Mathématiques, probabilités, loi normale, loi binomiale, Bac S 2016

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Pondichéry. 
Partie A.
Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion à internet des jeunes en France âgés de 16 à 24 ans par une variable aléatoire T suivant une loi normale demoyenne µ = 13,9 et d’écart type s. La fonction densité de probabilité de T est représentée ci-dessous.
1. On sait que p(T >22) = 0,023. En exploitant cette information :
a. hachurer sur le graphique donné, deux domaines distincts dont l’aire est égale à 0,023.

L'un des domaine est limité par la courbe, l'axe des abscisses et la droite d'équation x = 22. L'autre est symétrique du premier par rapport à la droite d'équation x = 13,9.
b. déterminer P(5,8 <= T <= 22). Justifier le résultat. Montrer qu’une valeur approchée de s au dixième est 4,1.
1-P(T >22)-P(T<5,8) = 1-0,023-0,023 = 0,954.
le cours donne : P(13,9-2s <= T <= 13,9 +2s) = 0,954.
On identifie : 5,8 = 13,9 -2s  et 22 = 13,9 +2s. s = (13,9-5,8) / 2 = 4,05 ~4,1.
2. On choisit un jeune en France au hasard. Déterminer la probabilité qu’il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine. Arrondir au centième.
On cherche P(T > 18) soit 1-P( T<= 18) ;  la calculatrice ou les tables ( en utilisant la loi normale centrée réduite  (18-µ)/s =(18-13,9) / 4,1 =1 ) donne 0,16. 
Partie B.
Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.
La Hadopi souhaite connaître la proportion en France de jeunes âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet. Pour cela, elle envisage de réaliser un sondage.
Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondent pas tous de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole (P ) suivant :
On choisit aléatoirement un échantillon de jeunes âgés de 16 à 24 ans.
Pour chaque jeune de cet échantillon :
• le jeune lance un dé équilibré à 6 faces ; l’enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer ;
• l’enquêteur pose la question : « Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois par semaine ? » ;
 si le résultat du lancer est pair alors le jeune doit répondre à la question par «Oui » ou «Non » de façon sincère ;
 si le résultat du lancer est « 1 » alors le jeune doit répondre «Oui » ;
 si le résultat du lancer est « 3 ou 5 » alors le jeune doit répondre «Non ».
Grâce à ce protocole, l’enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.
On note p la proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet.
1. Calculs de probabilités
On choisit aléatoirement un jeune faisant parti du protocole (P ). On note : R l’évènement « le résultat du lancer est pair », O l’évènement « le jeune a répondu Oui ».
Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.  En déduire que la probabilité q de l’évènement « le jeune a répondu Oui » est : 0,5 p + 1/6.

2. Intervalle de confiance.
a. À la demande de l’Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole (P ). Sur un échantillon de taille 1 500, il dénombre 625 réponses «Oui ». Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, de la proportion q de jeunes qui répondent « Oui » à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans.
Fréquence f = 625 / 1500 = 5 / 12 ~0,4167
Inverse de lar acine carrée de n =  n-½ = 1500-½ =0,02582.
Intervalle de confiance [ f - n-½ ;f + n-½ ] soit : [0,391 ; 0,443 ].
b. Que peut-on en conclure sur la proportion p de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet ?
0,391 <= 0,5 p +1 / 6 <=0,443 ; 2,346 < =3p+1 < =2,658 ; 1,346 < 3p <= 1,658 ; 0,448 <= p <= 0,553.
La proportion de jeunes  pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal est comprise entre 44,8 % et 55,3 %.
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Liban.
Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s’entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive. Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite
ou à gauche avec la même probabilité.
Dans tout l’exercice, on arrondira les résultats à 10−3 près.
Partie A.
Le joueur s’apprête à recevoir une série de 20 balles.
1. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite ?
Les balles sont lancées au hasard, à droite ou à gauche avec la même probabilité p = 0,5.
Les événements sont indépendants. On appelle X le nombre de balles lancées à droite ; X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 ; p = 0,5 ; q = 1-p = 0,5.
p(X=10) = C1020  x 0,510 x 0,510 ~0,176.
2. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite ?
p(5 <= X <=10) = p( X <= 10) -p(X <=5).
La calculatrice conduit à : 0,582.
Partie B.
Le lance-balle est équipé d’un réservoir pouvant contenir 100 balles. Sur une séquence de 100 lancers, 42 balles ont été lancées à droite. Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l’appareil. Ses doutes sont-ils justifiés ?
On note Y la variable aléatoire qui donne le nombre de balles lancées à droite.
n = 100 , valeur supérieure à 30 ; np = nq = 0,5 x100 = 50, valeur supérieure à 5. Les hypothèses sont les mêmes qu'en A. On calcule l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
(pq / n)½ = (0,5 x0,5 / 100)½ = 0,05 ; 1,96 x 0,05 = 0,098.
Intervalle de confiance [0,5-0,098 ; 0,5 +0,098] soit [0,40 ; 0,60].
La valeur 0,42 appartient à cet intervalle.  L'hypothèse " l'appareil est bien réglé " est valide au risque de 5 %.
Partie C.
Pour augmenter la difficulté le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles peuvent être soit « liftées » soit « coupées ». La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche.
Les réglages de l’appareil permettent d’affirmer que :
• la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est 0,24 ;
• la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est 0,235.
Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu’elle soit envoyée à droite ?










