Mathématiques, QCM, pourcentages, suites numériques
Bac St2S 2013.




Polynésie. 
Une élève de première ST2S, a choisi comme thème, pour son dossier d’activités interdisciplinaires, le saturnisme chez les enfants en France. Le saturnisme est une maladie qui correspond à une intoxication aiguë ou chronique par le plomb.
Suite à ses recherches, elle a trouvé des statistiques indiquant le nombre d’enfants de 0 à 6 ans ayant un taux de plomb dans le sang anormalement élevé sur la période 2005 – 2009 en France. Ce nombre est appelé nombre de plombémies.
Le tableau suivant est extrait d’une feuille de tableur que l’élève a produite. La colonne C est au format Pourcentage.

A
B
C
1
Anné du prélévement sanguin
Nombre de plombémie
Taux d'évolution entre 2 années consécutives
2
2005
9029

3
2006
7871

4
2007
7470

5
2008
7393

6
2009
6559

Source : Système national de surveillance des plombémies de l’enfant
Partie A
1.
Quelle formule doit-on rentrer dans la cellule C3 qui, recopiée vers le bas, donne le taux d’évolution
du nombre de plombémies entre deux années consécutives ?
=(B2-B3)/B2
2. Calculer le taux d’évolution entre l’année 2008 et l’année 2009.
On donnera le résultat en pourcentage arrondi à 0,1% près.
(7393-6559) / 7393 x100 ~11,3 %.
3. Calculer le nombre total S de plombémies dénombrées entre 2005 à 2009, les années 2005 et 2009 étant incluses.
9029 +7871 +7470 +7393 +6559=38 322.
Partie B.
L’élève souhaite estimer le nombre de plombémies pour l’année 2010. Pour cela, elle considère que le nombre de plombémies baisse de 11% par année à partir de 2005.
Elle modélise alors cette évolution par une suite géométrique de terme général un où n désigne un entier naturel et un représente le nombre de plombémies de l’année (2005 + n).
On a alors u0 = 9029.
1. a. Montrer que la raison de cette suite est égale à 0,89.
Chaque année la plombémie baisse de 11%, d'où la raison de la suite géométrique ou coefficient multiplicateur :   1-0,11 = 0,89.
b. Calculer u1. On arrondira à l’unité.
0,89 xu0 = 0,89 x9029 = 8 036.
2. a. Exprimer un en fonction de n.
un = 0,89n u0=0,89n x9029.
b. Calculer alors le nombre de plombémies que l’élève peut estimer pour l’année 2010. On arrondira le résultat à l’unité.
n = 5 ; u5 = 9029 x0,895 ~5042.
3. On rappelle le résultat suivant :
Si (un) est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q avec q différent de 1, alors :
u0 +u1 +u2 +· · ·+un = u0 ×(1−qn+1) / (1−q).
a. Calculer, pour les années 2005 à 2009 incluses, le nombre total T de plombémies que l’élève
peut obtenir avec sa modélisation. On arrondira le résultat à l’unité.
T = 9029x(1-0,895)/(1-0,89)=36 247.
b. L’élève considère que sa modélisation est acceptable si l’écart entre T et S n’excède pas 7%
de S. (On rappelle que S est défini dans la question 3 de la partie A).
Sa modélisation est-elle acceptable ? Justifier.
(T-S) / S x100 = (36247-38322) /38322 x100 = -5,4 %, valeur inférieure à 7%. La modèlisation est correcte.




Antilles
Partie A
.
Dans cette partie, les résultats seront exprimés en pourcentage et arrondis à 0,1% près.
1. En France, les 4 premiers groupes iso-ressources (GIR 1 à 4) de la grille nationale AGGIR ouvrent droit à l’allocation personnalisée d’autonomie (APA).
Fin 2010, 1 200 milliers de personnes âgées dépendantes ont bénéficié de l’APA dont 734 milliers ont directement perçu l’APA à domicile.
Voici le tableau donnant, en milliers de personnes, le nombre de bénéficiaires de l’APA selon le degré de dépendance de la personne :

