Mathématiques, bac ST2S, Métropole 09 /2017


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Exercice 1. 7 points
La Caisse Nationale des Allocations Familiales (CNAF) établit des statistiques portant sur les dossiers des foyers allocataires de prestations familiales.
Le tableau ci-dessous présente la répartition des dossiers des foyers allocataires selon le nombre d’enfants au sein du foyer et le lieu de résidence en 2014 :
Nombre d'enfants
Nombre de foyers allocataires ( en milliers)
Métropole
Outre mer
Total
1
1944
145
2089
2
6255
211
6466
3
3263
124
3387
4
996
58
1054
5 ou plus
461
62
523
Total
12919
600
13519
(Source : CNAF fichier FILEAS)
On choisit au hasard et de manière équiprobable le dossier d’un foyer allocataire. On considère les évènements suivants :
M : « Le dossier choisi est celui d’un foyer allocataire habitant en métropole » ;
E : « Le dossier choisi est celui d’un foyer allocataire avec 5 enfants ou plus ».
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.
1. a. Calculer la probabilité de choisir le dossier d’un foyer allocataire habitant en métropole.
p(M) = 12919 / 13 519 ~0,956.
b. Calculer la probabilité de l’évènement E.
p(E) =523 / 13 519 ~0,03867 ~0,039.
c. Décrire par une phrase le contraire de l’évènement E puis calculer sa probabilité.
Le dossier choisi est celui d'un allocataire ayant moins de 5 enfants.
1-0,03867 ~0,961.
2. a. Décrire par une phrase l’évènement M n E puis calculer sa probabilité.
Le dossier choisi est celui d’un foyer allocataire habitant en métropole avec 5 enfants ou plus.
461 / 13519 ~0,034.
b. Calculer la probabilité de choisir le dossier d’un foyer allocataire habitant dans les départements
d’outre-mer et ayant 5 enfants ou plus.
62 /13519 ~0,00458 ~0,005.
3. a. Déterminer PM(E).
PM(E) = p(M n E) / p(M) = 461 / 12919 ~0,036.
b. Déterminer la probabilité de choisir le dossier d’un foyer allocataire ayant 5 enfants ou plus
sachant que le dossier est celui d’un foyer allocataire habitant dans les départements d’outre mer.
62 / 600 ~0,103.
4. La probabilité de choisir le dossier d’un foyer allocataire avec 5 enfants ou plus est-elle plus importante parmi les foyers allocataires habitant en métropole ou parmi ceux des départements
d’outre-mer ? Justifier la réponse à l’aide des résultats précédents.
PM(E) =0,036, inférieur à 0,103.
La probabilité de choisir le dossier d’un foyer allocataire avec 5 enfants ou plus est moins importante parmi les foyers allocataires habitant en métropole.

....

...
Exercice 2. 5 points
Le tableau ci-dessous indique le nombre total de mariages enregistrés en France entre 2001 et 2014.
Année
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Rang de l'année xi
1
2
3
4
5
6
7
Nombre de marriages ( milliers) yi
297
286
283
279
282
273
273
Année 2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
Rang de l'année xi 8
9
10
11
12
13
14
Nombre de marriages ( milliers) yi 264
251
252
238
245
239
241
(source : d’après INSEE)
Le nuage de points de coordonnées (xi ; yi ) associé à ce tableau est représenté dans le graphique ci-dessous.
1. Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. Arrondir les résultats au dixième.
Placer ce point dans le repère fourni en annexe.
xm=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14) / 14 =7,5
ym=(297+286+283+279+282+273+273+264+251+252+238+245+239+241) / 14 =264,5.

On considère les points A(1 ; 297) et B(10 ; 252). On modélise le nombre de mariages par an en France, compté en milliers, par la droite d’ajustement (AB).
2. Justifier que l’équation de la droite (AB) est : y = −5x +302.
y = a x +b avec a et b des constantes.
A appartient à la droite (AB) : 297 = a +b ; b = 297-a.
Les coordonnées du point B vérifient l'équation de la droite : 252 = 10 a+b.
252 =10a+297-a ; 9a = -297+252 ; a = -5 ; b = 297+5 = 302.
3. Prouver que le point G appartient à la droite (AB).
264,5 = -5 x7,5 +302 = 264,5.
Les coordonnées du point G vérifient l'équation de la droite. G appartient à cette droite.
4. Tracer la droite (AB) dans le repère .
5. On suppose que lemodèle reste valable jusqu’en 2025.
a. Donner une estimation du nombre de mariages en 2017.
x=17 ; y =-5 x17 +302 = 217 milliers.
b. Déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de mariages en France sera inférieur à
200 000.
-5x +302 < 200 ; -5x < -102 ; x > 302/5 ; x >20,4.
A partir de 2021, le nombre de mariages sera inférieur à 200 000.




Exercice 3.
 
Partie A.
On étudie dans cette partie l’évolution dumontant annuel des dépenses consacrées en France aux soins hospitaliers entre 2009 et 2014.
Ce montant est donné dans le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul automatisé.

A
B
C
D
E
F
G
1
Année
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2
Montant des dépenses
millards €
78,3

82,4
84,5
86,6
88,6
3
 Pourcentage annuel d'évolution
XX
2,4 %
2,7 %
2,5 %


(Source : INSEE)
1. Déterminer le pourcentage d’évolution du montant des dépenses, entre l’année 2012 et l’année
2013. Arrondir le résultat à 0,1%.
(86,6-84,5) / 84,5 x100 ~2,5 %.
2. Déterminer le montant des dépenses en 2010. Arrondir le résultat au dixième de milliard d’euros.
(x-78,3) / 78,,3 x100 = 2,4 ;
x-78,3 = 2,4 x78,3 /100 = 1,8792 ; x ~80,2.
3. Les cellules C3 à G3 sont au format pourcentage arrondi à 0,1%.
Proposer une formule à saisir dans la cellule C3 qui, recopiée vers la droite, permet de calculer,
dans la plage de cellules C3 : G3, le pourcentage d’évolution entre deux années consécutives du
montant des dépenses.
=(C2-B2)/B2*100










Partie B
Dans cette partie, on modélise lemontant des dépenses consacrées aux soins hospitaliers à l’aide d’une suite numérique. Pour tout entier naturel n, on note un l’estimation du montant des dépenses, en milliards d’euros, pour l’année (2014+n). Ainsi u0 = 88,6.
On suppose que ces dépenses augmenteront de 2,5% par an après 2014.
1. Indiquer, sans justification, la nature de la suite (un). Donner la valeur de sa raison.
Suite géométrique de raison 1 +0,025 = 1,025 et de premier terme u0=88,6.
2. Exprimer un en fonction de n.
un = 88,6 x1,025n.
3. Calculer u6 (le résultat sera arrondi au dixième). Interpréter la valeur de u6 dans le contexte de l’exercice.
u6 = 88,6 x1,0256 ~102,7.
En 2020, les dépenses de santé s'éleveront à 102,7 milliards d'euros.
4. Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’inéquation : 88,6×1,025x >120.
1,025x > 120 /88,6 ;  x ln1,025 >ln(120 /88,6).
x > ln(120 / 88,6) / ln1,025 ; x supérieur à 12,28.
5. Déterminer en quelle année la modélisation prévoit que les dépenses pour les soins hospitaliers dépasseront 120 milliards d’euros ?
On arrondit x à 13 ;
 En 2014 +13 = 2027, les dépenses seront supérieures à 120 milliards d'euros.

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