Mathématiques, suite numérique, algorithme, bac S 2015

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Pondichéry.
Partie A
Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1 = aun +b (a et b réels non nuls tels que a différent de1.
On pose, pour tout entier naturel n, vn = un −b/(1−a)..
1. Démontrer que, la suite (vn) est géométrique de raison a.
vn+1 =un+1-b/(1-a) = aun+b-b/(1-a)=
aun-ab/(1-a) = a[un -b/(1-a)]=a vn.
vn+1 =a vn indique que la suite (vn) est géométrique de raison a.
2. En déduire que si a appartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alors la suite (un) a pour limite b /(1−a).
vn = anv0 ;
a
appartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alors an tend vers zéro si n tend vers l'infini : donc vn tend vers zéro.
Or vn = un −b/(1−a), donc un tend vers b/(1-a) quand n tend vers l'infini.
Partie B.
En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cma u cours des douze mois suivants.
 Dès qu’il rentre chez lui,Max taille sa plante.
1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?
80 x3 / 4 +30 = 90 cm.
2. Pour tout entier naturel n, on note hn la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l’année (2015+n).
a. Justifier que, pour tout entier naturel n, hn+1 = 0,75hn +30.
La taille correspond à la multiplication par 0,75 et la pousse annuelle est de 30 cm.
b. Conjecturer à l’aide de la calculatrice le sens de variations de la suite (hn).
u0 = 80 cm ; u1 = 90 ; u2 = 0,75 x90 +30 = 97,5 ; la suite semble être croissante.
Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
Initialisation : h0 < h1 est vraie.
Hérédité : on suppose que hp < hp+1.
0,75 hp < 0,75 hp+1 entraîne
0,75 hp +30< 0,75 hp+1 +30 entraîne hp+1 <hp+2.
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire : donc
hn < hn+1 pour tout n entier.
c. La suite (hn) est-elle convergente ? Justifier la réponse.
Si la suite converge vers l, par continuité, l'égalité hp+1=0,75 hp+30 donne en passant aux limites à l'infini :
l = 0,75 l +30 soit l = 120.
La taille de la plante sera inférieure à 1,20 m.

Liban.
On définit la suite (un) de la façon suivante, pour tout entier naturel n.
1. Calculer u0.
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un+1 +un = 1 /(n+1).
b. En déduire la valeur exacte de u1.

u1+u0=1 ; u1 =1-ln2.
3. a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rang n de la suite (un) où n est un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.
Variables : i et n sont des entiers naturels
u est un réel
Entrée : Saisir n
Initialisation : Affecter à u la valeur ln2
Traitement : Pour i variant de 1 à n
Affecter à u la valeur 1/i-u
Fin de Pour
Sortie : Afficher u
b. À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :
n
0
1
2
3
4
5
10
50
100
un
0,693
0,3069
0,1931
0,1402
0,1098
0,0902
0,0405
0,0099
0,0050
Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (un) peut-on émettre ?
La suite est décroissante et converge vers zéro.
4. a. Démontrer que la suite (un) est décroissante.

b. Démontrer que la suite (un) est convergente.
La suite estt décroissante et tous ces termes sont positifs. D'après le théorème de la convergence monotone, la suite converge.
5. On appelle ℓ la limite de la suite (un). Démontrer que ℓ = 0.