à domicile
en établissements
Total
GIR1
19
86
105
GIR2
131
191
322
GIR3
159
79
238
GIR4
425
110
535
Ensemble
734
466
1200
Source : Drees, enquête trimestrielle auprès des conseils généraux
a. Quelle est, en pourcentage, la proportion des bénéficiaires de l’APA qui ont perçu cette allocation directement à domicile ? Arrondir le résultat à 0,1% près.
734 / 1200 x100 ~ 61,2 %.
b. Parmi les personnes bénéficiant de l’APA en établissement, quelle est, en pourcentage, la proportion de celles relevant du GIR2 ? On arrondira le résultat à 0,1% près.
191 / 466 x100 ~41 %.
2. En 2009, 718 milliers de personnes ont bénéficié de l’APA à domicile. Calculer le taux d’évolution du nombre de bénéficiaires de l’APA à domicile entre 2009 et 2010. On exprimera ce taux en pourcentage, arrondi à 0,1% près.
(734-718) / 734 x100 ~2,2 %.
Partie B.
On note u0 le nombre de milliers de personnes bénéficiant de l’APA à domicile à la fin de l’année 2010, et un le nombre de milliers de personnes bénéficiant de l’APA à domicile à la fin de l’année (2010+n). Ainsi, u0 = 734. On admet que le nombre de bénéficiaires de l’APA à domicile augmente de 2,2% chaque année à partir de 2010.
On utilise un tableur pour calculer des termes de la suite (un) :


A
B
C
D
1
Année
n
un

2
2010
0
734

3
2011
1


4
2012
2


5
2013
3


1. Calculer u1. Donner une valeur approchée à l’unité près.
734 x(1,022)=750.
2. Quelle est la nature de la suite (un) ? Préciser sa raison.
On passe d'un terme au suivant, en multipliant ce terme par 1,022 : il s'agit d'une suite géométrique de raison q = 1,022.
3. Quatre formules à saisir dans la cellule C3, puis à recopier vers le bas pour afficher les valeurs de un, sont proposées :
= 734⋆1,022  ; =C2⋆1,022 ; C$2⋆1,022 ; =$C$2⋆1,022.
Une seule est exacte. Indiquer cette formule sur votre copie.
4. Exprimer un en fonction de n, pour tout entier naturel n.
un =734 x 1,022n.
5. Quel nombre de personnes bénéficiant de l’APA à domicile peut-on prévoir pour la fin de l’année 2020 ? Donner la réponse au millier de personnes près.
n = 10 ; u10 =734 x1,02210~912.
6. Si la progression reste la même, à partir de la fin de quelle année le nombre de personnes bénéficiant de l’APA à domicile dépassera-t-il un million ?

734 x1,022n = 1000 ;
1,022n =1000 / 734 ;
 n log (1,022)= log (1000 / 734) ; n =[
log (1000 / 734) ] /log (1,022) = 14,2. ( fin 2024).










Métropole.
L’évolution de l’endettement d’une entreprise est donnée par le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul.

A
B
C
D
E
F
G
1
Année
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2
Endettement ( miliers € ) 400
410




3
Pourcentage d'évolution entre deux années consécutives






1. Le pourcentage d’augmentation de l’endettement de l’entreprise entre les années 2011 et 2012 est :
a. 0,25%  ; b. 2,5% ; c. 10,25% ; d. 0,025%.
(410-400) / 400 x100 = 2,5 %.
À partir de l’année 2012, on admet que l’endettement de l’entreprise diminuera chaque année de 5%.
2. La formule à saisir dans la cellule D2, qui recopiée vers la droite, permettra d’afficher les valeurs en milliers d’euros de l’endettement de l’entreprise pendant les années qui suivent 2012 est :
a. =410*0,95 ; b. =C2*0,05 ; c. =C2*0,95 ; d. =$C$2*0,95.
=C2*0,95.
3. On désigne par n un entier naturel. On note un l’endettement de l’année 2012 + n, ainsi u0 = 410. L’endettement de l’entreprise en milliers d’euros
pendant l’année 2020 est :
u8 = 410×0,958 ;  b. u8 = 410×0,959 ; c. u9 = 410×0,958 ;  d. u9 = 410×0,959.
4. On cherche à partir de quelle année l’endettement de l’entreprise aura diminué de moitié.
Pour cela l’inéquation à résoudre s’écrit 410×0,95n < 205, où n désigne un entier naturel. Les solutions de cette inéquation sont les entiers
n tels que :
0,95n < 205 /410 ; 0,95n < 0,5 ; n log (0,95) < log (0,5) ;
log (0,95) et log (0,5) sont négatifs ;  n > log (0,5) / log (0,95).
5. Dans le tableau les cellules C3 à G3 sont en pourcentages. La formule à saisir dans la cellule C3, qui recopiée vers la droite, permet d’afficher le pourcentage d’évolution de l’endettement de l’entreprise entre deux années consécutives est :
a. =($C2-$B2)/$B2 ; b. =C2-B2/B2 ; c. =C2/B2 ; d. =(C2-B2)/B2.


Polynésie septembre.
Partie A.
Le tableau suivant est une feuille de tableur qui donne par région la puissance produite (en MW) par des éoliennes dans 15 régions de France entre le 1er janvier et le 1er octobre 2010. On souhaite renseigner la colonne C et indiquer la part de la puissance produite dans chaque région par rapport à la puissance totale durant la période observée. Les cellules de la colonne C sont au format pourcentage.