Amérique du Nord.
Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production A et B. L’entreprise considère qu’une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre est compris entre 0,9 cmet 1,1 cm.
Partie A.
Une étude du fonctionnement des machines a permis d’établir les résultats suivants ::
• 96% de la production journalière est vendable.
• La machine A fournit 60% de la production journalière.
• La proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est 98%.
On choisit une bille au hasard dans la production d’un jour donné. On définit les évènements suivants :
A : « la bille a été fabriquée par la machine A » ;
B : « la bille a été fabriquée par la machine B » ;
V : « la bille est vendable ».
1. Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A.
2. Justifier que P(B ∩V ) = 0,372 et en déduire la probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu’elle provient de la machine B.

3. Un technicien affirme que 70% des billes non vendables proviennent de la machine B. A-t-il raison?
0,07x 0,4 / (1-0,96) =0,7 ( 70 %). Il a raison.
Partie B.
Dans cette partie, on s’intéresse au diamètre, exprimé en cm, des billes produites par les machines A et B.
1. Une étude statistique conduit à modéliser le diamètre d’une bille prélevée au hasard dans la production de la machine B par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance µ = 1 et d’écart-type s = 0,055.
Vérifier que la probabilité qu’une bille produite par la machine B soit vendable est bien celle trouvée dans la partie A, au centième près.
P(0,9 <= X <=1,1 ) = p( X <= 1,1) -p(X <=0,9).
La calculatrice ou les tables ( en utilisant la loi normale centrée réduite  (1,1-µ)/s =(1,1-1) / 0,055 =1,818 ) donne 0,93. 
2. De lamême façon, le diamètre d’une bille prélevée au hasard dans la production de la machine A est modélisé à l’aide d’une variable aléatoire Y qui suit une loi normale d’espérance µ = 1 et d’écart-type s′, s′ étant un réel strictement positif.
Sachant que P(0,9 <= Y <= 1,1) = 0,98, déterminer une valeur approchée au millième de s′.
On note Z = (Y-µ) / s'  ; P( -0,1 / s'  <= Z <=0,1 /s' ) = 0,98 soit P(Z <=0,1 /s' ) =0,99.
La calculatrice donne 0,1 /s' = 2,326 ; s' =0,1 / 2,326 = 0,0430.
Partie C.
Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte de manière aléatoire et équiprobable en blanc, noir, bleu, jaune ou rouge. Après avoir été mélangées, les billes sont conditionnées en sachets. La quantité produite est suffisamment importante pour que le remplissage d’un sachet puisse être assimilé à un tirage successif avec remise de billes dans la production journalière.
Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les billes de couleur noire.
1. Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de 40 billes.
a. On choisit au hasard un sachet de billes. Déterminer la probabilité que le sachet choisi contienne exactement 10 billes noires. On arrondira le
résultat à 10−3.
Probabilité d'obtenir une bille de couleur noire p = 0,2.
Les événements sont indépendants. On appelle X le nombre de billes noires dans un paquet ; X suit la loi binomiale de paramètres n = 40 ; p = 0,2 ; q = 1-p = 0,8.
p(X=10) = C1040  x 0,210 x 0,830 ~0,107.
b. Dans un sachet de 40 billes, on a compté 12 billes noires. Ce constat permet-il de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes
Au seuil de 95 % : (pq / n)½ = (0,2 x0,8 / 40)½ =0,06325 ; 1,96 x 0,06325 =0,124.
Intervalle de confiance [ 0,2-0,124 ; 0,2 +0,124] soit [0,076 ; 0,324] ou encore [0,07x40 ; 0,324 x40] soit [3 ; 13] billes noires.
12 appartient à cet intervalle,aurisque de 95 %, la machine est bien réglée.
2. Si l’entreprise souhaite que la probabilité d’obtenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à 99%, quel nombre minimal de billes chaque sachet doit-il contenir pour atteindre cet objectif ?
Probabilité d'obtenir au moins une bille noire = 1 -probabilité  d'avoir zéro bille noire.
1-Cn0 x0,20 x0,8n =0,99 ; 1-0,8n >=0,99 ; 0,8n < 0,01 ; n log 0,8 < log 0,01 ; -0,0969 n < -2 ; n > -2 / log 0,8 ; n >20,6 ( n >21).


