Mathématiques, nombre complexes, bac S 2015



Polynésie
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
. À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M′ d’affixe z′ définie par :
z′ = z2 +4z +3.
1. Un point M est dit invariant lorsqu’il est confondu avec le point M′ associé.
Démontrer qu’il existe deux points invariants. Donner l’affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
z=
z2 +4z +3 ; z2 +3z +3=0.
Discriminant D = b2-4ac=32-4x3=-3 =3i2.
Cette équation admet deux solutions.
2. Montrer que OAB est un triangle équilatéral.

3. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z = x+iy où x et y sont réels, tels que le point M′ associé soit sur l’axe des réels.
z'= x ; z' =
z2 +4z +3  ;
x = (x+iy)2 +4(x+iy)+3 ; x = x2-y2+2ixy+4x +4iy +3.
Par identification :
x2-y2+3x+3=0 et 2xy+4y=0.
2y(x+2)=0 soit y=0 et x= -2.
4. Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l’ensemble E .
.y=0 est l'axe des abscisses et x=-2 est l'équation de la droite D.

Antilles.
Dans le plan complexemuni d’un repère orthonormé on a placé un point M d’affixe z appartenant à C, puis le point R intersection du cercle de centre O passant par M et de l'axe des abscisses.
1.  Exprimer l’affixe du point R en fonction de z.
OR = OM d'où zR = |z|.
2. Soit le point M′ d’affixe z′ définie par z′ =0,5(z +|z| )/2.
Reproduire la figure sur la copie et construire le point M′.
Le point d'affixe
(z +|z| )/2 est le milieu I du segment [MR].
Le point d'affixe z' est la milieu M' du segment [OI].

On définit la suite de nombres complexes (zn) par un premier terme z0 appartenant à C et, pour tout entier naturel n, par la relation de récurrence :
zn+1 =(zn +|zn| )/4.
Le but de cette partie est d’étudier si le comportement à l’infini de la suite (|zn|) dépend du choix de z0.
1. Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite (|zn|) quand z0 est un nombre réel négatif ?
|z0|= -z0 ; z1=
(z0 -z0 )/4 =0.
Tous les termes suivants de la suite sont nuls. La suite converge vers zéro.
2. Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite (|zn|) quand z0 est un nombre réel positif ?
|z0|= +z0 ; z1=(z0 +z0 )/4 =z0/2.
z2=(z1 +|z1| )/4 =z0/4.
Montrons par récurrence que zn = z0/(2n).
Initialisation :
z1=z0/2.
Hérédité : on suppose que
zp = z0/(2p).
zp+1 =(zp+|zp|)/4= [
z0 / (2p)+ z0 / (2p)]/4= z0 /(2 x2p)=z0 / (2p+1) .
La propriété est vraie pour p+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire.
zn = z0/(2n).
Il s'agit d'une suite géométrique de raison 0,5 ; elle converge vers zéro.
3. On suppose désormais que z0 n’est pas un nombre réel.
a. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l’infini de la suite (|zn|) ?
La construction indique que le module de z' est égal à la moitié de celui de z. On conjecture que la suite
(|zn|) converge vers zéro.
b. Démontrer cette conjecture, puis conclure.
Pour tout nombre complexe z1 et z2 :

La suite géométrique z0/(2n) converge vers zéro.  D'après le théorème des gendarmes, la suite (|zn|) converge vers zéro.




Amérique du nord.
On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel n, on définit les
points (An) par leurs coordonnées ( xn ; yn ) de la façon suivante :
x0 = −3 ; y0 = 4
et pour tout entier naturel n :
xn+1 = 0,8xn −0,6yn  ; yn+1 = 0,6xn +0,8yn
1. a. Déterminer les coordonnées des points A0, A1 et A2.
A0 ( -3 ; 4) ;
x1 =0,8 x(-3)-0,6x4= -4,8 ; y1 =0,6x(-3)+0,8x 4=1,4.
A1 ( -4,8 ; 1,4) ;
x2 =0,8 x(-4,8)-0,6x1,4= -4,68 ; y2 =0,6x(-4,8)+0,8x 1,4= -1,76. A2 ( -4,68 ; -1,76) ;
b. Pour construire les points An ainsi obtenus, on écrit l’algorithme suivant :
Variables :
i ,x, y, t : nombres réels
Initialisation :
x prend la valeur −3
y prend la valeur 4
Traitement :
Pour i allant de 0 à 20
Construire le point de coordonnées (x ; y)
t prend la valeur x
x prend la valeur
0,8x−0,6y
y prend la valeur 0,6t +0,8y.
Fin Pour
Recopier et compléter cet algorithme pour qu’il construise les points A0 à A20.
c. À l’aide d’un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant :
Identifier les points A0, A1 et A2.
Quel semble être l’ensemble auquel appartiennent les points An pour tout n entier naturel ?

