Fonction, suite, probabilités, complexes, cube. Bac S Pondichéry 04 /17.

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Exercice1.
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.
La chocolaterie « Choc’o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85 %.
Partie A.
À l’issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc.
La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication :
· la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit
commercialisable est égale à 0,98.
· la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit
commercialisable est 0,95.
À la fin d’une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note :
A l’évènement : « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A » ;
C l’évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ».
On note x la probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.
1. Montrer que P(C) = 0,03x + 0,95 .

2. À l’issue de la production, on constate que 96 % des tablettes sont commercialisables et
on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu’une tablette soit commercialisable.
Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.
0,03x +0,95 = 0,96 ; x = 1/3 soit p(A) =1/3 et 1-x = 2/3 soit p(B) = 2 /3 = 2 p(A).

Partie B.
Une machine électronique mesure la teneur en cacao d’une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire Z suivant une loi exponentielle de paramètre l.
1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans.
Déterminer le paramètre  de la loi exponentielle.
l = 1 /5 = 0,2.
2. Calculer P(Z > 2) .
P(Z>2) = exp(-lt) = exp(-0,2x2) = 0,670.
3. Sachant que la machine de l’atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ?
La loi exponentielle est sans mémoire, sans vieillissement.

PZ>3(Z>(3+2)) = P(Z>2) = exp(-0,2x2) = 0,670.

Partie C.
On note X la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d’une
tablette de 100g de chocolat commercialisable. On admet que X suit la loi normale d’espérance µ= 85 et d’écart type s=2
1. Calculer P(83 <X <87) .
Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l’emballage ?
On pose Z =(87-µ) / s  =(87-85) / 2 = 1 ; Z suit la loi normale centrée réduite.
P(Z <1)= 0,8413 ;
P(-1 < Z < 1) = 1-2(1-08413)=0,6826 ~0,683.
La probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l’emballage est 1-0,683 =0,317.
2. Déterminer une valeur approchée au centième du réel a tel que :
P(85 - a< X < 85 + a) = 0,9 .
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
On pose Y =(85+a-µ) / s  =a / 2 = 1 ; Z suit la loi normale centrée réduite.
P(-½a < Y < ½a) = 0,9 ; 2P(Y <½a)-1 = 0,9 ;
P(Y <½a) =0,95.
La calculatrice ou les tables donnent ½a =1,645, soit a =3,29.
90% des tablettes cemmercialisées ont une teneur en cacao comprise entre 85-3,29 = 81,71 % et 85+3,29 = 88,39 %.
3. La chocolaterie vend un lot de 10 000 tablettes de chocolat à une enseigne de la grande
distribution. Elle affirme au responsable achat de l’enseigne que, dans ce lot, 90 % des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l’intervalle [81,7 ; 88,3].
Afin de vérifier si cette affirmation n’est pas mensongère, le responsable achat fait prélever 550 tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, 80 ne répondent pas au critère.
Au vu de l’échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l’affirmation de la chocolaterie ?
n = 1000 > 30 ; np = 10000x0,9 = 9000 >5 ; n(1-p) = 1000 x0,1 = 1000 >5.
Les critères sont réunis pour déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
1,96 ((p(1-p)/n)½ =0,00588.
Intervalle de fluctuation [0,9-0,00588 ; 0,9 +0,00588 ] soit [0,894 ; 0,9059 ].
La valeur (550-80) / 550 =  0,854 n'appartient pas à cet intervalle.
Au risque de 5%, l'affirmation de la chocolaterie est fausse.




Exercice 2.
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct.
1. On considère l’équation (E) : z2 - 6z + c = 0 où c est un réel strictement supérieur à 9.
a. Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.
Discriminant D = (-6)2-4c = 36-4c = 4(9-c).
Le discriminant étant négatif, (E) admet deux solutions complexes.
b. Justifier que les solutions de (E) sont zA = 3 +i(c-9)½ et
zB = 3 -i(c-9)½.
D ½=2i(c-9)½.
zA = (6 +2i(c-9)½ ) / 2 et zB = (6 2-i(c-9)½) /2.
2. On note A et B les points d’affixes respectives zA et zB.
Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.

OA =OB, le triangle OAB est isocèle en O.
3. Démontrer qu’il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et
déterminer cette valeur.
Ce triangle isocèle ne peut être rectangle qu'en O.










Exercice 3.
Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.
Après étude géologique, l’entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante :
dans un repère orthonormal, d’unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par l’axe des abscisses et la courbe C.

On admet que  est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [- 2,5 ; 2,5] par :
f (x) = ln(- 2x2 +13,5).
L’objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.
Partie A. Étude de la fonction f
1. Calculer f '(x) pour x appartenant à [-2,5 ; 2,5].
On pose u = -2x2+13,5 ; u' = -4x ; f '(x) = u' / u = -4x /(-2x2+13,5) .
Sur cet intervalle, le dénominateur est positif.
2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f sur [- 2,5 ; 2,5].
En déduire le signe de f sur [- 2,5 ; 2,5].

f est positive sur cet intervalle.