Centres Etrangers.
Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui sont favorables à un projet d’aménagement du territoire.
Pour cela, on interroge un échantillon aléatoire de personnes de cette population, et l’on pose une question à chaque personne.
Partie A : Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage
On admet dans cette partie que la probabilité qu’une personne interrogée accepte de répondre à la question est égale à 0,6.
1. L’institut de sondage interroge 700 personnes. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes interrogées qui acceptent de
répondre à la question posée.
a. Quelle est la loi de la variable aléatoire X ? Justifier la réponse.
Interroger une personne est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,6, valeur constante ( correspondant  au succès, la personne accepte de répondre à la question).
Les 700 épreuves de Bernoulli sont identiques et indépendantes. X suit ne loi binomiale de paramètre n = 700 ; p = 0,6 et q = 1-p = 0,4.
b. Quelle est la meilleure approximation de P(X > 400) parmi les nombres suivants ? 0,92 ;  0,93  ; 0,94 ; 0,95.
La calculatrice donne P( X <= 399)~0,0573. En conséquence P( X >399) = 1-0,0573 ~0,9427. ( 0,94 est la meilleur approximation).
2. Combien de personnes l’institut doit-il interroger au minimum pour garantir, avec une probabilité supérieur à 0,9, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à 400.  On appelle Xn la variable aléatoire égale au nombre de personnes répondant  à la question.
P(Xn >=400)  > 0,9 soit 1-P( Xn < 400) >0,9 ou P(Xn<400 ) < 0,1.
La calculatrice conduit à : P(X693<400 ) ~0,1034 et P(X694<400 ) ~0,0955.
La suite P(Xn<400) étant décroissante, n = 694.
Partie B : Proportion de personnes favorables au projet dans la population.
Dans cette partie, on suppose que n personnes ont répondu à la question, et on admet que ces personnes constituent un échantillon aléatoire de taille n (où n est
un entier naturel supérieur à 50). Parmi ces personnes, 29 % sont favorables au projet d’aménagement.
1. Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion de personnes qui sont favorables au projet dans la population totale.
Conditions d'application d'un intervalle de confiance :
n doit être supérieur ou égal à 30 : c'est vérifié.
n f doit être supérieurou égal à 5 : nf >= 50*0,29 ;  nf >=14,5  : condition vérifiée.
n (1-f) doit  être supérieur ou égal à 5 : n(1-f) >= 50 *0,71 ; n(1-f) >=35,5 : condition vérifiée.
Inverse de la racine  carrée de : n-½  ; intervalle de confiance [ f - n-½  ; f +n-½ ]
2. Déterminer la valeur minimale de l’entier n pour que l’intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, ait une amplitude inférieure ou égale à 0,04.
2 n-½ <=0,04  ; -0,5 log n <= log 0,02 ; log n > -2log0,02  ; log n >3,377 ; n  >2500.
Partie C : Correction due à l’insincérité de certaines réponses
Dans cette partie, on suppose que, parmi les personnes sondées qui ont accepté de répondre à la question posée, 29 % affirment qu’elles sont favorables au projet.
L’institut de sondage sait par ailleurs que la question posée pouvant être gênante pour les personnes interrogées, certaines d’entre elles ne sont pas sincères et répondent
le contraire de leur opinion véritable. Ainsi, une personne qui se dit favorable peut :
-soit être en réalité favorable au projet si elle est sincère.
-soit être en réalité défavorable au projet si elle n’est pas sincère.
Par expérience, l’institut estime à 15 % le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l’opinion
de la personne interrogée. Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes favorables au projet, à l’aide d’un modèle probabiliste. On prélève au hasard
la fiche d’une personne ayant répondu, et on définit les événements suivants :
F : la personne est en réalité favorable au projet.
  : la personne est en réalité défavorable au projet.
A : la personne affirme qu’elle est favorable au projet.
: la personne affirme qu’elle est défavorable au projet.
Ainsi, d’après les données, on a p(A)= 0,29.
Compléter l’arbre de probabilité et en déduire une égalité vérifiée par x.
Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement favorables au projet.

