Mathématiques, probabilités
Bac St2S 2014.




Polynésie. 
Partie A.
Les résultats d’une étude concernant le nombre de personnes d’une commune ayant attrapé la grippe entre 2007 et 2012 sont donnés dans le tableau ci-dessous.
Année
2007
2008 2009
2010
2011
2012
Rang de l'année (xi)
1
2
3
4
5
6
Nombre de personnes ( yi)
618
601
605
600
597
591
1.a Représenter le nuage de points associé aux données du tableau précédent de coordonnées (xi ; yi ).

b. Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et placer G dans le repère précédent.
xG = (1 +2 +3 +4 +5 +6) / 6= 3,5.
yG = (618 +601 +605 +600 +597 +591) / 6 =602.
2. On considère la droite (D) d’équation : y = −4,3x +617,05. On admet que la droite (D) réalise un ajustement affine du nuage de points, valable jusqu’en 2015.
a. Le point G appartient-il à la droite (D) ? Justifier.
 -4,3 x3,5 +617,05 = 602=yG.
Les coordonnées du point G vérifient l'équation de (D) : G appartient à cette droite.
b. Tracer la droite (D) dans le repère précédent.
c. Déterminer graphiquement puis par le calcul une prévision du nombre de personnes qui auront la grippe en 2015. Pour la lecture graphique, on laissera apparent les traits de construction.
Pour 2015, x =9 : y = -4,3 x9 +617,05 ~578.
 Partie B.
En 2013, dans le lycée de cette commune, on a compté 240 élèves absents pour raison médicale parmi lesquels il y a 108 filles.
On sait que 25% de ces filles ont été absentes à cause de la grippe et que 12,5 % des élèves absents pou raison médicale sont des garçons atteints de la grippe.
1. On a commencé à remplir un tableau résumant la situation décrite et dans lequel figure une donnée dans la case grisée.

Nombres d'élèves absents
à cause de la grippe
Nombre d'élèves absents
 pour une raison médicale
autre que la grippe
Total
Nombre de filles absentes
pour raison médicale
108 x0,25=27
108-27=81
108
Nombre de garçons absents
pour raison médicale
30
132-30=102
132
Total
57
183
240

a. Décrire par une phrase ce que signifie le nombre « 30 » indiqué dans cette case grisée.
30 garçons sont absents à cause de la grippe.
b. Indiquer le calcul effectué pour obtenir ce nombre à partir des données de l’exercice.
Nombre de garçons absents à cause de la grippe : 240 x0,125 =30.
c. Compléter le tableau.
On choisit au hasard un élève absent pour raison médicale. On considère les événements suivants :
F : « l’élève choisi est une fille » ;
M : « l’élève choisi a été absent à cause de la grippe ».
2. Calculer la probabilité de l’événement F, notée p(F).
p(F) = nombre de filles / nombre d'élèves = 108 / 240 =0,45.
3. a. Décrire par une phrase l’événement F ∩M.
Une fille a été absente à cause de la grippe.
b. Calculer la probabilité de l’événement F ∩M , notée p(F ∩M).
Nombre de filles malades à cause de la grippe / nombre d'absents = 27 / 240 = 0,1125.
4. Montrer que la probabilité de choisir un élève absent à cause de la grippe est 0,2375.
57 élèves absents pour cause de grippe sur 240 absents = 57 / 240=0,2375.
5. Calculer la probabilité de choisir une fille sachant que l’absence est due à la grippe.
27 filles grippés sur 57 grippés = 27 / 57= 9 / 19 ~0,474.




Antilles
Un magasin d’informatique propose différents produits tels que des ordinateurs, du matériel d’impression ou des logiciels.
Partie A.
80 clients ont acheté dans ce magasin un seul produit parmi ceux proposés ci-dessus. Ils ont réglé soit en espèces soit en utilisant une carte bancaire. Parmi ces clients :
• 70% ont payé en utilisant une carte bancaire, les autres ayant payé en espèces ;
• 48 clients ont acheté du matériel d’impression;
• aucun ordinateur n’a été payé en espèces ;
• le quart de ceux qui ont payé en utilisant une carte bancaire a acheté un logiciel ;
• parmi les clients ayant payé en espèces, il y en a autant qui ont acheté un logiciel que du matériel d’impression.
1. Recopier et compléter le tableau des effectifs ci-dessous, représentant la répartition des achats et des modes de paiement des 80 clients