Partie B. Aire de la zone de creusement
On admet que la courbe  est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.
1. La courbe  est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.
Hauteur du tunnel : h =ln(13,5) ~2,6.
Largeur du tunnel à sa base : 2,5 x 2 = 5.
La courbe n'est pas un arc de cercle.
2. Justifier que l’aire, en mètre carré, de la zone de creusement est 


3. L’algorithme, donné en annexe , permet de calculer une valeur approchée par défaut de
l'intégrale I = A / 8, notée a.
On admet que :a < I < a +[f(0)-f(2,5)] x2,5 / n.
a. Le tableau fourni en annexe donne différentes valeurs obtenues pour R et S
lors de l’exécution de l’algorithme pour n = 50.
Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.

Variables
R et S sont des réels
n et k sont des entiers
Traitement
S prend la valeur 0
Demander la valeur de n
Pour k variant de 1 à n faire
R prend la valeur 2,5 /n x f(2,5 / n xk)
S prend la valeur S + R
Fin Pour
Afficher S.

Le tableau ci-dessous donne les valeurs de R et de S, arrondies à 10-6 , obtenues lors de
l’exécution de l’algorithme pour n = 50 .

Initialisation S=0 ; n = 50. Boucle pour :

Etape k
R
S
1
2,5 / 50  =0,05 ;
0,05 ln(-2*0,052+13,5)=0,130 116
0,130 116
2
0,130 060
0,260 176
3
0,129 968
0,390 144
4
0,129 837
0,129 837 +0,390 144
=0,519 981
49
0,020 106
5,197 538
50
0,05 ln(-2*(0,05x50)2+13,5)=0 5,197 538
Affichage S = 5,197 538

b. En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.
A =8 x5,197 538 =41,58030 ~42 m2.

Exercice 4.
On considère deux suites ( un) et (vn ).
· la suite (un ) définie par u0 =1 et pour tout entier naturel n : un+1=2un-n+3.
· la suite (vn ) définie, pour tout entier naturel n, par vn=2n.
Partie A : Conjectures
Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur.
Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?
Respectivement : =2*B2-A2+3 ; =2^A3.
2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :
10
3080
1024
11
6153
2048
12
12298
4096
13
24587
8192

Conjecturer les limites des suites (un) et (un / vn)
(un) tend vers l'infini quand n tend vers l'infini.
(un / vn) tend vers 3,00 quand n tend vers l'infini.
Partie B : Étude de la suite (un )
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a un = 3x 2n + n - 2.
Initialisation : u0 = 1 ; la propriété est vérifiée.
Hérédité :  on suppose que la propriété est vraie au rang p : up = 3x 2p + p - 2.
up+1=2up-p+3=3x2x 2p + 2p-4 - p+3=3x2p+1+p+1-2.
La propriété est vraie au rang p+1.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire. Donc la propriété est vrai pour tout n entier.
2. Déterminer la limite de la suite ( un) .
2n tend vers l'infini quand n tend vers l'infini. Il en est de même pour n.
Par somme de limites, la suite tend vers l'infini.
3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.
3x 2n + n - 2 > 106.
u18=3 x218 +18-2 =786 488 ; u19=3 x218 +18-2 =1 572 881.
A partir de n = 19, le terme de la suite est supérieur à 1million.

Partie C : Étude de la suite (un / vn).
1. Démontrer que la suite  (un / vn) est décroissante à partir du rang 3.
wn=un / vn ; wn+1- wn=  3 + (n-1) / 2n+1 - [3+( n - 2) /2n]= (n-1) / 2n+1 -2( n - 2) /2n+1=(-n+3) / 2n+1.
Si n est supérieur ou égal à 3, wn+1 < wn : la suite est décroissante.
2. On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4, on a : 0 < n / 2n <1 / n.
Déterminer la limite de la suite (un / vn).
(un / vn)= 3+(n-2) / 2n= 3+n / 2n -2 x(1/ 2)n.
Quand n tend vers l'infini : (1/ 2)n tend vers zéro ;
d'après le théorème des gendarmes n / 2n tend vers zéro.
Par somme des limites (un / vn) tend vers 3.




Exercice 5.
On considère un cube ABCDEFGH f
On note  le plan P d’équation x +0,5y+1/3 z-1 = 0.
Construire, sur la figure, la section du cube par le plan P.
La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.

Points du cube appartenant au plan P :
B(1 ; 0 ; 0) ; en effet 1 +0,5 x0 +1 /3 x0 -1 =0 est vérifié.
I(0,5 ; 1 ; 0) ; en effet 0,5+0,5 x1 +1 /3 x0 -1 = 1 est vérifié.
J( 2 /3 ; 0 ; 1) : en effet : 0,5 x2 /3 +0,5 x0 +1 /3 -1 = 0 est vérifié.
De plus les plans ( ABC) et (EFG) sont parallèles. L'intersection du plan (EFG) avec le plan ( BIJ) est  la droite parallèle à (BI) passant par J.
L, point d'intersection de la droite (BI) avec l'arête GH.



  

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