20 % des personnes sont réellement favorables au projet.

Nlle Calédonie.
La société « Bonne Mamie » utilise une machine pour remplir à la chaîne des pots de confiture. On note X la variable aléatoire qui à chaque pot de confiture produit
associe la masse de confiture qu’il contient, exprimée en grammes. Dans le cas où la machine est correctement réglée, on admet que X suit une loi normale de moyenne μ = 125 et d’écart-type s.
1. a. Pour tout nombre réel t positif, déterminer une relation entre P(X <=125−t ) et P(X >=125+t ).
La courbe de Gauss étant symétrique par rapport à la droite d'équation x = µ=125,
P(X <=125−t )= P(X >=125+t ).
b. On sait que 2,3% des pots de confiture contiennent moins de 121 grammes de confiture. En utilisant la relation précédente, déterminer P(121<= X <=129).
P(X<121) = 2,3 %=0,023.
P(X<=121) =P(X<=125-4) =P(X<= µ-4).
P(X>=129) =P(X>=125+4) =P(X>= µ+4) =P(X<= µ-4) =0,023.
Les deux événements P(X<=121) et P(X>=129) étant incompatibles, P(121<= X <=129) = 1-0,023-0,023 = 0,954.

2. Déterminer une valeur arrondie à l’unité près de s telle que P(123<=X <=127) = 0,68.
On pose Y = (X-µ) / s ; la variable aléatoire Y suit la loi centrée réduite.
(123-125) /s <=Y  <=(127-125) /s ; -2 /s <=Y  <=2 /s
P( -2 /s <=Y  <=2 /s )=0,68 ;
On cherche le nombre réel  ß tel que P(Y<ß) = 0,68.
La calculatrice ou les tables donnent ß = 0,994.
2 / s = 0,994 ; s = 2 / 0,994 ~2,01.
Dans la suite de l’exercice, on suppose que s= 2.
3. On estime qu’un pot de confiture est conforme lorsque la masse de confiture qu’il contient est comprise entre 120 et 130 grammes.
a. On choisit au hasard un pot de confiture de la production. Déterminer la probabilité que ce pot soit conforme. On donnera le résultat arrondi à
10−4 près.
Probabilité que la masse soit inférieure à 120 g : 0,00621.
Probabilité que la masse soit supérieure à 130 g : 0,00621.
Probabilité que la masse soit comprise entre 120 g et 130 g : 1-2 x 0,00621=0,9876.
b. On choisit au hasard un pot parmi ceux qui ont une masse de confiture inférieure à 130 grammes. Quelle est la probabilité que ce pot ne soit pas conforme ? On donnera le résultat arrondi à 10−4 près.
P(X<=120) / P(X<=130) = 0,00621 / (1-0,00621)=0,00621 / 0,99379 ~0,0062.
4. On admet que la probabilité, arrondie à 10−3 près, qu’un pot de confiture soit conforme est 0,988.  On choisit au hasard 900 pots dans la production. On constate que 871 de ces
pots sont conformes. Au seuil de 95% peut-on rejeter l’hypothèse suivante : « La machine est bien réglée » ?
 Conditions d'application d'un intervalle de fluctuation :
n doit être supérieur ou égal à 30 : c'est vérifié.
n p doit être supérieurou égal à 5 : np = 900*0,988 ~889 : condition vérifiée.
nq= n (1-p) doit  être supérieur ou égal à 5 : n(1-p)= 900 *0,012 10,8 : condition vérifiée.
1,96 (pq / n)½ =1,96 (0,988 x0,012 / 900)½ =0,0071.
Intervalle de fluctuation : [ 0,988 -0,0071 ; 0,988+0,0071] soit [0,981 ; 0,995 ].
871 / 900 = 0,968, valeur n'appartenant pas à l'intervalle de fluctuation : l'hypothèse " la machine est bien réglée" est à rejeter.



  

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