Mathématiques, bac ST2S Métropole 2017 .


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Exercice 1.
La corpulence est mesurée à partir de l’indice de masse corporelle (IMC) qui est égal au
rapport entre la masse (en kilogramme) et le carré de la taille (en mètre). Les individus dont
l’IMC est supérieur à 30 sont considérés comme obèses.
On a réalisé en 2006 une étude à l’aide de questionnaires sur une population d’individus âgés
de 21 à 59 ans.
Partie A.
Dans cette partie, on choisit un questionnaire au hasard parmi ceux des femmes interrogées.
On note E l’événement : « le questionnaire choisi correspond à une personne ayant un emploi ».
On note O l’événement : « le questionnaire choisi correspond à une personne considérée
comme obèse ».
Selon les données de 2006, on sait que :
- l’effectif total des femmes interrogées est de 2685, dont 1920 ont un emploi ;
- 10,6% des femmes interrogées sont considérées comme obèses ;
- parmi les femmes considérées comme non obèses, 72,7% ont un emploi.
1. On arrondira les résultats à l’entier le plus proche.
a. Justifier que le nombre total de femmes considérées comme obèses est égal à 285 et
que les femmes considérées comme non obèses et ayant un emploi sont au nombre de 1745.
2685 x 0,106 =284,61 ~285.
2685-285 =2400 ; 2400 x 0,727 = 1744,8 ~1725.
b. Compléter le tableau suivant..

Obèse
Non obèse
Total
Ayant un emploi
1920-1745=175
1745
1920
N'ayant pas un emploi
285-175 =110
655
765
Total
285
2400
2685

2. Dans les questions suivantes, les résultats seront arrondis au millième.
a. Calculer la probabilité de l’événement E 􀜧
P(E) = 1920 /2685 ~0,715.
b. Calculer la probabilité de l’événement O 􀜱
P(O) =285 / 2685 ~0,106.
c. Décrire par une phrase l’événement E n O et calculer la probabilité de cet événement.
Femmes obèses ayant un emploi.
P(E n O) = 175 / 2685 ~0,065.
d. Justifier que les événements E et O ne sont pas indépendants.
P(E) x P(O ) = 0,715 x0,106 ~0,076, valeur différente de P(E n O).
3. Étude de l’influence de la corpulence sur le taux d’emploi des femmes en 2006 (les
probabilités seront arrondies au millième).
a. Calculer la probabilité que le questionnaire choisi corresponde à une femme ayant un
emploi sachant qu’elle est considérée comme obèse.
PO(E) =175 / 285 ~0,614.
b. Déterminer la probabilité suivante.
Le questionnaire choisi corresponde à une femme ayant un emploi sachant qu’elle n'est pas considérée comme obèse.
1745  / 2400 =0,727.
c. En considérant les résultats précédents, que peut-on dire de l’influence de la corpulence sur le taux d’emploi des femmes en 2006 ?
Les femmes obèses ont plus de difficultés à trouver un emploi.
Partie B
Dans cette partie, on choisit un questionnaire au hasard parmi ceux des hommes interrogés.
On reprend les mêmes notations pour les événements que dans la partie A, c’est-à-dire :
E désigne l’événement : « le questionnaire choisi correspond à une personne ayant un
emploi ».
O désigne l’événement : « le questionnaire choisi correspond à une personne considérée
comme obèse ».
On admet que les probabilités associées à cette expérience aléatoire sont représentées à l’aide
de l’arbre de probabilité suivant :

1. Par lecture de l’arbre, donner la probabilité qu’un homme ait un emploi sachant qu’il est
considéré comme non obèse.
0,83.
2. Le rapport d’étude conclut qu’il n’y a pas d’influence de la corpulence sur le taux d’emploi des hommes en 2006. Comment peut-on le justifier à l’aide de l’arbre précédent ?
Probabilité qu’un homme ait un emploi sachant qu’il est considéré comme obèse :0,839.
0,83 est très peu différent de 0,839.
....

...
Exercice 2.
Une municipalité a ouvert au public, en novembre 2016, un parc composé d’un étang, d’un arboretum et d’une maison de la nature permettant d’accueillir des expositions de sensibilisation à la protection de l’environnement.
Pour des raisons de sécurité, la mairie devra affecter à ce parc un agent supplémentaire si le nombre de visiteurs dépasse 2500 personnes par mois.
Partie A : ajustement affine
Afin d’anticiper le recrutement de l’agent supplémentaire, la municipalité a étudié la fréquentation du parc depuis son ouverture. Ces données sont regroupées dans le tableau suivant :
Mois
Novembre
2016
Décembre
 2016
Janvier
2017
Février
2017
Mars
2017
Avril
2017
Mai
2017
Rang du mois (xi)
0
1
2
3
4
5
6

