Mathématiques, bac ST2S Antilles 2017.


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Le tableau suivant provient de données statistiques sur les accidents cyclistes en
France métropolitaine en 2008 :
Age
Blessés hospitalisés
Blessés non hospitalisés
0 - 14 ans
275
383
15 - 24 ans
245
611
25 - 44 ans
337
965
45 - 64 ans
458
669
65 ans ou +
224
219
Total
1539
2847
Source : fubicy.org.
Partie A : on arrondira les résultats à 0,1%
1. Parmi les blessés suite à un accident de vélo en France métropolitaine en 2008, déterminer le pourcentage de personnes hospitalisées.
1539 x100 / (2847+1539)=35,1 %.
2. Parmi les blessés hospitalisés suite à un accident de vélo en France métropolitaine en 2008, déterminer le pourcentage de personnes âgées de 45 à 64 ans.
458 x100 / 1539=29,8 %.
3. Parmi les 15 à 24 ans blessés suite à un accident de vélo en France métropolitaine en 2008, déterminer le pourcentage de blessés non hospitalisés.
611 x 100 / (611+245)=71,4 %.
4. Les accidents sont considérés comme graves lorsque les blessés sont hospitalisés.
Un article affirme : « À partir de 25 ans, la gravité des accidents cyclistes augmente avec l’âge ».
Cette affirmation vous semble-t-elle vraie au vu des données de l’énoncé ? Justifier la réponse.
Pourcentage de blessés hospitalisés en fonction de l'âge :
25 - 44 ans : 337 x100 /(337 +965) =25,9 %.
45 - 64 ans : 458 x100 /(458 +669) =40,6 %.
65 ans ou + : 224 x100 /(224 +219) =50,6 %.
L'affirmation est vraie.

Partie B : on arrondira les résultats à 0,01 près
On contacte au hasard une personne blessée suite à un accident de vélo en France métropolitaine en 2008. On définit les évènements suivants :
H : « La personne contactée a été hospitalisée »
A : « La personne contactée a entre 25 et 44 ans »
B : « La personne contactée a 45 ans ou plus »
1. Calculer la probabilité des évènements H, A et B.
p(H) = 1539 / (1539+2847)=0,35.
p(A) = (337 + 965) / (1539+2847)=0,30.
p(B) = (458+669+224+219)/(1539+2847)=0,36.
2. Définir l’évènement H n A par une phrase puis calculer sa probabilité.
La personne a été hospitalisée et a entre 25 et 44 ans.
p(H n A)=337 /(1539+2847)=0,0768 ~0,08.
3. Calculer la probabilité que la personne contactée soit âgée de 45 ans ou plus sachant qu’elle a été hospitalisée.
p(H n B)=(458+224) /(1539+2847)=0,155.
pH(B) = p(B n H) / p(H) =0,155 / 0,35 ~0,44.
....

.....
Exercice 2.  (8 points)
Les tableaux ci-dessous donnent, pour certaines années, l’espérance de vie, en années, des femmes et des hommes à divers âges en France (hors Mayotte).

Espérance de vie des femmes
Année
à 0 an
à 20 ans
à 60 ans
1995
81,9
62,5
24,9
2000
82,8
63,4
25,6
2005
83,8
64,3
26,4
2010
84,6
65,1
27,1
.

Espérance de vie des hommes
Année
à 0 an
à 20 ans
à 60 ans
1995
73,8
54,7
19,7
2000
75,2
56,0
20,4
2005
76,7
57,4
21,4
2010
78,0
58,6
22,4
Source Insee.
Par exemple, en 1995, une femme de 20 ans vivant en France (hors Mayotte) avait une espérance de vie restante de 62,5 années. Cela signifie qu’il était estimé en 1995 que les femmes de 20 ans vivraient, en moyenne, jusqu’à 82,5 ans.
Partie A : Étude de l’espérance de vie des hommes de 60 ans.
1. D’après les indications du tableau, en 2010, quelle était l’espérance de vie restante d’un homme de 60 ans ? 22,4 ans.
2. a. Calculer le pourcentage d’évolution, à 0,1% près, entre l’espérance de vie restante en 1995 d’un homme de 60 ans et l’espérance de vie restante en 2010 d’un homme de 60 ans.
(22,4-19,7) x100 /19,7 ~13,7 %.
b. Comparer ce pourcentage d’évolution de l’espérance de vie restante des hommes de 60 ans à celui des femmes de 60 ans, sur la même période.
Cas des femmes : (27,1-24,9) x100 / 24,9 ~8,83 %.
L'espérance de vie des hommes s'est plus accru que celui des femmes sur cette période.
3. L’espérance de vie restante des hommes de 60 ans a augmenté de 5% entre 2010 et 2015. En apprenant cette bonne nouvelle, Jacques, un homme de 60 ans en 2015 affirme : « les hommes de ma génération peuvent légitimement espérer vivre jusqu’à 83 ans et demi ! ». Justifier les propos de Jacques.
22,4 x1,05 = 23,52.
60+23,52 ~83,5 ans. L'affirmation est vraie.