Matériel d'impression
Logiciels
Ordinateurs
Total
Espèces
12
12
0
80-56=24
Carte bancaire
36
14
6
80 x0,7=56
Total
48
26
6
80
2. On choisit au hasard un des 80 clients. Chaque client a la même probabilité d’être choisi.
On considère les évènements suivants :
A : « le client a acheté du matériel d’impression »
B : « le client a payé par carte bancaire ».
a. Calculer la probabilité de l’évènement A.
48 clients sur 80 soit 48 / 80 = 0,60.
b. Calculer la probabilité de l’évènement B.
56 clients sur 80 soit 56 / 80 = 0,70
c. Décrire par une phrase l’évènement A
∩B.
Le client a acheté du matériel d'impression et a payé par carte bancaire.
d. Calculer la probabilité de l’évènement
A∩B.
36 / 80 = 0,45.
e. Décrire par une phrase l’évènement suivant et.calculer sa probabilité.
Probabilité de "client a acheté du matériel d'impression ou a payé par carte bancaire" :
p(A) +p(B) -p(
A∩B)=0,60 + 0,70 -0,45 = 0,85..
3. Sachant qu’un client a acheté du matériel d’impression, calculer la probabilité qu’il ait payé en espèces.
12 / 48 = 0,25.
  Partie B
1. Soit f la fonction définie sur l’ intervalle [1 ; 10] : f (x) = x2−12x +96
a. On note f '(x) la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f '(x) pour tout x appartenant à l’intervalle [1 ; 10].
f '(x)=2x-12 = 2(x-6).
b. Étudier le signe de f '(x) pour x appartenant à l’intervalle [1 ; 10].
Si x appartient à [1 ; 6[, f '(x) est négative ; f(x) est décroissante.
Si x appartient à ]6 ; 10], f '(x) est positive ; f(x) est strictement croissante.
Si x = 6, f '(x) est nulle ; f(x) présente un minimum.
c. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 10].

2. Le magasin d’informatique se fournit en ordinateurs auprès d’une entreprise locale qui peut fabriquer au maximum10 ordinateurs par semaine. On note x le nombre d’ordinateurs produits en une semaine.
On admet que, pour tout x entier appartenant à l’intervalle [1 ; 10], le coût total de fabrication, exprimé en dizaines d’euros, est égal à f (x).
a. Déterminer le nombre d’ordinateurs fabriqués par semaine qui permet un coût total de fabrication minimal.
b. Donner la valeur de ce coût minimal.

L'entreprise fabrique 6 ordinateurs pour un coût minimal de 600 €.










Métropole septembre.
Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne le nombre de licences sportives délivrées chaque année dans une ville :

A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1
Année
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2
Rang de l'année xi 1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
Nombre de licences yi
7093
7117
7331
7415
7587
7630
7820
7813
8090
4
 Pourcentage d'évolution ( en %)










  Partie A.
1. Construire le nuage de points de coordonnées xi, yi.
2. a. Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points.
b. Placer le point moyen G sur le graphique.
xG = (1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9) / 9 =5.
yG = (7093 +7117 +7331 +7415 +7587 +7630 +7820 +7813 +8090) / 9 = 7544.

3. On considère la droite (D), d’équation y = 121,15x+6938,25. On suppose que la droite (D) réalise un ajustement affine du nuage de points, fiable jusqu’en 2017.
a. Montrer que le point moyen G appartient à la droite (D).
121,15 x5 +6938,25=7544 = yG.
Les coordonnées du point G vérifient l'équation de (D) : G appartient à cette droite.
b. Construire cette droite sur le graphique précédent.
c. En utilisant la représentation graphique, estimer le nombre de licences sportives qui seront délivrées en 2017.
d. Retrouver par le calcul l’estimation obtenue à la question précédente.
Rang de l'année 2017 : x = 13 ; y = 121,15 x13 +6938,25=8513.
Partie B.
On arrondira les pourcentages au dixième.
1. a. Déterminer le pourcentage d’évolution du nombre de licences entre 2005 et 2006.
(7117-7093) / 7093 x 100 = 0,338 ~0,4 %.
b. Proposer une formule, à saisir dans la cellule C4, qui, recopiée vers la droite, permet de calculer le pourcentage d’évolution entre deux années successives. Les résultats dans les cellules C4 à J4 sont au format pourcentage.
=(C3-B3)/B3
2. Sachant qu’en 2013, 687 licenciés pratiquaient l’équitation, déterminer le pourcentage qu’ils représentaient parmi l’ensemble des licenciés de 2013.
687 / 8090 x 100~8,5 %
3. Sachant que les footballeurs représentaient 30% de l’ensemble des licenciés en 2013, calculer le nombre de footballeurs licenciés en 2013.
8090 x0,3 =2427.