Les points semblent répartis sur un cercle de centre O et de rayon 5.
2. Le but de cette question est de construire géométriquement les points An pour tout n entier naturel.
Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, zn = xn +iyn l’affixe du point An.
a. Soit un = |zn|. Montrer que, pour tout entier naturel n, un = 5. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ?
un = (x2n +y2n)½ ;
Démonstration par récurrence.
Initialisation : z0 =
(x20 +y20)½ =(16+9)½ = 5.
Hérédité : on suppose que
up = (x2p +y2p)½ =5
up+1 = (x2p+1 +y2p+1)½ .
x2p+1 +y2p+1 =( 0,8xp −0,6yp)2+(0,6xp +0,8yp)2.
x2p+1 +y2p+1 =0,64xp2+0,36yp2-0,96xpyp+0,36xp2+0,64yp2-0,96xpyp=x2p +y2p .
La propriété est vrai au rang p+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire.
Donc
pour tout entier naturel n, un = 5.
Les points An appartiennent au cercle de centre O et de rayon 5.
b. On admet qu’il existe un réel θ tel que cos(θ) = 0,8 et sin(θ) = 0,6.
Montrer que, pour tout entier naturel n, ezn = zn+1.
ezn =(cos(θ) +isin(θ))(xn+iyn)=xn cos(θ)-yn sin(θ)+ i(yn cos(θ)+xn sin(θ))
ezn =0,8xn -0,6yn +i(0,8yn +0,6xn )=xn+1 +iyn+1 = zn+1.
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, zn = einθz0.
Démonstration par récurrence :
Initialisation : z1 =
=ez0 est vraie.
Hérédité : on suppose que la propriété est vraie au rang p :
zp = eipθz0.
zp+1=ezp =e eipθz0 =ei(p+1)θz0 ; la propriété est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire ;
donc 
pour tout entier naturel n, zn = einθz0.
d. Montrer que θ+π/2 est un argument du nombre complexe z0.
On note q0 l'argument de z0.
z0 / |z0| = cos
q0+ i sinq0  = -0,6 +0,8 i.
Or -0,6 =- sin q=cos (
θ+π/2) et 0,8 =cos q=sin ( θ+π/2).
z0 / |z0| =cos ( θ+π/2) +i sin ( θ+π/2).
Par suite :
q0= θ+π/2.
e. Pour tout entier naturel n, déterminer, en fonction de n et θ, un argument du nombre complexe zn.
Représenter θ sur la figure.
Expliquer, pour tout entier naturel n, comment construire le point An+1 à partir du point An.
zn = einθz0 ; arg(zn) =nq +arg(z0) =nq +θ+π/2 = (n+1)θ+π/2.
A partir du point An, on se déplace d'un angle q, sur le cercle de centre O et de rayon 5. Utiliser un compas ou un rapporteur.










Asie.
Partie A
: propriétés du nombre j= (-1+i3½) / 2
1. a. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation z2 +z +1 = 0.
Discriminant D = 12-4=-3=3i2.
Solutions : z1 =j= (-1+i3½) / 2 et (-1-i3½) / 2.
Le nombre complexe j est une solution de cette équation.
2. Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme exponentielle.
|j|=[(-1/2)2+(3½/2)2]½ =1 ; arg (j) = q tel que : cos q = -0,5 et sin q = 3½ / 2 ; q = 2p /3.
j = exp( 2ip /3).
3. Démontrer les égalités suivantes :
a. j3 = 1 ;
j3 =exp( 2ip /3 x3) = exp(2ip) = 1.
b. j2 = −1−j.
j2 =exp( 2ip /3 x2)=exp( 4ip /3 )=cos(4p /3) +i sin(4p /3) = (-1-i3½) / 2 =(-2+1-i3½) / 2 = -1-(-1+i3½) / 2=-1 -j.
4. On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1, j et j2 dans le plan.
Quelle est la nature du triangle PQR? Justifier la réponse.
Affixe de  P : 1 ; affixe de Q : (-1+i3½) / 2 ; affixe de R : (-1-i3½) / 2 .
QP2=(1+0,5)2 +(0-3½ / 2 )2 = 9 / 4 + 3 / 4 = 3.  QP = 3½.
RP2=(1+0,5)2 +(0+3½ / 2 )2 = 9 / 4 + 3 / 4 = 3.  RP = 3½.
QR2=(-0,5+0,5)2 +(-3½ / 2 -3½ / 2 )2 = 3.  QR = 3½.
QP=RP=QR, le triangle PQR est équilatéral.
Partie B.
Soit a, b, c trois nombres complexes vérifiant l’égalité a +jb +j2c = 0.
On note A, B, C les images respectives des nombres a, b, c dans le plan.
1. En utilisant la question A - 3. b., démontrer l’égalité : a −c = j(c −b).
j2 = −1−j ; a+j b -c - jc = 0 ; a-c +j (b-c)=0 ; a-c = j(c-b).
2. En déduire que AC = BC
AC = |c-a| =|j| |c-b|;=|j|  |c-b| ; or |j|=1 : AC = |c-b|  ; or  BC =|c-b|. Donc AC=BC.
3. Démontrer l’égalité : a −b = j2(b −c).
j2(b −c) = -(1+j)(b-c)= -(b-c) - j(b-c)= -(b-c) + (a-c)= a-b.
4. En déduire que le triangle ABC est équilatéral.
|a −b| =| j2(b −c)| = |j2| |b-c|. Or |j2| =1 ; |a −b| = |b-c| soit AB = BC.
Par suite AB = BC= AC, le triangle ABC est équilatéral.


