QCM, nuage de points, suites, bac ST2S  2017 .


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Polynésie.
1. Après une campagne de vaccination contre une maladie, on constate que le nombre de malades
a diminué de 25% la première année et de 12% la seconde. Le pourcentage de baisse du nombre de malades à la fin de la deuxième année est égal à :
a. 40% ; b. 34% ; c. 37% ; d. 66%.
Prix payé au bout d'une année pour un prix affiché de 100 € : 75 € ; baisse 25 €.
Baisse lors de la seconde année : 75 x 0,12 = 9 € ; baisse totale : 25 +9 = 34 € soit 34 %.
2. On considère la suite géométrique (vn) de raison 2 telle que v5 = 96. Alors v0 est égal à :
a. 86 ; b. 3 ; c. 96×25 ; d. 32.
v5 = v0 x25 ; v0 = v5 /25=96 / 32 =3.
Pour les trois questions suivantes, on considère la suite arithmétique (un) de premier terme u0 = 3 et de
raison 2,4.
3. Alors u20 est égal à :
a. 62,4 ; b. 108 ; c. 48 ; d. 51.
u20 =u0 +20 x2,4 =3+ 48 =51.
4. On utilise une feuille de calcul pour déterminer les termes de la suite (un).

A
B
C
D
E
F
G
H
I
1
n
0
1
2
3
4
5
6
7
2
un
3
5,4






3
Sn
3
8,4






Quelle formule a-t-on entrée dans la cellule C2 qui, recopiée vers la droite, permet de calculer les
termes successifs de la suite (un) ?
a. =$B$2+2,4 ; b. =B2+2,4 ; c. =$B2+2,4 ; d. =B2*2,4.

5. On souhaite calculer la somme S7 = u0+u1+· · ·+u7 des 8 premiers termes de!a suite (un). Quelle
formule a-t-on entrée dans la cellule C3 qui, recopiée vers la droite, permet de calculer S7 ?
a. =B3+C3 ; b. =Somme(B2 :C2) ; c. =C2+B3 ; d. =B2+C2.

....

...
Métropole.
Une municipalité a ouvert au public, en novembre 2016, un parc composé d’un étang, d’un arboretum et d’une maison de la nature permettant d’accueillir des expositions de sensibilisation à la protection de l’environnement.
Pour des raisons de sécurité, la mairie devra affecter à ce parc un agent supplémentaire si le nombre de visiteurs dépasse 2500 personnes par mois.
Partie A : ajustement affine
Afin d’anticiper le recrutement de l’agent supplémentaire, la municipalité a étudié la fréquentation du parc depuis son ouverture. Ces données sont regroupées dans le tableau suivant :
Mois
Novembre
2016
Décembre
 2016
Janvier
2017
Février
2017
Mars
2017
Avril
2017
Mai
2017
Rang du mois (xi)
0
1
2
3
4
5
6

Nombre de visiteurs
 par mois ( yi)
1200
1233
1316
1360
1448
1457
1520
1. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage (on arrondira, si nécessaire, les
résultats à l’unité). Placer ce point dans le repère
xG=(1 +2 +3 +4 +5 +6) / 7=3.
yG=(1200 +1233 +1316 +1360 +1448 +1457 +1520) / 7=1362.
2. On fait l’hypothèse que le nombre de visiteurs par mois de ce parc est correctement
modélisé à l’aide de la droite d’ajustement D d’équation : y = 54 x+1200 ,
x représentant le rang du mois depuis l’ouverture.
a. Tracer la droite D dans le repère. Préciser les points utilisés pour la construction.
Point (0 ; 1200) et point (6 ; 1524 ).

b. En supposant cet ajustement fiable jusqu’en 2020, déterminer la date (mois, année) à
partir de laquelle la municipalité devra affecter un agent supplémentaire à ce parc.
 54 x +1200 >2500 ;  x > (2500-1200) / 54 ; x > 24,07.
soit 2 ans et 1 mois  ; date décembre 2018.




