Etude graphique et numérique de fonctions, bac ST2S  2017 .


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Polynésie.
Chaque semaine, le réseau Sentinelles collecte auprès de ses médecins des informations permettant
notamment d’estimer le nombre de cas de certaines maladies (grippe, varicelle, oreillons, etc.) sur une
période donnée.
Ainsi, on a évalué, pendant 15 semaines, à partir de mi-novembre 2014, le nombre de personnes présentant des syndromes grippaux.
La courbe ci-dessous donne l’évolution du taux d’incidence de la grippe (nombre de cas grippaux
observés pour 100 000 habitants) pendant la période considérée.
Partie A : Première phase d’évolution
Pendant les 6 premières semaines d’observation, le taux d’incidence de la grippe est modélisé par la
fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 6] par : f (t ) = 24×1,27t , où t est le nombre de semaines écoulées
depuis le début de l’observation.
1. Calculer le taux d’incidence de la grippe au bout de la 1ére semaine d’observation.
Donner la valeur exacte de ce taux d’incidence.
f(1) = 24 x1,27 =30,48.
2. On admet que la fonction f a le même sens de variation que la fonction g définie sur l’intervalle
[0; 6] par : g (t ) = 1,27t . Indiquer, en justifiant, le sens de variation de la fonction g , puis celui de la fonction f , sur l’intervalle [0 ; 6].
1,27 étant strictement supérieur à 1,la fonction g(t) est strictement croissante sur [0 ; 6].
f(t) = 24 g(t) , produit de g(t) par un nombre positif, est donc strictement croissante sur [0 ; 6 ].
3. a. Résoudre l’inéquation : 24×1,27t > 60,96.
ln24 +t ln1,27 > ln60,96 ;
t ln(1,27) > ln 60,96 -ln 24 ; t > (ln60,96 -ln 24) / ln 1,27 ;
t > ln( 60,96 / 24)  /ln 1,27 ; t >ln 2,54 / ln 1,27.
b. Au bout de combien de semaines écoulées le taux d’incidence de la grippe dépassera-t-il le double du taux d’incidence observé au bout de la première semaine ?
24 x1,27t > 30,48 x2 ; 1,27t > 30,48 x2 / 24 ; 1,27 t >2,54 ; 
t ln 1,27 > ln 2,54 ; t > ln 2,54 / ln 1,27.
ln 2,54 / ln 1,27. ~3,9 soit 4 semaines.

Partie B : Deuxième phase d’évolution
Au-delà de la 6è semaine d’observation, on modélise le taux d’incidence par la fonction h définie sur l’intervalle ]6 ; 15] par : h(t ) = −20t 2 +480t −2059,3.
1. Déterminer à l’aide du graphique, au bout de combien de semaines écoulées le taux d’incidence
dépasse 500 pour la première fois. (On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture).

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Métropole.
Partie A : Étude d’une fonction.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0; 8] par :
f(x)=0,5 x3-12x2+65,625x+20.
1. On note f ' la fonction dérivée de la fonction f.
Déterminer f '(x) pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0; 8].
f '(x) = 1,5 x2 -24x +65,625.
2. On admet que : f '(x) =(x-3,5)(1,5x-18,75) pour tout nombre réel x de l’intervalle [0; 8].
Compléter le tableau de signes suivant, après l’avoir recopié sur la copie, afin d’étudier le signe de f '(x) pour x appartenant à l’intervalle [0; 8].
3. En déduire le tableau de variation de la fonction 􀝂 sur l’intervalle 􁈾0; 8􁈿.
On fera apparaître les valeurs de la fonction f aux bornes de l’intervalle ainsi qu’aux éventuels changements de variation.

Partie B : Application.
L'OMS a fixé à 50 milligrammes par litre (mg/L) la concentration limite de nitrates dans l'eau destinée à la consommation, considérant qu'au-delà il y a des risques pour la santé.
Suite à un incident industriel, une importante quantité de nitrates a été déversée dans un cours d’eau sur lequel se situe un point de captage pour l’alimentation d’une ville. Un expert indépendant est alors consulté afin de prévoir l’évolution du taux de nitrates dans ce cours d’eau au niveau du point de captage pendant les 8 jours suivant l’incident. L’expert décide de modéliser le taux de nitrates, x jours après le début de l’incident, à l’aide de la fonction f étudiée en partie A.
1. D’après ce modèle, quel sera le taux maximal de nitrates atteint pendant la phase de surveillance de 8 jours ?
124 mg /L.
2. En cas d’incident, un décret impose de fermer le point de captage pendant 8 jours.
D’après le modèle choisi par l’expert, sera-t-on au terme des 8 jours dans les conditions fixées par l’OMS ?
Oui, car f(8) = 33, valeur inférieure à 50.




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