Centres étrangers.
Soit a un nombre réel fixé non nul.
Le but de cet exercice est d’étudier la suite (un) définie par :
u0 = a et, pour tout n de N, un+1 = e2un −eun .
On remarquera que cette égalité peut aussi s’écrire : un+1 = eun (eun −1).
1. Soit g la fonction définie pour tout réel x par :
g (x) = e2x −ex −x.
a. Calculer g ′(x) et prouver que, pour tout réel x : g ′(x) = (ex −1) (2ex +1).
g'(x)=2e2x-ex -1=
2e2x-ex -1=2ex ex-2ex +ex-1=2ex(ex-1)+ex-1=(ex −1) (2ex +1).
b. Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.
(2ex +1) est toujours positif . Le signe de g'(x) est celui de ex-1.
si x <0, g'(x) est négative et g(x) est strictement décroissante.
Si x>0, g'(x) >0 et g(x) est strictement croissante.
Si x=1, g'(x)=0 et g(x) présente un minimum égal à 0.
c. En remarquant que un+1 −un = g (un), étudier le sens de variation de la suite (un).
un+1 −un =e2un −eun −un est positif pour n entier.
un+1 >un , la suite est croissante.
2. Dans cette question, on suppose que a est négatif ou nul.
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un est négatif ou nul.
Initialisation : u0 =a est vrai.
Hérédité : on suppose la propriété vraie au rang p, up inférieur ou égal à 0.
up+1=eup(eup-1) ; eup est positif et eup est compris entre 0 et1 ;
(eup-1)est donc négatif ou nul.
up+1est donc négatif ou nul ; la propriété est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, donc
pour tout entier naturel n, un est négatif ou nul.
b. Déduire des questions précédentes que la suite (un) est convergente.
La suite est croissante et majorée par zéro
. D'après le théorème de la convergence monotone, la suite converge
c. Dans le cas où a vaut 0, donner la limite de la suite (un).
u0=0 et un supérieure ou égale à u0.
De plus un est négatif ou nul ; donc un =0.
La suite est constante, égale à zéro ; sa limite est nulle.
3. Dans cette question, on suppose que a > 0.
La suite (un) étant croissante, la question 1. permet d’affirmer que, pour tout entier naturel n, un supérieur ou égal à a.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 −un supérieur ou égal à g (a).
un+1 −un = g (un).
Or a est positif et inférieur ou égal à un ; de plus  g est strictement croissante sur [0 ; +oo[.
Donc g(0) <g(a) <=g(un).
Pour tout n, g(un) est supérieur ou égal à g(a).
un+1 −un supérieur ou égal à g (a).
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :
un supérieur ou égal à  a +n ×g (a).
Initialisation : u0 = a est vrai.
Hérédité : on suppose la propriété vraie au rang p :
up supérieur ou égal à  a +p ×g (a).

Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et est héréditaire.
un supérieur ou égal à  a +n ×g (a) pour tout n.
c. Déterminer la limite de la suite (un).
a étant positif et 0 étant le minimum de la fonction g, g(a) est positif.

4. Dans cette question, on prend a = 0,02.
L’algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier n tel queun >M, où M désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.
Variables n est un entier,
 u et M sont deux réels
u prend la valeur 0,02
Initialisation n prend la valeur 0
Saisir la valeur de M
Traitement Tant que u<=M
u prend la valeur e2u-eu
n prend la valeur n+1
Fin tant que
Sortie Afficher n
a. Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.
b. À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si M = 60.
u35 = 2,13 et u36 = 62,35.
L'algorithme affiche : 36.