A
B
C
1
Région
Puissance (MW)
Part de puissance (%)
2
Champagne
256

3
Centre
82

4
Pays de Loire
60

5
Hte Normandie 51,2

6
Midi Pyrénées
44

7
Picardie
39,1

8
Bretagne
36,8

9
Auvergne
16

10
Basse Normandie
16

11
Bourgogne
12

12
Lorraine
12

13
Poitou
8

14
Rhône Alpes
4,6

15
Languedoc
3,7

16
Guadeloupe
1,38

17
Total
642,78

Source : Syndicat des énergies renouvelables - France Énergie Éolienne
1. Quelle est la part en pourcentage de la puissance produite en région Basse Normandie par rapport à la puissance totale produite ? On donnera le résultat
arrondi au centième.
16 / 642,78 x100 = 2,49 %.
2. Quelle formule faudrait-il entrer dans la cellule C2 pour obtenir par recopie vers le bas, les parts en pourcentage de la puissance produite par chaque
région par rapport à la puissance totale ?
=B2 /$B$17.
Partie B.
En France, à la fin de l’année 2005, on comptait 940 éoliennes. Depuis, chaque année, 500 éoliennes supplémentaires ont été installées. On note, pour tout entier naturel
n, un le nombre d’éoliennes présentes en France à la fin de l’année (2005+n).
On a donc u0 = 940.
1. Déterminer la nature de la suite (un). On précisera sa raison.
(940 +500) / 940 = 1,532.
Chaque année, le nombre total d'éoliennes est égal au nombre d'éoliennes en service l'année précédente augmenté de 500.
un est une suite arithmétique de  raison r = 500.
2. Exprimer un en fonction de n.
un = u0 + 500 xn = 940 +1500 xn
3. Combien d’éoliennes y aura-t-il en France à la fin de l’année 2013 ?
n = 8 ; u8 = 940 +500 x8 =4940.

Métropole septembre.
Partie A.
Le service de l’eau d’une ville a été privatisé en 1990, puis géré par la commune à partir de 1996. Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne l’évolution du prix de
l’eau de cette ville, en euros pour 120 m3, entre les années 1990 et 1996.

A
B
C
D
E
F
G
H
1
Année
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
2
Prix de 120 m3 d'eau
185
177
189
208
216
222
228
3
Taux d'évolution entre deux années consécutives ( %)







1. Calculer le taux d’évolution du prix de 120 m3 d’eau entre 1990 et 1991. On donnera le résultat sous forme de pourcentage arrondi à 0,1%.
(177-185) / 185 x 100 ~ - 4,3 %.
2. Quelle formule doit-on rentrer dans la cellule D3, qui recopiée vers la droite, donne le pourcentage d’évolution du prix de 120 m3 d’eau entre deux années consécutives ?
(On admet que les cellules C3 à H3 sont en pourcentage).
=(D2-C2)/C2.
On admet que, si le service de l’eau était resté privatisé, le prix de 120 m 3 aurait augmenté de 2,5% par an à partir de l’année 1996.
On note alors un le prix de 120 m3 d’eau pour l’année (1996+n) où n est un entier naturel. On a alors u0 = 228.
3. Justifier que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
Pour passer d'un terme au suivant on multiplie le terme par un coefficient multiplicateur égal à :1,025.  Un est une suite géométrique de raison q = 1,025.
4. Exprimer un en fonction de n.
un = u0 qn = 228 x 1,025n.
5. Quel aurait été le prix de 120 m3 d’eau en 2012 si le service était resté privatisé ? (Le résultat sera arrondi à l’unité).
n = 16 ; u16 = 228 x 1,02516 ~338 €.
6. À partir de quelle année, le prix de 120 m3 d’eau aurait-il dépassé 300 € ?
228 x 1,025n>300 ; 1,025n>300 /228 ; n log (1,025) > log(300 / 228) ; n > log(300/228) / log (1,025) ;  n >11,11.
Durant l'année 1996 +12 = 2008.
Partie B.
La ville gère le service de l’eau depuis 1996. Le tableau ci-dessous donne l’évolution du prix de 120 m3 d’eau depuis 1998.

Année
1998
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012
Rang de l'année xi
0
2
4
6
8
10
12
14
Prix de  120 m3 d'eau yi
191
202
198
202
204
208
215
220
1. Représenter le nuage de points de coordonnées ( xi ; yi ) dans un repère orthogonal.

