Mathématiques, probabilités
Bac St2S 2013.




Polynésie. 
Un test contre une maladie animale a été élaboré par une entreprise pharmaceutique. Pour connaître sa fiabilité, une population comportant des animaux malades et des animaux sains est testée.
On sait que la proportion d’animaux malades dans la population testée est de 75%;
parmi les animaux malades, 95% ont un test positif ;
parmi les animaux sains, 89% ont un test négatif.
On choisit au hasard un animal de la population testée. On note :
M l’événement : « l’animal est malade » ;
P l’événement : « le test est positif » ;

1. La probabilité que l’animal choisi soit sain est égale à :
a. 0,25, vrai ;  b. 0,11 ; c. 0,037 5 ;  d. 0,712 5.
2. La probabilité que, parmi les animaux sains, le test soit positif est égale à :
a. 0,0275 ; b. 0,11, vrai ; c. 0,2225 ;  d. 0,05.
3. La probabilité de l’évènement "letest est négatif " sachant M est égale à :
a. 0,75 ; b. 0,05, vrai ; c. 0,0375 ;  d. 0,94
4. La probabilité de l’évènement P ∩M est égale à :
a. 0,95 ; b. 0,75 ;  c. 0,7125, vrai ; d. 0,1045.
5. La probabilité de l’évènement P est égale à :
a. 0,75 ; b. 0,95 ; c. 1,06 ; d. 0,74, vrai.





Antilles
Le tableau ci-dessous donne le nombre d’abonnements au service de téléphonie mobile en France entre fin 2001 et fin 2009, exprimé en millions. Source : Eurostat
Année
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Rang xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Nombre d'abonnements yi
37
38,6
41,7
44,5
48,1
51,7
55,3
58
61,5
On définit ainsi une série statistique (xi ; yi ) pour i allant de 1 à 9.
1. a. Représenter le nuage de points de coordonnées
(xi ; yi )

b. Expliquer pourquoi un ajustement affine de ce nuage est envisageable.
Les points semblent alignés.
c. Calculer les coordonnées, à 0,1 près, du point moyen G du nuage puis placer G sur le graphique précédent.
xG=(1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9) / 9 =5.
yG=(37 +38,6 +41,7 +44,5 +48,1 +51,7 ++55,3 +58 +61,5) / 9 = 48,5.
Dans la suite de l’exercice, deux méthodes différentes de modélisation seront utilisées.
2. Méthode graphique
a. Sans effectuer de calcul, tracer une droite passant par le point G qui réalise un ajustement affine du nuage de points.
b. Estimer, au million d’abonnements près, à l’aide du graphique, le nombre d’abonnements au service de téléphonie mobile en France fin 2012.
    Méthode algébrique
On admet dans cette partie que la droite d’équation : y = 3,2x +32,5 réalise un bon ajustement de ce nuage.
a. Vérifier, par le calcul, que cette droite passe par le point G.
y = 3,2 x5 +32,5 = 48,5 = yG.
b. Estimer, à 0,1million d’abonnements près, par le calcul, le nombre d’abonnements au service de téléphonie mobile en France fin 2012.
y = 3,2 x12 +32,5 = 70,9.
c. Les dernières données disponibles indiquent qu’il y a 70,4 millions d’abonnements au service de téléphonie mobile en France en juin 2012. L’estimation obtenue à la question b. vous parait-elle surestimer ou sous estimer la réalité ?

L'estimation obtenue à la question b surestime d'environ 0,5 million le nombre d'abonnements réels.










Métropole
Fin 2010, 1 200 000 personnes âgées dépendantes ont bénéficié de l’Allocation Personnalisée d’Autonomie (APA), soit à domicile, soit en établissement. Ces personnes sont classées dans quatre Groupes Iso-Ressources (GIR) en fonction des différents stades de pertes d’autonomie.
Les résultats, exprimés en milliers de personnes, d’une enquête réalisée en 2010 auprès des conseils généraux ont permis de construire le tableau


à domicile
en établissements
Total
GIR1
19
86
105
GIR2
131
191
322
GIR3
159
79
238
GIR4
425
110
535
Ensemble
734
466
1200
Source : Drees, enquête trimestrielle auprès des conseils généraux

