Comment se traduit graphiquement l’effet de l’antibiotique, à partir dumoment où il est administré ?
L'antibiotique est peu efficace durant les quatre premières heures qui suivent son administration et le nombre de bactéries croît. Au bout de 7 heures, l'antibiotique est suffisamment efficace pour détruire les bactéries et les empécher de se multiplier.
3. La situation d’un patient est critique, lorsque le nombre de bactéries dans un prélèvement atteint 50 000.Le patient étudié risque-t-il d’être en situation critique au cours des 12 premières heures suivant sonadmission à l’hôpital ? Justifier la réponse.
Non, le nombre maximum de bactéries est égale  à 43 500, valeur inférieure à 50 000.
4. La vitesse de croissance du nombre de bactéries à l’instant t est donnée par f ′(t ) qui est le nombre dérivé de la fonction f en t .
Déterminer la vitesse de croissance du nombre de bactéries pour t = 10 heures, c’est-à-dire 10 heures après la prise en charge du patient par l’hôpital.
f '(10) = -99.










Antilles-Guyanes 2016.
Le laboratoire pharmaceutique Clamex fabrique et commercialise un vaccin contre la rougeole. Sa capacité de production, sur une semaine, lui permet de réaliser entre 0 et 17 litres de ce produit. On note x le volume de production exprimé en litres.
On note B(x) le bénéfice hebdomadaire (en euros) réalisé par le laboratoire pour la vente du volume x de vaccin.
La courbe représentative de la fonction B définie sur l’intervalle [0 ; 17] est donnée en annexe 1.
Partie A : Lecture graphique
Les résultats aux questions posées dans cette partie seront donnés en s’aidant du graphique.
1. Déterminer les volumes hebdomadaires vendus pour lesquels le bénéfice hebdomadaire est égal à 400 euros.
2. Pour quels volumes hebdomadaires vendus, le laboratoire Clamex est-il bénéficiaire ?

Partie B : étude du bénéfice hebdomadaire
On admet que la courbe donnée est la représentation graphique de la fonction B définie sur l’intervalle [0 ; 17] par B(x) = −x3 +6x2 +180x −184.
On note B′ la fonction dérivée de la fonction B.
1. a. Déterminer B′(x) pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 17].
B'(x) = -3x2 +12x+180.
b. Montrer que B′(x) = (−3x +30)(x +6) pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 17].
Développer : B'(x) =-3x2-18x+30x+180 = -3x2 +12 x +180.
Autre méthode :
Discriminant D' = 62-180 x(-3) =576. Racine carrée du discriminant : 24
Solutions :( -6 +24 ) (-3)= -6 et (-6 -24) / (-3) = 10.
B'(x) = -3 (x+6) (x-10).
c. Étudier le signe de B′(x) sur l’intervalle [0 ; 17].
d. En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l’intervalle [0 ; 17].
On fera apparaître les valeurs de la fonction B aux bornes de l’intervalle.
B(10) = -1000+600+1800-184 =1216.
B(17) = -173 +6 x172 +180 x17 -184 = -4913+1734 +3060 -184 =-303.
2. Déterminer le volume hebdomadaire vendu pour obtenir un bénéfice maximal et calculer la valeur de ce bénéfice, en euros.

Le bénéfice est maximum ( 1216 € ) pour une production hebdomadaire égale à 10 L.


Polynésie 2016.
Lors de sa première année de vie, un enfant a deux types d’anticorps dans le sang : les anticorps transmis par la mère lors de la grossesse et les anticorps produits par l’enfant à partir de sa naissance. La somme des concentrations de ces deux anticorps est appelée concentration globale en anticorps dans le sang. La concentration en anticorps dans le sang sera exprimée en grammes par litre (g/L).
 Partie A : Étude graphique
On a tracé, dans un repère orthogonal du plan :
- la courbe C représentative de la fonction f (en tiretés) correspondant à la concentration en anticorps maternels ;
- la courbe C′ représentative de la fonction g (en trait plein) correspondant à la concentration globale en anticorps.
Pour chacune des questions suivantes, on répondra à l’aide du graphique et on laissera les traits de construction apparents . On arrondira les réponses à l’unité.
1. À quel âge l’enfant retrouve-t-il la même concentration globale en anticorps qu’à la naissance ?
2. Déterminer f (3) et g (3). En déduire la concentration en anticorps produits par l’enfant à l’âge de 3 mois.
A l'âge de 3 mois, la concentration d'anticorps produits par l'enfant est de 1,2 g/L.

Partie B : Évolution de la concentration en anticorps transmis par la mère.
On modélise la concentration en anticorps maternels dans le sang de l’enfant à l’aide de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 12] par : f (x) = 12×0,75x .
Le nombre f (x) représente la concentration en anticorps maternels dans le sang en fonction de l’âge x.
1. On admet que sur l’intervalle [0 ; 12] la fonction f admet le même sens de variation que la fonction u définie par u(x) = 0,75x .
Déterminer, en justifiant votre réponse, le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 12]. Interpréter ce résultat.
Si 0 < a < 1, alors la fonction qui à x associe ax est une fonction strictement décroissante sur R.
Dans ce cas a = 0,75, nombre strictement inférieur à 1, en conséquence la fonction x |-->0,75x est une fonction strictement décroissante sur [0 ; 12].
Par suite la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 12].

2. Calculer la concentration en anticorps maternels dans le sang de l’enfant à l’âge de 3 mois. Arrondir le résultat au centième.
f(3) = 12 x 0,753 = 5,06 g/L.
3. Résoudre l’inéquation f (x) <= 9. En déduire l’âge à partir duquel la concentration en anticorps maternels dans le sang est inférieure à 9 g/L.
12×0,75x  <= 9 ; 0,75x  <= 9 /12 ; x log 0,75 <=log ( 9 /12) ;
-0,125 x <= -0,125 ; x > 1.
Au delà d'un mois la concentration en anticorps maternels dans le sang est inférieure à 9 g/L.
Partie C : Évolution de la concentration globale en anticorps dans le sang
On modélise la concentration globale en anticorps dans le sang de l’enfant à l’aide de la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 12] par : g (x) = 0,28x2 −2,8x +12.
Le nombre g (x) représente la concentration globale en anticorps dans le sang en fonction de l’âge x, exprimé en mois, de l’enfant.
1. Déterminer la fonction dérivée g ′ de la fonction g sur l’intervalle [0 ; 12].
g'(x) = 0,56 x -2,8
2. Étudier le signe de la fonction g ′ et en déduire le tableau de variation de la fonction g sur l’intervalle [0 ; 12].
g(0) = 12 ; g(5) = 0,28 x 52 -2,8 x5 +12 = 5 ; g(12) = 0,28 x 122 -2,8 x12 +12 = 18,72.

3. À quel âge la concentration globale en anticorps dans le sang est-elle minimale ? exprimé en mois, de l’enfant.
A 5 mois la concentration en anticorps est minimale.



  

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