Lors d’une compétition, les 198 cyclistes participants ont été contrôlés. Parmi eux, 21 cyclistes ont eu un résultat « positif » au test anti-dopage.
Néanmoins, 3 cyclistes parmi ces 21 testés « positif » n’avaient pris aucun produit dopant et 2 cyclistes parmi les testés « négatif » avaient pris des produits dopants.
1. Compléter le tableau suivant :

Cyclistes dopés
Cyclistes non dopés
Total
Cyclistes testés positif
18
3
21
Cyclistes testés négatif
2
175
177
Total
20
178
198

2. On choisit un cycliste au hasard parmi les 198 compétiteurs. On considère les évènements suivants :
D : « Le cycliste s’est dopé ».
N : « Le cycliste est testé "négatif" ».
a. Quelle est la probabilité qu’un cycliste soit testé "positif" ?
p(D)=21 198 =0,106 ~0,11.
b. Calculer les probabilités suivantes.

c. Exprimer par une phrase l’évènement suivant puis calculer sa probabilité.

3. Compléter l’arbre pondéré .

4. Déterminer l’efficacité du test pratiqué lors de cette compétition.


Antilles septembre.
L’indice de masse corporelle d’une personne (IMC) se calcule grâce à la formule suivante : IMC = Masse / (Taille)2 dans laquelle lamasse est exprimée en kilogramme et la taille en mètre.
On précise qu’une personne est en surpoids si son IMC est supérieur ou égal à 25.
On a demandé à un groupe de 10 élèves de donner leur masse et leur taille. Les données ont ensuite été consignées dans une feuille automatisée de calcul reproduite ci-dessous :

A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
1
Elève n°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
Masse ( kg)
54
65
64
70
72
61
64
76
45
78
3
Taille (m)
1,73
1,84
1,65
1,62
1,70
1,74
1,86
1,57
1,60
1,71
4
IMC
18,0
19,2
23,5
26,7
24,9
20,1
18,5
30,8
17,6
26,7
La ligne 4 est au format nombre avec une décimale.
1. Quelle formule a été saisie dans la cellule B4 puis recopiée vers la droite jusqu’à la cellule K4 pour calculer l’IMC des 10 élèves ?
=B2/(B3*B3)
2. Quelle est la proportion d’élèves en surpoids dans ce groupe ? On exprimera le résultat en pourcentage.
3 élèves sur 10 sont en surpoids soit 3 *100 / 10 = 30 %.
En 2012, en France, on comptait une proportion d’hommes d’environ 47,5%.
Environ 42% des femmes et 54% des hommes étaient en surpoids. (source : rapport OBEPI 2012)
On choisit une personne au hasard dans la population française, chaque personne ayant la même probabilité d’être choisie.
On désigne par les lettres F, H et S les évènements suivants :
F : « la personne choisie est une femme »
H : « la personne choisie est un homme »
S : « la personne choisie est en surpoids »
1. a. Donner la probabilité que la personne choisie soit une femme. On note P(F) cette probabilité.
p(F) = 1-0,475 = 0,525.
b. Donner la probabilité que la personne choisie soit en surpoids sachant que c’est un homme.On note PH (S) cette probabilité.
PH (S)=0,54.
2. Compléter l’arbre des probabilités donné dans l’annexe, à rendre avec la copie.

a. Décrire par une phrase l’événement suivant H
S. et calculer sa probabilité.
La personne est un homme en surpoids.P(
H S) = 0,2565 ~0,26.
3. Montrer que : P(S)= 0,477.
4. Les évènements S et H sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
P(H) x P(S) = 0,475 x 0,477 = 0,2266, valeur différente de
P(H S). Les évenements S et H ne sont pas indépendants.
 5. Calculer la probabilité de choisir un homme sachant que la personne choisie est en surpoids. On donnera le résultat arrondi à 0,001 près.
PS(H) = P(H S) / P(S) =0,2565 / 0,477 ~0,538.

Le tableau ci-dessous donne la population française, hors Mayotte, de l’année 2004 à l’année 2013.
Année
Rang de l'année ( xi)
Population ( yi) en milliers
2004
1
62251
2005
2
62731
2006
3
63186
2007
4
63601
2008
5
63962
2009
6
64305
2010
7
64613
2011
8
64949
2012
9
65281
2013
10
65586
Source : INSEE (en 2011, 2012 et 2013, les données sont provisoires)
On donne, en annexe, le nuage de points Mi (xi ; yi ).