1. Justifier, par un calcul approprié, chacune des informations suivantes dans lesquelles les résultats ont été arrondis à l’unité.
a. Le pourcentage des personnes de l’étude qui vivent à domicile est égal à 61%.
734 / 1200 x100 = 61 %.
b. 3% des personnes de l’étude vivant à domicile sont classées en GIR1.
19 / 734 x100 =2,6 % ~3%.
Pour chacune des questions suivantes, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondie au centième.
2. On choisit au hasard le dossier d’une personne agée dépendante bénéficiant de l’APA.
On considère les évènements suivants :
G : « Le dossier est celui d’une personne classée en GIR1 ».
E : « Le dossier est celui d’une personne vivant en établissement ».
a. Calculer la probabilité des évènements G et E.
P(G) = 105 / 1200 =0,0875 ~ 0,09.
P(E) = 466 / 1200 =0,3883 ~0,39.
b. Définir par une phrase chacun des évènements suivants G ∩E et G ∪E puis calculer leur probabilité.
G ∩E : la personne est classée en GIR1 et vit en établissement.
P(G ∩E) = 86 / 1200 =0,0717 ~0,07.
G ∪E : a personne est classée en GIR1 ou vit en établissement.
P(G ∪E)=P(G) + P(E) -P(G ∩E) =0,0875 +0,3883 -0,0717 = 0,4041 ~0,41.
c. Sachant que le dossier choisi est celui d’une personne classée en GIR4, calculer la probabilité que cette personne vive à domicile.
425 / 535 =0,794 ~0,79.
d. Calculer PE (G).
P(G ∩E) / (P(E) =0,0717 / 0,3883 =0,1846 ~0,18.


Polynésie septembre.
En cas de menace d’accouchement prématuré, on peut effectuer sur les femmes enceintes de 24 à 34 semaines d’aménorrhée un test de détection de la fibronectine foetale. Ce test permet d’évaluer les risques d’un accouchement dans les 14 jours et d’adapter la prise en charge de la patiente.
Si le test est négatif, on peut envisager le retour à domicile de la patiente et s’il est positif, l’orienter vers une maternité adaptée à son état.
Dans une maternité, 23% des patientes testées ont eu un test positif. Parmi celles-ci, 33%ont accouché dans les 14 jours après le test. Parmi les patientes ayant eu un test
négatif, 98% n’ont pas accouché au cours des 14 jours suivant le test.
On choisit au hasard une patiente, parmi les patientes testées dans cette maternité. On note :
T , l’évènement « le test de la patiente est positif » ;
A, l’évènement « la patiente a accouché dans les 14 jours qui suivent le test ».

Dans les questions 1 à 5, les probabilités seront données sous forme décimale exacte.
1. Donner les probabilités suivantes :
p(T ), probabilité de l’évènement T. 0,23.
PT (A), probabilité de l’évènement A sachant T. 0,33.
2. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :

3. Calculer la probabilité que la patiente ait un test négatif et accouche dans les 14 jours qui suivent le test. 0,0154.
4. a. Calculer la probabilité de l’évènement T ∩ A. 0,0759.
b. En déduire la probabilité de l’évènement A.
0,0759 + 0,0154 = 0,0913.
c. La patiente choisie a accouché dans les 14 jours qui suivent le test. Quelle est la probabilité que son test ait été positif ? On arrondira le résultat au centième.
P(T ∩ A) / P(A) =0,0759 / 0,0913 = 0,83.


Métropole septembre.
Une enquête a été menée auprès de 1 700 habitants de diverses régions françaises consommant de l’eau du robinet ou de l’eau en bouteille. Les résultats de l’enquête
sont répartis par région dans le tableau ci-dessous :

Nombre de personnes
consommant de l'eau du robinet
Nombre de personnes
consommant de l'eau en bouteille
Total
Nombre de personnes
 habitant en région pariisienne
557
274
831
Nombre de personnes
 habitant en région Nord
224
243
467
Nombre de personnes
 habitant en région Sud ouest
309
93
402
Total
1090
610
1700
On considère les évènements suivants :
N : « La personne interrogée habite dans la région nord. »
R : « La personne interrogée consomme de l’eau du robinet. »
Pour chacune des questions suivantes, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondie au centième.
1. On choisit au hasard une personne parmi toutes les personnes interrogées.
a. Calculer la probabilité de l’évènement R.
1090 / 1700 =0,6412 ~ 0,64.
b. Calculer la probabilité. de l'événement " la personne interrogée ne consomme pas d'eau du robinet".
1-0,6412 ~0,36.
c. Définir par une phrase l’évènement N
R puis calculer sa probabilité.
La personne interrogée habite dans le Nord et consomme de l'eau du robinet. Sa probabilité est : 224 / 1700 = 0,1318 ~0,13.
d. Définir par une phrase l’évènement N
R puis calculer sa probabilité.
La personne interrogée habite dans le Nord ou consomme de l'eau du robinet.
P(
N R) = P(R) + P(N) -P(N R)=0,6412 +467 / 1700 -0,1318 = 0,7841 ~0,78.
2. On veut comparer le type de consommation d’eau suivant les régions :
a. Déterminer la probabilité qu’une personne interrogée consomme l’eau du robinet sachant qu’elle habite la région nord.
PN(R) =
P(N R) / P(N) =224 / 467 = 0,48.
b. Dans quelle région faudrait-il se placer pour que la probabilité qu’une personne interrogée consomme l’eau du robinet soit la plus élevée ?