Partie B : étude de l’impact d’une campagne de communication à l’aide d’une suite.
La municipalité met en place une campagne de communication et prévoit que le nombre de visiteurs du parc augmentera de 5% chaque mois à partir de mai 2017.
On modélise dans cette partie le nombre mensuel de visiteurs du parc à l’aide d’une suite
(un). Ainsi u0 représente le nombre de visiteurs en mai 2017 (u0= 1520), u1 représente le
nombre de visiteurs en juin 2017, etc.
Afin d’étudier l’évolution de la fréquentation du parc, la municipalité utilise la feuille decalcul automatisé suivante :

1. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 de sorte que, recopiée vers la droite sur la
plage C2:H2, elle permette d’afficher les estimations du nombre de visiteurs par mois ?
=B2*1,05
2. Utilisation de la suite (un).
a. Déterminer une estimation du nombre de visiteurs en juin 2017.
b. Indiquer, sans justification, la nature de la suite (un). Donner la valeur de sa raison.
Suite géométrique de premier terme u
0 = 1520 et de raison 1,05.
c. Exprimer un en fonction de n
, pour tout entier naturel 􀝊
un = u0 x1,05n = 1520 x1,05n.
d. Déterminer une estimation du nombre de visiteurs dans ce parc en octobre 2017.
 n = 5 ; u5 = 1520 x1,055 =1940.
3. Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’inéquation : 1520 * 1,05x > 2500.
ln 1520 + x ln 1,05 > ln 2500 ;
x >( ln2500 -ln1520 ) / ln1,05 ; x > 10,19.
4. Déterminer la date (mois, année) de recrutement d’un agent supplémentaire pour ce parc, suite à la campagne de communication.
A partir de n = 11, avril 2018.










Métropole septembre.
Le tableau ci-dessous indique le nombre total de mariages enregistrés en France entre 2001 et 2014.
Année
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Rang de l'année xi
1
2
3
4
5
6
7
Nombre de marriages ( milliers) yi
297
286
283
279
282
273
273
Année 2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
Rang de l'année xi 8
9
10
11
12
13
14
Nombre de marriages ( milliers) yi 264
251
252
238
245
239
241
(source : d’après INSEE)
Le nuage de points de coordonnées (xi ; yi ) associé à ce tableau est représenté dans le graphique ci-dessous.
1. Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. Arrondir les résultats au dixième.
Placer ce point dans le repère fourni en annexe.
xm=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14) / 14 =7,5
ym=(297+286+283+279+282+273+273+264+251+252+238+245+239+241) / 14 =264,5.

On considère les points A(1 ; 297) et B(10 ; 252). On modélise le nombre de mariages par an en France, compté en milliers, par la droite d’ajustement (AB).
2. Justifier que l’équation de la droite (AB) est : y = −5x +302.
y = a x +b avec a et b des constantes.
A appartient à la droite (AB) : 297 = a +b ; b = 297-a.
Les coordonnées du point B vérifient l'équation de la droite : 252 = 10 a+b.
252 =10a+297-a ; 9a = -297+252 ; a = -5 ; b = 297+5 = 302.
3. Prouver que le point G appartient à la droite (AB).
264,5 = -5 x7,5 +302 = 264,5.
Les coordonnées du point G vérifient l'équation de la droite. G appartient à cette droite.
4. Tracer la droite (AB) dans le repère .
5. On suppose que lemodèle reste valable jusqu’en 2025.
a. Donner une estimation du nombre de mariages en 2017.
x=17 ; y =-5 x17 +302 = 217 milliers.
b. Déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de mariages en France sera inférieur à
200 000.
-5x +302 < 200 ; -5x < -102 ; x > 302/5 ; x >20,4.
A partir de 2021, le nombre de mariages sera inférieur à 200 000.

Dans cette partie, on modélise lemontant des dépenses consacrées aux soins hospitaliers à l’aide d’une suite numérique. Pour tout entier naturel n, on note un l’estimation du montant des dépenses, en milliards d’euros, pour l’année (2014+n). Ainsi u0 = 88,6.
On suppose que ces dépenses augmenteront de 2,5% par an après 2014.
1. Indiquer, sans justification, la nature de la suite (un). Donner la valeur de sa raison.
Suite géométrique de raison 1 +0,025 = 1,025 et de premier terme u0=88,6.
2. Exprimer un en fonction de n.
un = 88,6 x1,025n.
3. Calculer u6 (le résultat sera arrondi au dixième). Interpréter la valeur de u6 dans le contexte de l’exercice.
u6 = 88,6 x1,0256 ~102,7.
En 2020, les dépenses de santé s'éleveront à 102,7 milliards d'euros.
4. Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’inéquation : 88,6×1,025x >120.
1,025x > 120 /88,6 ;  x ln1,025 >ln(120 /88,6).
x > ln(120 / 88,6) / ln1,025 ; x supérieur à 12,28.
5. Déterminer en quelle année la modélisation prévoit que les dépenses pour les soins hospitaliers dépasseront 120 milliards d’euros ?
On arrondit x à 13 ;
 En 2014 +13 = 2027, les dépenses seront supérieures à 120 milliards d'euros.

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