Mathématiques, probabilités
Bac St2S 2016.




Métropole 2016. 
L’embolie pulmonaire correspond à l’obstruction d’une artère pulmonaire par un caillot circulant dans le sang. Un test sanguin fondé sur le dosage de certaines molécules, les D-dimères, permet d’éclairer le diagnostic lorsqu’une embolie pulmonaire est suspectée. Pour étudier l’efficacité de ce test sanguin, on a réalisé une étude sur un groupe de 1 000 patients dont il ressort que :
• 364 patients ont un test sanguin négatif et, parmi eux, 4 sont néanmoins atteints d’une embolie
pulmonaire.
• 800 patients ne sont pas atteints d’une embolie pulmonaire.
1. Compléter le tableau suivant.

Patient atteint d'une embolie pulmonaire
Patient non  atteint d'une embolie pulmonaire Total
Test positif
196
440
636
Test négatif
4
360
364
Total
200
800
1000
2. On choisit le dossie médical d’un patient au hasard parmi les 1 000 patients ayant été testés.
Chaque dossier a lamême probabilité d’être choisi. On considère les évènements suivants :
T : « Le test sanguin du patient est positif » et T son évènement contraire ;
M : « Le patient est atteint d’une embolie pulmonaire » et M son évènement contraire.
a. Quelle est la probabilité que le test sanguin du patient soit positif ?
Nombre total de test positif / nombre total de patient =636 / 1000 = 0,636.
b. Calculer P(M) et PM(T ).
P(M) = 200 / 1000 = 0,20.
PM(T ) = 196 / 200 = 0,98.
c. Exprimer par une phrase l’évènement M ∩T puis montrer que sa probabilité est 0,196.
Les patients sont atteints d'une embolie pulmonaire et leurs tests sanguins sont positifs.
p(
M ∩T) = 196 / 1000 = 0,196.
3. On donne les définitions suivantes
Valeur prédictive positive : probabilité d’avoir une embolie pulmonaire sachant que le test
sanguin est positif.
Valeur prédictive négative : probabilité de ne pas avoir une embolie pulmonaire sachant que le test
 sanguin est négatif.
a. Calculer PT (M). On donnera une valeur approchée, arrondie au millième.
Interpréter le résultat obtenu en termes de valeur prédictive.
PT (M) =196 / 636 = 0,308.
Parmi 1000 patients ayant un test positif, 308 sont atteints d'embolie pulmonaire.
b. Montrer que la valeur prédictive négative de ce test sanguin est environ 0,989.
360 / 364 =0,989.
c. En examinant les deux résultats précédents, conclure quant à l’utilité de ce test sanguin pour
le diagnostic de l’embolie pulmonaire.
Ce test n'est pas utile : 30,8 % des patients ont un test positif alors qu'ils ne sont pas atteints d'embolie pulmonaire et 1,1 % des patients atteints on un test négatif.




Métropole septembre 2016.
La contraception d’urgence est une méthode contraceptive d’exception destinée à réduire les possibilités de grossesses non désirées.
Partie A.
Le tableau ci-dessous donne l’évolution des ventes de boîtes de contraception d’urgence.
Année
2003
2005
2007
2009
2011
Rang de l'année : xi
1
2
3
4
5
Nombre de boîtes ( millions) : yi
0,81
1,04
1,18
1,26
1,28
1. Sur le graphique, représenter le nuage de points de coordonnées (xi : yi ).

2. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage. Placer le point G sur le graphique.
xmoyen = (1 +2 +3 +4 +5 ) /5 = 3.
ymoyen = (0,81 +1,04 +1,18 +1,26 +1,28) / 5 = 1,114.
3. On admet que la droite (d) d’équation y = 0,116x+0,766 constitue un bon ajustement de la série étudiée.
a. Justifier par un calcul que le point G appartient à la droite (d).
b. Construire la droite (d) dans le repère.
y(3) = 0,116 *3 +0,766= 1,114. On trouve l'ordonnée de G. G appartient à cette droite.
4. On admet que l’ajustement réalisé par la droite (d) reste valable jusqu’en 2017.
Estimer, par la méthode de votre choix, le nombre de boîtes de contraception d’urgence vendues en France en 2017.
xi = 8, lecture graphe : yi = 1,69 millions.
Par le calcul : y = 0,116 *8 +0,766 = 1,694 millions.
Partie B.
Un laboratoire pharmaceutique français commercialise sous sa marque des boîtes de contraception d’urgence. Il organise chaque année un sondage pour déterminer la part de la population française connaissant sa marque. Les résultats obtenus ont été placés dans une feuille de calcul automatisée.


1. Les cellules de la ligne 4, de C4 à K4, sont au format pourcentage.
a. Donner une formule qui, saisie dans la cellule C4 et recopiée vers la droite, permet de compléter la ligne 4.
=(C$3 - B$3) /
B$3.
b. Calculer la valeur qui devrait alors s’afficher dans la cellule K4.
(49-41) / 41 *100 = 19,51 %.
2. Les responsables du laboratoire pharmaceutique observent que la part de la population française qui connaît sa marque progresse d’environ 20% par an. Ils décident de modéliser cette évolution par une suite géométrique (un).
On note un une estimation de la part (exprimée en %) de la population française qui connaît la marque du contraceptif d’urgence à l’année (2005+n). Ainsi le premier terme de la suite (un) est donné par u0 = 9.
a. Donner la raison de la suite géométrique (un) puis exprimer un en fonction de n.
u1 = (1+0,20) u0 = 1,20 u0 ;
u2 = 1,20 u1 = 1,202 u0  ; un = 1,20nu0 ; raison de la suite 1,20.
b. Calculer u10 puis donner une interprétation du résultat dans le contexte de l’exercice.
u10 = 9 x 1,2010 =55,73 %.
En 2015, 55,73 % de la population connaît la marque cette boîte.
c. Résoudre l’inéquation 9×1,2x >=75.
1,2 x >=75 / 9 ; x log 1,2 >= log ( 75 / 9) ; 0,07918 x >=0,9208 ; x >= 11,6.
d. Interpréter les solutions de la question précédente dans le contexte de l’exercice.
Fin 2017, 75 % de la population française connaît la marque de cette boîte.