Nombre de visiteurs
 par mois ( yi)
1200
1233
1316
1360
1448
1457
1520
1. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage (on arrondira, si nécessaire, les
résultats à l’unité). Placer ce point dans le repère
xG=(1 +2 +3 +4 +5 +6) / 7=3.
yG=(1200 +1233 +1316 +1360 +1448 +1457 +1520) / 7=1362.
2. On fait l’hypothèse que le nombre de visiteurs par mois de ce parc est correctement
modélisé à l’aide de la droite d’ajustement D d’équation : y = 54 x+1200 ,
x représentant le rang du mois depuis l’ouverture.
a. Tracer la droite D dans le repère. Préciser les points utilisés pour la construction.
Point (0 ; 1200) et point (6 ; 1524 ).

b. En supposant cet ajustement fiable jusqu’en 2020, déterminer la date (mois, année) à
partir de laquelle la municipalité devra affecter un agent supplémentaire à ce parc.
 54 x +1200 >2500 ;  x > (2500-1200) / 54 ; x > 24,07.
soit 2 ans et 1 mois  ; date décembre 2018.




Partie B : étude de l’impact d’une campagne de communication à l’aide d’une suite.
La municipalité met en place une campagne de communication et prévoit que le nombre de visiteurs du parc augmentera de 5% chaque mois à partir de mai 2017.
On modélise dans cette partie le nombre mensuel de visiteurs du parc à l’aide d’une suite
(un). Ainsi u0 représente le nombre de visiteurs en mai 2017 (u0= 1520), u1 représente le
nombre de visiteurs en juin 2017, etc.
Afin d’étudier l’évolution de la fréquentation du parc, la municipalité utilise la feuille decalcul automatisé suivante :

1. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 de sorte que, recopiée vers la droite sur la
plage C2:H2, elle permette d’afficher les estimations du nombre de visiteurs par mois ?
=B2*1,05
2. Utilisation de la suite (un).
a. Déterminer une estimation du nombre de visiteurs en juin 2017.
b. Indiquer, sans justification, la nature de la suite (un). Donner la valeur de sa raison.
Suite géométrique de premier terme u
0 = 1520 et de raison 1,05.
c. Exprimer un en fonction de n
, pour tout entier naturel 􀝊
un = u0 x1,05n = 1520 x1,05n.
d. Déterminer une estimation du nombre de visiteurs dans ce parc en octobre 2017.
 n = 5 ; u5 = 1520 x1,055 =1940.
3. Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’inéquation : 1520 * 1,05x > 2500.
ln 1520 + x ln 1,05 > ln 2500 ;
x >( ln2500 -ln1520 ) / ln1,05 ; x > 10,19.
4. Déterminer la date (mois, année) de recrutement d’un agent supplémentaire pour ce parc, suite à la campagne de communication.
A partir de n = 11, avril 2018.










Exercice 3.
Partie A : Étude d’une fonction.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0; 8] par :
f(x)=0,5 x3-12x2+65,625x+20.
1. On note f ' la fonction dérivée de la fonction f.
Déterminer f '(x) pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0; 8].
f '(x) = 1,5 x2 -24x +65,625.
2. On admet que : f '(x) =(x-3,5)(1,5x-18,75) pour tout nombre réel x de l’intervalle [0; 8].
Compléter le tableau de signes suivant, après l’avoir recopié sur la copie, afin d’étudier le signe de f '(x) pour x appartenant à l’intervalle [0; 8].
3. En déduire le tableau de variation de la fonction 􀝂 sur l’intervalle 􁈾0; 8􁈿.
On fera apparaître les valeurs de la fonction f aux bornes de l’intervalle ainsi qu’aux éventuels changements de variation.

Partie B : Application.
L'OMS a fixé à 50 milligrammes par litre (mg/L) la concentration limite de nitrates dans l'eau destinée à la consommation, considérant qu'au-delà il y a des risques pour la santé.
Suite à un incident industriel, une importante quantité de nitrates a été déversée dans un cours d’eau sur lequel se situe un point de captage pour l’alimentation d’une ville. Un expert indépendant est alors consulté afin de prévoir l’évolution du taux de nitrates dans ce cours d’eau au niveau du point de captage pendant les 8 jours suivant l’incident. L’expert décide de modéliser le taux de nitrates, x jours après le début de l’incident, à l’aide
de la fonction f étudiée en partie A.
1. D’après ce modèle, quel sera le taux maximal de nitrates atteint pendant la phase de surveillance de 8 jours ?
124 mg /L.
2. En cas d’incident, un décret impose de fermer le point de captage pendant 8 jours.
D’après le modèle choisi par l’expert, sera-t-on au terme des 8 jours dans les conditions fixées par l’OMS ?
Oui, car f(8) = 33, valeur inférieure à 50.

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