En région parisienne 557 / 831 = 0,67 ; En région Sud ouest : 309 / 402 ~0,77.

Antilles septembre.
On donne les informations suivantes sur les infirmiers (hommes ou femmes) exerçant en France, au 1er janvier 2010 :
• 516 000 infirmiers (hommes ou femmes) exercent en France.
• Ils sont répartis en trois catégories : les « infirmiers libéraux » (hommes ou femmes), les « salariés hospitaliers » (hommes ou femmes) et les « autres salariés ».
• 70% des infirmiers (hommes ou femmes) sont des « salariés hospitaliers ».
• 77 200 sont « infirmiers libéraux » (hommes ou femmes) parmi eux, 80% sont des femmes.
• 450 000 infirmiers sont des femmes ; parmi elles, 15% sont dans la catégorie « autres salariés ».
1. Compléter le tableau.

Hommes
Femmes
Total
Infirmiers libéraux
77 200-61760=15 440
77200 x0,80=61 760
77 200
Salariers hospitaliers
361 200 -320 740 =40 460
450 000 -61 760-67 500 =320 740
516 000 x 0,70 =361 200
Autres salariès
77 600 -67 500 =10 100
450 000 x0,15 =67500
516 000-361 200-77200 =77 600
Total
516 000-450 000 =66 000
450 000
516 000
Dans les questions suivantes les résultats seront arrondis à 10−2 près.
2. On choisit au hasard une personne parmi les 516 000 infirmiers exerçant en France. On considère les évènements suivants :
A : « La personne est une femme »,
B : « La personne est "infirmier libéral" ».
a. Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B.
P(A) = 450 000 / 516 000 = 0,8721 ~0,87.
P(B) =77 200 / 516 000 = 0,1496 ~0,15.
b. Exprimer l’évènement A∩B à l’aide d’une phrase, puis calculer sa probabilité.
L'infirmier  libéral est une femme; sa probabilité est : 61 760 / 516 000 =0,1197 ~0,12.
c. Calculer la probabilité conditionnelle de l’évènement B sachant que l’évènement A est réalisé, notée
PA(B).
PA(B)=P(A∩B) / P(A) = 0,1197 / 0,8721 = 0,137 ~0,14 ( ou 61 760 / 450 000 ) ~0,14 ).

Nlle Calédonie.
Une association s’adresse à une agence de voyage pour organiser un séjour de vacances pour ses 210 adhérents.
On constate que, parmi ces adhérents :
30% ont moins de 40 ans ; un tiers souhaite séjourner en Amérique ;
40% souhaitent séjourner en Europe, et parmi eux, 75% ont plus de 40 ans ;
47 adhérents âgés de plus de 40 ans souhaitent séjourner en Afrique.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :

Nombre d'adhérents désirant
séjourner en Europe
Nombre d'adhérents désirant
séjourner en Afrique
Nombre d'adhérents désirant
séjourner en Amérique
Total
Nombre d'adhérents ayant plus de  40 ans
84 x0,75 =63
47
147-47-63 = 37
210-63=147
Nombre d'adhérents ayant moins de  40 ans 21
56-47=9
70-37=33
210 x0,30 = 63
Total
210 x0,4 =84
210-84-70=56
210 /3 = 70
210
Dans les questions suivantes, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis au centième.
On choisit au hasard un adhérent de l’association. On suppose que tous les adhérents ont lamême probabilité d’être choisis.
2. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
A : « l’adhérent souhaite séjourner en Afrique » ; P(A) = 56 / 210 = 0,2667 ~0,27.
B : « l’adhérent est âgé de plus de 40 ans ».P(B) = 147 / 210 =0,70.
3. Calculer la probabilité de chacun des évènements A
B et AB.
P(
AB) =47 / 210 =0,2238 ~0,22. P(AB) =P(A) +P(B) -P(AB) =0,2667 +0,70 -0,2238 =0,7429 ~0,74.
4. Calculer la probabilité que l’adhérent souhaite se rendre en Afrique sachant qu’il est âgé de plus de 40 ans.
PB(A) = 47 / 147 =0,32.



  

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