Partie B : Étude de l’espérance de vie à la naissance
L’espérance de vie à 0 an est aussi appelée espérance de vie à la naissance.
1. Espérance de vie à la naissance des femmes
a. Représenter le nuage de points de coordonnées (x ; y) où x représente l’année de naissance et y
représente l’espérance de vie des femmes à la naissance, selon le tableau de l’Insee.
b. Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et placer G sur le graphique.
c. La forme du nuage de points montre qu’un ajustement affine est pertinent.
Un logiciel donne y = 0,182x −281,18 comme équation de la droite qui réalise au mieux cet ajustement. Tracer cette droite sur le graphique.
d. D’après cet ajustement, trouver graphiquement l’espérance de vie prévisible à la naissance des femmes qui naîtront en 2020.

xG=(1995 +2000 +2005 +2010) / 4 = 2002,5.
yG = ( 81,9+82,8+83,8+84,6)/4=83,275.
2. Comparaison de l’espérance de vie des femmes et de celle des hommes à la naissance
De manière similaire, un ajustement affine est pertinent pour le nuage de points (x ; y) où x représente l’année de naissance et y représente l’espérance de vie à la naissance des hommes, selon le tableau de l’Insee.
Un logiciel donne y = 0,282x −488,78 comme équation de la droite qui réalise au mieux cet ajustement.
Pour cette dernière question, on estime que les ajustements affines proposés dans cet exercice sont fiables jusqu’en 2050. À partir de cette hypothèse, peut-on en déduire qu’en 2050, l’espérance de vie à la naissance des hommes dépassera celle des femmes ? Justifier la réponse.
En cas d'espérance de vie identique :
0,282x −488,78 = 0,182x −281,18.
(0,282-0,182)x = 488,78-281,18 ; 0,1 x =207,6 ; x=2076.
L'espérance de vie des hommes sera égale à celle des femmes en 2076 et non pas en 2050.




Exercice 3.
Partie A :
Une dose d’un médicament est injectée dans le sang par piqûre intraveineuse. On suppose que le médicament se répartit instantanément dans le sang et que sa concentration initiale dans le sang est égale à 85 mg/L. On admet que le corps élimine chaque heure 25% du médicament.
On considère la suite (Cn) où Cn désigne la concentration en mg/L de médicament dans le sang n heures après l’injection avec n désignant un entier naturel. On a ainsi C0 = 85 mg/L.
1. Calculer C1 et C2. Arrondir à 0,01. Interpréter ces deux résultats.
C1 = C0 x(1-0,25) = 85 x0,75=63,75 mg/L.
Une heure après l'injection, la concentration en médicament dans le sang est égale à 63,75 mg /L.
C2 = C1 x(1-0,25) = 63,75 x0,75=47,81 mg/L.
Deux heures après l'injection, la concentration en médicament dans le sang est égale à 47,81 mg /L.

2. Montrer que la suite (Cn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
On passe d'un terme au suivant en le multipliant  par 0,75. La suite est géométrique de premier terme 85 et de  raison : 0,75.
3. Pour calculer à chaque heure la concentration de médicament présente dans le sang, on utilise un tableur. La feuille de calcul est reproduite.
Quelle formule à recopier vers le bas, faut-il saisir dans la cellule B3 pour obtenir les premières valeurs de la suite (Cn) ?

A
B
1
n
Cn
2
0
85
3
1

4
2

5
3
35,86
=B2*0,75
4. Exprimer Cn en fonction de n. En déduire la concentration demédicament dans le sang au bout de 14 heures. Arrondir à 0,01.
Cn = 85 x0,75n.
C14 = 85 x0,7514 =1,51 mg/L.











Partie B :
Pour avoir des résultats plus précis, on admet que la concentration en mg/L de médicament dans le sang t heures après l’injection peut être modélisée par la fonction G définie sur [0; 19] par :
G(t )= 85×0,75t .
La courbe représentative de la fonction G est tracée.
1. Par lecture graphique, avec la précision permise par le graphique, déterminer :
a. La concentration demédicament présente dans le sang au bout de 4 heures et 30 minutes.
b. Le temps à partir duquel la concentration de médicament dans le sang est inférieure à 50% de la concentration initiale.

2. Déterminer par le calcul une valeur approchée à 0,1 heure près du temps t0 à partir duquel la concentration de médicament dans le sang est inférieure à 20% de la concentration initiale, puis exprimer cette valeur approchée en heures et minutes.
85 x0,20=17 mg/L.
17 = 85 x0,75t ;
ln 17 = ln 85 +t ln 0,75 ;
ln17-ln75 = t ln0,75 ;
-1,609 = -0,2876 t  ;
 t0 ~5,6 h ou 5 h 36 min.

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