Métropole.
1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation (E) d’inconnue z :
z2 −8z +64 = 0.
Discriminant D = (-8)2 -4 x64 =-3 x64 = -82x 3=
i282x 3 ; racine carrée de D : 8i 3½.
Solutions : z1 = (8+
8i 3½) 2 = 4+4i3½ ; z2 = (8- 8i 3½) 2 = 4-4i3½.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct
2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 4+4i3½, b = 4−4i
3½ et c = 8i.
a. Calculer le module et un argument du nombre a.
|a|=[42+(4 x3½)2 ]½=(16+48)½ = 8.
a = 8(0,5 +
i3½ /2) ; cos q = 0,5 ; sin q = 3½ /2 ; arg(a) = q = p/3.
b. Donner la forme exponentielle des nombres a et b.
a = 8 exp(ip/3) ; b
= 8 exp(-ip/3).
|b|=[42+(-4 x3½)2 ]½=(16+48)½ = 8.
b = 8(0,5 -
i3½ /2) ; cos q' = 0,5 ; sin q' = -3½ /2 ; arg(b) = q' = - p/3.
c. Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle ce de centre O dont on déterminera le rayon.
|c| = 8 ; arg (c) =p/2.
Les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon R=8.
d. Placer les points A, B et C dans le repère.

Pour la suite de l’exercice, on pourra s’aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l’avancement des questions.

3. On considère les points A′, B′ et C′ d’affixes respectives a′ = a exp(iπ/3), b′ = b exp(iπ/3) et c′ = c exp(iπ/3)..
a. Montrer que b′ = 8.
b'=
8 exp(-ip/3) x exp(iπ/3) = 8 exp(i(-p/3+p/3) = 8 exp (0i) = 8.
b. Calculer le module et un argument du nombre a′.
a' =
8 exp(ip/3) x exp(iπ/3) = 8 exp(i(+p/3+p/3) = 8 exp (2ip/3) ; |a'| =8 ; arg(a')= 2p/3.
Pour la suite on admet que a′ = −4+4i x3½ et c′ = −4 x3½+4i.
4. On admet que si M et N sont deux points du plan d’affixes respectives m et n alors le milieu I du segment [MN] a pour affixe (m+n) /2 et la longueur MN
est égale à |n −m|.
a. On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A′B], [B′C] et [C′A].
Calculer r et s. On admet que t = 2−2x3½+i(2+2x3½).
Affixe de A' :
−4+4i x3½  ; affixe de B: 4−4ix3½ ; affixe de R : r =(-(4+4 /2 +4i x3½ -4i x3½  ) /2=0.
R est confondu avec l'origine O.
Affixe de B' : 8 ; affixe de C : 8i ; affixe de S : s = 8 /2 +8i / 2 =4 +4i.
b. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST? Justifier ce résultat.
RS = OS =|s|= (42+42)½ =4 x2½.
RT =OT =| t| =
[(2−2x3½)2+(2+2x3½)2]½ =4 x2½.
ST2 =(
2−2x3½-4)2 +(2+2x3½-4)2 =(-2−2x3½)2 +(-2+2x3½)2 =16 ; ST = 4 x2½.
RS=RT=ST, le triangle RST est équilatéral.

