Mathématiques, fonctions Bac St2S 2013.

Mathématiques, fonctions
Bac St2S 2013.

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Polynésie.
Un médicament est administré en intraveineuse. Un laboratoire étudie le processus d’absorption de ce médicament par l’organisme pendant les 12 heures qui suivent l’injection.
La quantité de produit présent dans le sang est exprimée en cm³. Le temps t est exprimé en heures. La quantité de produit présent dans le sang, en fonction du temps t , est donnée par f (t ) = 4×0,85^t où t désigne un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ;12 ].
Partie A.
1. Calculer la quantité de produit présent dans le sang à l’instant t = 0 .
f(0) = 4 x0,85⁰ = 4 cm³.
2. On admet que la fonction f a les mêmes variations sur l’intervalle [0 ; 12] que la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 12] par g (t )= 0,85^t . Établir le tableau des variations de f sur l’intervalle [0 ; 12].
Si 0 < a <1, la fonction h(x) = a^x est strictement décroissante sur R. La fonction f(t )=4 x 0,85^t est strictement décroissante sur [0 ; 12 ].

3. Résoudre l’équation f (t ) = 1.On donnera la valeur exacte de la solution puis une valeur approchée au dixième.
1 = 4 x0,85^t ; ln(1) =ln(4)+ t ln(0,85) ; 0 = ln(4)+ t ln(0,85) ; t = - ln(4) / ln(0,85) ~8,5 heures.
Partie B.
On a représenté ci-dessous la courbe C_freprésentative de la fonction f.
1. Déterminer graphiquement la quantité de produit présent dans le sang au bout de 7 heures.
2. Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la quantité de produit présent dans le sang aura diminué de 25%.
3. Le laboratoire indique que le médicament n’est plus efficace lorsque la quantité de produit présent
dans le sang est inférieure à 1 cm³. Déterminer graphiquement la durée d’efficacité de ce médicament.

Antilles.
Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un vaccin. Sa capacité de production, sur une semaine, lui permet de réaliser entre 0 et 18 litres de ce produit. On note B(x) le bénéfice hebdomadaire (en euros) réalisé par le laboratoire pour une production d’un volume x de vaccin exprimé en litres. On appelle B la fonction définie pour tout x de l’intervalle [0 ; 18] qui à x associe B(x). La courbe représentative de la fonction B est donnée.
Partie A : Lecture graphique
1. Déterminer à l’aide du graphique le(s) volume(s) hebdomadaire(s) nécessaire( s) pour que le bénéfice hebdomadaire soit égal à 400 euros.
2. Déterminer à l’aide du graphique pour quels volumes hebdomadaires produits, le laboratoire est bénéficiaire.

Partie B. Étude du bénéfice hebdomadaire
On admet que B est la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ; 18] par :
B(x) = −x³ +6x² +180x −184.
On notera B′ la fonction dérivée de la fonction B.
1. a. Déterminer pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 18], l’expression de B′(x).
B'(x) = -3x² +12x+180.
b. Vérifier que, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 18], B′(x) = (−3x +30)(x +6).
B'(x) = -3x² -18x +30x +180 = -3x² +12x +180.
c. Étudier le signe de B′(x) pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 18].
d. En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l’intervalle [0 ; 18].

2. Déterminer le volume hebdomadaire à produire pour obtenir un bénéfice maximal. 10 L.
Quel est le montant, en euros, du bénéfice hebdomadaire maximal ? 1216 €.

Métropole.
Pour traiter un patient, un médecin procède à l’injection intramusculaire d’une dose d’une substance médicamenteuse au temps t = 0 (t est exprimé en heures). Le produit actif se diffuse dans le sang puis est progressivement éliminé.
Le médicament est efficace lorsque la concentration du produit actif dans le sang est supérieur ou égale à 25 mg.L⁻¹ (25 milligrammes par litre).
La concentration maximale du produit actif dans le sang ne peut pas dépasser 40 mg.L⁻¹ pour éviter les effets secondaires.
Partie A : Étude graphique
La courbe donnée représente la concentration en mg.L⁻¹ du produit actif dans le sang du malade en fonction du temps écoulé depuis l’injection du médicament. À l’aide de cette courbe répondre, avec la précision que permet le graphique, aux questions suivantes en faisant apparaître les traits de constructions utiles.
1. Déterminer la concentration en mg.L⁻¹ du produit actif pout t = 5. 5 mg L^-1.
2. Le médecin a-t-il respecté la dose à ne pas dépasser ? Expliquer.
Oui, car le maximum de la courbe est inférieur à 40 mg / L.
3. Déterminer les temps en heures et minutes pour lesquelles la quantité de produit actif est de 15 mg.L⁻¹.
4. Quelle est la durée pendant laquelle le médicament est resté efficace ?
5. Au bout de quelle durée le médicament est-il complètement éliminé ? 6 heures.