2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. Placer le point moyen G dans le repère.
xG=(2+4+6+8+10+12+14) / 8 =7.
yG=(191 +202 +198 +202 +204 +208 +215 +220) / 8 = 205.
3. On admet que la droite (D) d’équation y = 1,8x+192,4 réalise un ajustement affine du nuage de points. Cet ajustement est fiable jusqu’en 2020.
a. Vérifier que le point moyen G appartient à la droite (D).
y = 1,8 x 7 +192,4 =205 = yG.
b. Tracer la droite (D) dans le repère précédent.
c. En tenant compte de cet ajustement affine, déterminer le prix de 120 m3 d’eau que l’on peut prévoir pour l’année 2020.
x = 22 ; y = 1,8 x22 +192,4 = 232 €.

Antilles septembre.
Le tableau suivant, extrait d’une feuille d’un tableur, donne le nombre d’équipements IRM (Imagerie par RésonanceMagnétique) à usage humain installés en France
métropolitaine depuis 2003.
:

A
B
C
D
E
F
G
H
I
1
Année
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2
Rang de l'année xi
1
2
3
4
5
6
7
8
3
Nombre  d'IRM, yi
230
281
352
393
419
463
495
543
4
Taux d'évolution par rapport à l'année précédente ( %)








Partie A :
1. Calculer le taux d’évolution du nombre d’équipements IRM en France de 2003 à 2004.
On exprimera ce taux en pourcentage, arrondi à 1% près.

(281 -230) / 230 x 100 = 22,17 ~22 %.
2. La ligne 4 est au format pourcentage.
Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C4 et recopier vers la droite pour compléter la ligne 4 ?
=(C3-B3)/B3.
Partie B :
1. a. Représenter le nuage de points de coordonnées (xi ; yi )

b. Calculer les coordonnées du point G, point moyen du nuage de points. Placer le point G sur le graphique précédent.
xG=(1+2+3+4+5+6+7+8) / 8 =4,5.
yG=(230 +281 +352 +393 +419 +463 +495 +543) / 8 = 397.
2. On admet que la droite (D) d’équation y = 43x +203,5 constitue une droite d’ajustement convenable du nuage.
a. Vérifier que le point G appartient à la droite (D).
y = 43 x4,5 +203,5 =397 = yG.
b. Tracer la droite (D) sur le graphique précédent en indiquant les points utilisés.
Le point G et le point  de coordonnées (10 ; 633,5 ).
c. À l’aide du graphique, estimer le nombre d’équipements IRM en France au 1er janvier 2014. 720.
d. Estimer, par le calcul et l’ajustement proposé, à partir de quelle année le nombre d’équipements IRMen France dépasserait, selon cet ajustement 750.
43x +203,5 >750 ; 43x > 750-203,5 : 43x >546,5 ; x > 546,5 / 43 ; x >12,7 (13), durant l'année 2015 ).

Nlle Calédonie.
Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de tableur, donne l’évolution, depuis 2004,
du nombre de pactes civils de solidarité (PACS) conclus en France jusqu’en 2010.
La ligne 4 est au format pourcentage.


A
B
C
D
E
F
G
H
1
Année
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2
Rang de l'année xi
1
2
3
4
5
6
7
3
Nombre  de milliers de PACS, yi
40,1
60,5
77,3
102
146
174,5
205,6
4
Taux d'évolution par rapport à l'année précédente ( %)







Champ : France (non compris Saint-Martin et Saint-Barthélemy). Sources : Institut national de la statistique et des études économiques.
Il n’est pas demandé de compléter le tableau.
1. Calculer le taux d’évolution en pourcentage, arrondi à 0,01%, du nombre de PACS entre les années 2004 et 2005.
(60,5-40,1) / 40,1 x100 =0,5087 ~0,51.
2. Quelle formule doit-on saisir en C4 pour vérifier ce résultat et pour obtenir les autres taux d’évolution en faisant une copie vers la droite ?
=(C3-B3) /C3.
3. Représenter le nuage de points de coordonnées (xi ; yi ), dans un repère orthogonal.

b. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et placer ce point dans le repère précédent. On arrondira chaque coordonnée au centième.
xG =(1+2+3+4+5+6+7)/7=4 ; yG =(40,1 +60,5 +77,3 +102 +146 +174,5 +205,6) / 7 =115,14.
4. a. On suppose que la droite (D) d’équation y = 28,3x +1,8 réalise jusqu’en 2015 un ajustement affine du nuage de points. Tracer la droite (D).
b. Déterminer graphiquement une estimation du nombre de PACS en 2012. 256.
c. Déterminer, par le calcul, l’année au cours de laquelle, le nombre de PACS devrait dépasser 300 000.
28,3x +1,8 > 300  ; 28,3 x >300-1,8 ; 28,3 x >298,2 ; x > 298,2 / 28,3 ; x >10,5. Au cours de l'année 2014 ).



  

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