Nlle Calédonie mars 2016.
On considère les nombres complexes zn définis, pour tout entier naturel n, par
z0 = 1 et zn+1 =(1+i 3½/3)zn.
On note An le point d’affixe zn dans le repère orthonormé.
L’objet de cet exercice est d’étudier la construction des points An.
1. a. Vérifier que 1+i
3½/3=2 / 3½ exp(ip/6).
Module de z=
1+i 3½/3 : |z|=(1+3 / 9)½ = 2 / 3½ = 2 x3½ /3.
z /|z|= cos q +isin q avec cos q  = 3½ /2 et sin q = 0,5 soit q =p/6.
b. En déduire z1 et z2 sous forme exponentielle.
z1=
(1+i 3½/3)z0 =1+i 3½/3 =2 / 3½ exp(ip/6).
z2=(1+i 3½/3)z1 =2 / 3½ exp(ip/6) x 2 / 3½ exp(ip/6)) =4 /3 exp(ip/3).
2. a. Montrer que pour tout entier naturel n,
zn =[
2 / 3½ ]n exp(inp/6).
Démonstration par récurrence :
Initialisation :
z1=2 / 3½ exp(ip/6). La propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : on suppose que
zp =[2 / 3½ ]p exp(ipp/6) est vrai.
zp+1 =
[2 / 3½ ]p exp(ipp/6) x 2 / 3½ exp(ip/6) = [2 / 3½ ]p+1 exp(i(p+1)p/6). la propriété est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire.
Donc,
pour tout entier naturel n, zn =[2 / 3½ ]n exp(inp/6).
b. Pour quelles valeurs de n, les points O, A0 et An sont-ils alignés ?
O et A0 sont sur l'axe des réels, donc le point cherché est également sur cet axe.
np/6 = p soit n = 6 ou un multiple de 6.
3. Pour tout entier naturel n, on pose dn = |zn+1 −zn|.
a. Interpréter géométriquement dn.
dn = An+1An, distance des points An+1 et An.
b. Calculer d0.
z1-z0=
(1+i 3½/3)z0 -z0=i 3½/3 z0=i 3½/3 ; d0 = 3½/3.
c. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, zn+2-zn+1=(1+i 3½/3)(zn+1-zn).
Démonstration par récurrence :
Initialisation : z2-z1=(1+i 3½/3)z1 -z1=(1+i 3½/3)z1 -(1+i 3½/3)z0 =(1+i 3½/3)(z1-z0). La propriété est vraie au rang 2.
Hérédité : on suppose que
zp+2-zp+1=(1+i 3½/3)(zp+1-zp) est vrai.
zp+3-zp+2=(1+i 3½/3)zp+2 -zp+2=(1+i 3½/3)zp+2 -(1+i 3½/3)zp+1 =(1+i 3½/3)(zp+2-zp+1). La propriété est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 2 et héréditaire.
Donc,
pour tout entier naturel n,  non nul, zn+2-zn+1=(1+i 3½/3)(zn+1-zn).
d. En déduire que la suite (dn)n>0 est géométrique puis que pour tout entier naturel n, dn =3½ /3 (2 / 3½)n.
dn+1 =|
zn+2-zn+1| ; dn =|zn+1-zn|.
dn+1 =|1+i 3½/3 |dn ; dn+1 =2/ 3½ dn ;
La suite est géométrique de premier terme
d0 = 3½/3 et de raison q = 2/ 3½.
4. a. Montrer que pour tout entier naturel n, |zn+1|2 = |zn|2 +d2n.
|zn+1| =[2 / 3½ ]n+1  ; |zn+1|2 =[2 / 3½ ]2n+2  = =[2 / 3½ ]2n x[2 / 3½ ]2=[2 / 3½ ]2n x4 /3.
|zn+1|2 = |zn|2 x4 /3 et d2n =1 /3 (2 / 3½)2n.
|zn| =[2 / 3½ ]n  ; |zn|2 =[2 / 3½ ]2n ;
|zn|2 +d2n =[2 / 3½ ]2n +1 /3 (2 / 3½)2n = [2 / 3½ ]2n (1+1/3) = [2 / 3½ ]2n x4 /3 = |zn+1|2 .

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, le triangle OAn An+1 est rectangle en An
|zn+1| =OAn+1 ; |zn| =OAn ; dn = An+1An.
|zn+1|2 = |zn|2 +d2n conduit à : OA2n+1 = OA2n +An+1An 2.
D'après la rééciproque du théorème  de Pythagore, le triangle OAn An+1 est rectangle en An
c. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point A5.
d. Justifier cette construction.
Le triangle
OA4 A5 est rectangle en A4. Le point A5 appartient à la droite D perpendiculaire à (OA4) passant par A4.
arg(z5) = 5p/6 ; arg(z3)=
3p/6 ; donc l'angle formé entre les vecteurs OA3 et OA5 mesure p/3.
Tracer le triangle équilatéral OA3B.




  

menu