Partie B : Étude numérique
On admet que la concentration, exprimée en mg.L⁻¹, du produit actif dans le sang dumalade est donnée en fonction du temps t , exprimé en heures, par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 6] par :
f (t )= t ³−12t ²+36t .
1. Reproduire et compléter le tableau de valeur numérique.

t
0
1
2
3
4
5
6

f(t)
0
25
32
27
16
5
0

2. a. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 6]. Calculer f ′(t ).
f '(t) = 3t² -24t+36.
b. Démontrer que, pour tout nombre réel t de l’intervalle [0 ; 6], on a : f ′(t ) = (t −6)(3t −6).
(t −6)(3t −6) =3t²-18t -6t+36 = 3t²-24t+36 = f '(t).
c. Résoudre l’équation f ′(t ) = 0 sur l’intervalle [0 ; 6].
t-6 = 0 soit t = 6 ; 3t-6 = 0 soit t = 2.
3. a. Étudier le signe de f ′(t ) sur l’intervalle [0 ; 6].
b. Construire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 6].Partie B
En France, à la fin de l’année 2005, on comptait 940 éoliennes. Depuis, chaque année,
500 éoliennes supplémentaires ont été installées. On note, pour tout entier naturel
n, un le nombre d’éoliennes présentes en France à la fin de l’année (2005+n).
On a donc u0 = 940.
1. Déterminer la nature de la suite (un). On précisera sa raison.
2. Exprimer un en fonction de n.
3. Combien d’éoliennes y aura-t-il en France à la fin de l’année 2013 ?
En déduire la concentration maximale du produit actif dans le sang du malade.

Polynésie septembre.
On étudie l’évolution, en fonction du temps, d’une population de levures présentes dans un milieu liquide.
Partie A.
Entre 0 et 300 minutes, on admet que le nombre N de levures de l’échantillon en fonction du temps t (en minutes) est donné par :
N(t )= 150×1,01^t .
1. Calculer le nombre de levures à l’instant initial.
N(t=0) = 150 x1,01⁰ = 150.
2. Donner, en le justifiant, le sens de variation de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 300] par f (t ) = 1,01^t .
Si a >1, la fonction a^test strictement croissante sur R. f (t ) = 1,01^t est strictement croissante sur [0 ; 300 ].
On admet que la fonction N a les mêmes variations sur l’intervalle [0 ; 300] que la fonction f .
3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. (Arrondir les résultats à l’unité)

t
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100

N(t)
150
166
183
202
223
247
273
301
333
367
406

4. Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la fonction N sur l’intervalle [0 ; 100].
5. Déterminer graphiquement au bout de combien de temps le nombre de levures est égal à 350.

6. Déterminer, par le calcul, au bout de combien de temps le nombre de levures devient supérieur à 1000. On arrondira le résultat à la minute.
1000 = 150 x1,01^t ; 1000 / 150 = 1,01^t ; log(1000 / 150) = t log (1,01 ) ; t = log(1000 / 150) / log (1,01 ) ~191 min.
Partie B.
Au bout de 300 minutes le nombre de levures est stationnaire pendant 30 minutes, puis il peut être modélisé par la fonction g définie sur l’intervalle [330 ; 480] par
g (t )= 0,0056t² −6,1517t +4389, t étant exprimé en minutes.
1. Calculer g ′(t ), où g ′ désigne la fonction dérivée de la fonction g .
g'(t) = 2 x0,0056t -6,1517 = 0,0112t -6,1517.
2. Étudier le signe de g ′(t ) et en déduire le tableau de variation de la fonction g.
g'(t)=0 si t = 6,1517 / 0,0112 ~549.
g'(t) < 0 si t <549 ; g'(t) >0 si t >549.

3. Comment évolue le nombre de levures sur l’intervalle [330 ; 480] ?
Le nombre de levures est strictement décroissant sur [330 ; 480].
Quel est le nombre de levures au bout de 8 heures ? On arrondira le résultat à l’unité.
8 h = 8 x60 = 480 min ; N = 2726.

Métropole septembre.
Partie A.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [−5 ; 10] dont la représentation graphique C est donnée dans le repère orthonormal ci-dessous. La droite (D) est
tangente à la courbe au point A d’abscisse 5.

1. L’ensemble des solutions de l’inéquation f (x)>0 est :
a. [0 ; 10] ; b. [−5 ; −3] union [−1 ; 10], vrai ; c. [−2 ; 3] union [8 ; 10].
2. L’ensemble des solutions de l’équation f (x) = 0 est :
a. {2} ; b. {−3 ; −1}, vrai ; c. {−2 ; 3 ; 8}.
3. Le nombre dérivé de la fonction f en x = 5 est égal à :
a. 5 ; b. −3 / 2 , vrai ; c. −2.
La tangente en A a un coefficient directeur négatif.
Partie B.
On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +1[ par g (x) = 2500*0,7^x .
1. L’image, arrondie à l’unité, de 5 par la fonction g est égale à :
a. 420 ; b. 8 750 ; c. 7 500.
2500 x0,7⁵ ~ 420.
2. Les solutions de l’inéquation g (x)< 100 sont les nombres réels x tels que :
a. x >log(0,04) / log(0,7), vrai ; b. x < log(0,04) / log(0,7) ; c. x < log(0,7) /log(0,04).
2500*0,7^x < 100 ; 0,7^x <100 /2500 ; 0,7^x <0,04 ; x log (0,7) <log (0,04).
log (0,7) et log (0,04) sont négatifs.
x > log (0,04) / log (0,7).