Antilles Guyane 2016.
Les trois principaux services de soins d’un centre hospitalier sont : le service hématologie, le service diabétologie, le service urologie.
On s’intéresse aux prises de sang effectuées dans cet hôpital.
Après observation sur une assez longue période, on a constaté que :
• 50% des prises de sang sont effectuées dans le service hématologie ;
• 20% des prises de sang sont effectuées dans le service diabétologie ;
• Les autres le sont dans le service urologie.
Les seringues utilisées pour effectuer les prises de sang sont fournies soit par le laboratoire Clamex, soit par le laboratoire Spara :
• dans le service hématologie, 56% des prises de sang sont effectuées avec des seringues fournies par le laboratoire Clamex ;
• dans le service diabétologie, 80% des prises de sang sont effectuées avec des seringues fournies par le laboratoire Spara ;
• dans le service urologie, la moitié des prises de sang sont effectuées avec des seringues fournies par le laboratoire Clamex.
On choisit au hasard et de manière équiprobable un patient qui a subi une prise de sang dans l’un des trois services citées précédemment.
On considère les évènements suivants :
H : « La prise de sang a été effectuée dans le service hématologie » ;
D : « La prise de sang a été effectuée dans le service diabétologie » ;
U : « La prise de sang a été effectuée dans le service urologie » ;
C : « La seringue utilisée pour ce patient a été fournie par le laboratoire Clamex » ;
S : « La seringue utilisée pour ce patient a été fournie par le laboratoire Spara ».
1. Compléter l’arbre des probabilités.

2. Dans cette question, on s’intéresse à la seringue utilisée pour le patient choisi.
a. Déterminer la probabilité de l’évènement « le patient choisi a subi une prise de sang dans le service diabétologie avec une seringue fournie par le laboratoire Spara ».
p(S ∩D) =0,20 x 0,8 = 0,16.
b. Calculer la probabilité de l’évènement S.
p(S)=0,5 x 0,44 + 0,20 x 0,80 +0,30 x 0,50 =0,22 +0,16 +0,15 = 0,53.
c. Calculer la probabilité que la seringue utilisée provienne du service diabétologie sachant qu’elle a été fournie par le laboratoire Spara.
pS(D) =p(S ∩D) / P(S) =0,16 / 0,53 = 0,302.
d. Un personnel soignant affirme : « Il est plus probable que la seringue utilisée provienne du laboratoire Clamex que du laboratoire Spara. »
Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier la réponse.
Cette affirmation est fausse. 53 % des seringues proviennent du laboratoire Spara.


Polynésie 2016.
La caisse nationale de l’assurance maladie des travailleurs salariés (CNAMTS) a étudié une population de personnes ayant eu recours à un soin médical suite à un accident de la vie courante.
Selon cette enquête :
-  61% de ces accidents de la vie courante sont domestiques (survenus dans la maison ou son environnement immédiat) ;
- parmi les accidents domestiques, 9% nécessitent de la rééducation ;
-  parmi les accidents de la vie courante qui ne sont pas domestiques, 18% nécessitent de la rééducation.
On interroge au hasard une personne dans la population étudiée et on considère les évènements suivants.
 D : « la personne a eu un accident domestique » ;
R : « la personne a eu un accident nécessitant de la rééducation ».
On note D l’évènement contraire de D et R l’évènement contraire de R.
1. Déterminer la probabilité de l’évènement D, notée p(D).
p(D) = 0,61.
2. Donner la probabilité pD(R), probabilité de l’évènement R sachant D.
Probabilité de rééducation lors d'un accident non domestique 18 %.
3. Compléter l’arbre pondéré de probabilités fourni qui décrit la situation.

4. a. Montrer que la probabilité que la personne ait eu un accident domestique nécessitant de la rééducation est environ égale à 0,055, valeur arrondie au millième.
0,61 x 0,09 = 0,055.
b. Décrire par une phrase l’évènement D ∩R et calculer la probabilité de cet évènement. On arrondira le résultat aumillième.
0,39 x 0,18 = 0,0705 ~0,071 ( 7,1 %).
7,1 % des personnes ayant eu un accident non domestique nécessite de la rééducation.
c. Suite à cette enquête, la CNAMTS estime que 12,5% des accidents de la vie courante nécessitent de la rééducation. Justifier ce résultat.
0,09 x 0,61 + 0,18 x 0,39 = 0,0549 + 0,0702 = 0,125 ( 12,5 %).
5. Calculer la  probabilité de l’évènement contraire à D sachant R. On arrondira le résultat au centième. Interpréter ce résultat.

0,39 *0,18 / 0,125 = 0,56 ( ~56 %).
56 % des personnes ayant eu un accident non domestique nécessite de la rééducation.
 



  

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