1. a. Montrer que les coordonnées du point moyen G du nuage de points  sont (5,5 ; 64 046,5), puis placer G sur le graphique.
xi =(1+2+3+4 +5+6+7 +8+9+10) /10=5,5.
yi = (62251 +62731 +63186 +63601 +63962 +64305 +64613 +64949 +65281 +65586) / 10 =64046,5.
b. On admet que la droite D de coefficient directeur 364 passant par le point G constitue un ajustement du nuage de point .
Montrer que l’équation réduite de la droite D est : y = 364x +62044,5.
La droite d'équation y = 364 x+b passe par G( 5,5 ; 64046,5) : 64046,5 = 364 x5,5 +b, d'où b =62044,5.
c. Tracer la droite D sur le graphique.
2. En utilisant l’ajustement précédent, déterminer par le calcul, une estimation de la population française hors Mayotte, en 2015.
x = 12 ; y = 364 x12 +62044,5 = 66412,6 en milliers d'habitants.
 En quelle année, selon l’ajustement de la question 1. b., la population française, hors Mayotte, dépasserait-elle 67 000 milliers d’habitants ?
364x +62044,5 > 67000 ; 364 x > 67000-62044,5 ; 364 x >4955,5 ; x > 4955,5 / 364 ; x >13,6. x = 14, année 2017.

Nlle Calédonie.
Le tableau suivant donne l’évolution du nombre d’interruptions volontaires de grossesse (I.V.G.)médicamenteuses dans les villes des départements d’outre-mer de 2005 à 2011.
Année
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Rang (xi)
1
2
3
4
5
6
7
Nombre d'IVG médicamenteuse (yi)
543
952
1338
1642
1967
2467
2511
Source : DREES,Ministère des affaires sociales et de la santé
1. Calculer le taux d’évolution du nombre d’I.V.G.médicamenteuses entre 2010 et 2011. Arrondir le résultat à 0,1%.
(2511-2467) / 2467 x100 =1,78 ~1,8 %.
2. Représenter sur une feuille de papiermillimétré le nuage de points.
3. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. On arrondira l’ordonnée de G à l’entier.
xi =(1 +2 +3 +4 +5 +6 +7) / 7 =4.
yi=(543 +952 +1338 +1642 +1967 +2467 +2511) / 7 ~1631.
Dans toute la suite de l’exercice, on prendra pour coordonnées de G(4 ; 1 631).

4. Soit le point A(0 ; 265).
a. Tracer la droite (AG) sur le graphique du nuage de points
b. Montrer que la droite (AG) a pour équation : y = 341,5x +265.
La droite d'équation y = ax+b passe en A ; 265= 0 +b.
La droite passe en G : 1631 = 4a +265 d'où a = (1631-265) / 4 = 341,5.
5. On admet que la droite (AG) est un ajustement affine pertinent du nuage de points qui permet d’effectuer des estimations au-delà de 2011. En utilisant cet ajustement affine, calculer :
a. le nombre d’I.V.G.médicamenteuses dans les villes des départements d’outremer en 2014 ;
x = 10 ; y = 3415+265 = 3680.
b. l’année à partir de laquelle le nombre d’I.V.G. médicamenteuses dans les villes des départements d’outre-mer dépassera 4 500.
341,5x +265 > 4500 ; 341,5 x > 4235 ; x > 4235 / 341,5 ; x >12,4 ; x = 13, année 2017.

Chaque année on déplore des accidents de la route mortels (c’est-à-dire ayant entraîné un décès au moins).
Le tableau ci-dessous indique le nombre de conducteurs de voiture de tourisme impliqués dans un accident mortel en 2011, en fonction de leur alcoolémie et du port
de la ceinture de sécurité.

Test d'alcoolémie positif
Test d'alcoolémie négatif
Total
Nombe de conducteurs ceinturés
383
2185
2568
Nombre de conducteurs non ceinturés
167
92
259
Total
550
2277
2827
Source : ONISR, Fichier des accidents
Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis au millième.
On prélève au hasard le dossier d’un conducteur parmi les 2 827 conducteurs impliqués dans des accidents mortels.
On considère les évènements suivants :
A : « Le test d’alcoolémie du conducteur était positif au moment de l’accident » ;
C : « Le conducteur était ceinturé au moment de l’accident ».
1. Calculer la probabilité que le test d’alcoolémie du conducteur ait été positif au moment de l’accident.
P(A) =550 / 2827 ~0,195.
2. Calculer la probabilité que le conducteur n’ait pas été ceinturé au moment de l’accident.
259 / 2827 ~ 0,092.
3. a. Décrire par une phrase l’évènement suivant.et montrer que sa probabilité  est environ égale à 0,227.
Le conducteur n'était pas ceinturé ou bien le  test d'alcoolémie était positif.

4. a. Quelle est la probabilité que le conducteur n’ait pas été ceinturé, sachant que son test d’alcoolémie était négatif ?

b. Calculer la probabilité suivante.

c. Comparer ces deux derniers résultats et commenter par une phrase.
En buvant, on oublie de mettre la ceinture.



  

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