Antilles septembre.
En médecine, le taux d’hématocrite est le rapport du volume des globules rouges circulant dans le sang sur le volume total de sang. Chez l’homme, la valeur est normale
si ce taux est compris entre 0,4 et 0,52.
1. Un patient arrive en urgence à l’hôpital et on mesure son taux d’hématocrite qui vaut 0,36.
Pour augmenter ce taux, on lui injecte un médicament. On contrôle régulièrement son taux d’hématocrite pendant les huit premières heures. On définit
sur l’intervalle [0 ; 8] la fonction f , qui à t , la durée écoulée en heures depuis la prise du médicament, associe le taux d’hématocrite du patient. La fonction
f est représentée.

En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :
a. Quelle durée se sera écoulée depuis la prise du médicament pour avoir un taux d’hématocrite maximal ? Quel est alors ce taux ?
Au bout de 4 heures le taux est maximum et vaut 0,44.
b. Pour quelles valeurs de t dans l’intervalle [0 ; 8], le taux d’hématocrite du patient est-il normal ? [1 ; 6,5 ].
2. Huit heures après l’injection du médicament, constatant que le taux d’hématocrite est à nouveau anormal, on injecte un autre médicament. Le taux
d’hématocrite est alors donné par g (t ) où g est la fonction définie sur l’intervalle [8 ; 20] par g (t )= −0,003t ² +0,09t −0,17, t représentant la durée écoulée depuis l’injection du premier médicament.
a. Déterminer g ′(t ), où g ′ est la fonction dérivée de la fonction g.
g'(t) = -2 x0,003 t +0,09 = -0,006 t +0,09.
b. Étudier le signe de g ′(t ) sur [8 ; 20] et dresser le tableau de variation de la fonction g sur [8 ; 20].
g'(t) = 0 pour t = 0,009 / 0,006 = 15.
g'(t) est négative pour t compris entre ]15 ; 20 ] et positive pour t compris entre [8 ; 15[.

c. Compléter le tableau des valeurs g (t ) . (on arrondira les valeurs à 10⁻² près.)

t
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

g(t)
0,36
0,40
0,43
0,46
0,48
0,49
0,50
0,51
0,50
0,49
0,48
0,46
0,43

d. Représenter graphiquement la fonction g.
e. Combien de temps après la prise de ce second médicament le taux d’hématocrite du patient est-il redevenu normal ? 1 heure.

Nlle calédonie.
Partie A.
Un laborantin souhaite tester l’efficacité d’un médicament M.
À l’instant t = 0, il injecte à un malade une dose de 2 mL de ce médicament et il étudie la quantité de médicament présent dans le sang au bout de t heures. Il s’aperçoit
alors que cette quantité diminue de 12% par heure.
Pour tout entier naturel n, on note u_n la quantité, en mL, de médicament présent dans le sang au bout de n heures.
On a alors u₀ = 2.
1. Calculer u₁ et u₂.
u₁ = u₀ x(1-0,12) = u₀ x0,88 =2*0,88 = 1,76 ; u₂ = 0,88 xu₁ = 0,88² xu₀ = 0,88² x2~1,55.
2. Exprimer, pour tout entier naturel n, u_n+1 en fonction de u_n. u_n+1 = 0,88 u_n.
3. En déduire la nature de la suite (u_n).
On passe d'un terme au suivant en le multipliant par 0,88. Il s'agit d'une suite géométrique de raison q = 0,88.
4. Exprimer u_n en fonction de n. u_n = 2 x0,88ⁿ.
5. Calculer la quantité demédicament présent dans le sang au bout de 10 heures. On arrondira le résultat au centième.
u₁₀ = 2 x0,88¹⁰ ~0,56.
Partie B.
On note, dans cette partie, f (t ) la quantité de médicament présent dans le sang au bout de t heures, t appartenant à l’intervalle [0 ; 24]. La courbe C représentative de
la fonction f est donnée.

1. Déterminer graphiquement une valeur approchée de la quantité de médicament présent dans le sang au bout de 15 heures. 0,29 mL.
2. Résoudre graphiquement l’inéquation f (t ) < 0,2. Interpréter. [ 18 ; 24 h ].
Au bout de 18 h, la quantité résiduelle de médicament est inférieure à 0,2 mL.
3. On admet que pour tout t appartenant à l’intervalle [0 ; 24], f (t ) = 2×(0,88)^t . Vérifier par le calcul les résultats des questions 1. et 2.
f(15) = 2 x0,88¹⁵ ~ 0,29 mL.
2×(0,88)^t <0,2 ; 0,88^t < 0,2 / 2 ; 0,88^t <0,1 ; t log (0,88) < log (0,1) ;
log (0,1) et log (0,88) sont négatifs ; t > log (0,1) / log (0,88) ; t > 18.

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