Polynésie.
Soit (vn) la suite définie par v1 = ln(2) et, pour tout entier naturel n non nul, vn+1 = ln(2-e-vn)
On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel n non nul.
On définit ensuite la suite (Sn) pour tout entier naturel n non nul par :
Sn = v1 +v2 +···+vn.
Le but de cet exercice est de déterminer la limite de (Sn).
Partie A. Conjectures à l’aide d’un algorithme
1. Recopier et compléter l’algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de Sn pour une valeur de n choisie par l’utilisateur :
Variables : n, k entiers
S, v réels
Initialisation : Saisir la valeur de n
v prend la valeur ln(2)
S prend la valeur ln(2)
Traitement : Pour k variant de 2n. faire
v prend la valeur ln(2-e-v)
S prend la valeur S +v
Fin Pour
Sortie : Afficher S
2. À l’aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de Sn. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous :
n
10
100
1000
10 000
100 000
Sn
2,4
4,6
6,9
9,2
11,5
En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite (Sn).
Les valeurs du tableau indiquent que la suite  (Sn) est croissante.
Partie B. Étude d’une suite auxiliaire
Pour tout entier naturel n non nul, on définit la suite (un) par un = evn .
1. Vérifier que u1 = 2 et que, pour tout entier naturel n non nul, un+1 = 2−1/un.
v1 = ln2 ; u1= eln2 = 2.
un+1 = evn+1 = exp[ ln(2-e-vn)]=2-e-vn  2-1 / evn=2-1/un.
2. Calculer u2, u3 et u4. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.
u2 = 2-1/u1 = 2-1/2=3/2.
u3 = 2-1/u2 = 2-2/3=4/3.
u4 = 2-1/u3 = 2-3/4=5/4.
3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, un =(n +1) / n
Démonstration par récurrence :
Initialisation : propriété vraie pour n =2.
Héridité : on suppose la propriété vraie au rang p : up=(p+1) / p.
up+1 = 2-1/up = 2-p/(p+1) = (2p+2-p) / (p+1)=(p+2) / (p+1). La propriété est vraie au rang p+1.
Conclusion :  la propriété est vraie au rang 2 et héréditaire.
Pour tout entier naturel n non nul, un =(n +1) / n.
Partie C. Étude de (Sn)
1. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer vn en fonction de un, puis vn en fonction de n.
un = evn ; vn=ln(un) =ln[ (n +1) / n].
2. Vérifier que S3 = ln(4).
v1 =ln2 ; v2=ln(1,5) ; v3 =ln(4 /3).
S3 = ln(2) +ln(1,5) +ln(4 / 3) = ln (2 x 1,5 x4 /3) =ln(4).
3. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer Sn en fonction de n. En déduire la limite de la suite (Sn).
Sn = v1 +v2...+vn =ln(2) +ln(3 / 2) + ln( 4 /3) +...+ln[n+1) / n] =ln  [2 x3 / 2 x4 / 3...x(n+1) /n] = ln(n+1).
ln(n+1) tend vers l'infini lorsque n tend vers l'infini.  La suite (Sn) est divergente.


Antilles.
Soit n un entier naturel non nul.
Partie A.
On considère l’algorithme suivant :
Variables : k et p sont des entiers naturels
u est un réel
Entrée : Demander la valeur de p
Traitement
 Affecter à u la valeur 5
Pour k variant de 1 à p
Affecter à u la valeur 0,5u +0,5(k −1)−1,5
Fin de pour
Sortie : Afficher u
Faire fonctionner cet algorithme pour p = 2 en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
Quel nombre obtient-on en sortie ?
u
k

5
1

0,5x5-1,5=1
2

0,5x1+0,5(2-1)-1,5= -0,5


A la sortie, on obtient -0,5.
Partie B.
Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 = 5 et, pour tout entier naturel n par : un+1 = 0,5un +0,5n −1,5.
1. Modifier l’algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de un pour n variant de 1 à p.
On considère l’algorithme suivant :
Variables : k et p sont des entiers naturels
u est un réel
Entrée : Demander la valeur de p
Traitement
 Affecter à u la valeur 5
Pour k variant de 1 à p
Affecter à u la valeur 0,5u +0,5(k −1)−1,5
Afficher u
Fin de pour
Sortie : Afficher u

2. À l’aide de l’algorithme modifié, après avoir saisi p = 4, on obtient les résultats suivants :
n
1
2
3
4
un
1
-0,5
-0,75
-0,375

Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite (un) est décroissante ? Justifier.
u4 > u3, on ne peut pas affirmer que la suite est décroissante.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, un+1 > un.
Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite (un) ?
Initialisation : u4 >u3, la propriété est vrai au rang 3.
Hérédité : on suppose que
up+1 > up.
up+1 = 0,5up +0,5p −1,5.
up+2 = 0,5up+1 +0,5(p+1) −1,5.
up+2 -up+1 =0,5up+1 - 0,5up +0,5 = 0,5 (up+1 -up +1)
Or
up+1 > up. donc up+2 -up+1 >0 ; up+2 >up+1. La proprièté est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propriété est vrai au rang3 et héréditaire.
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, un+1 > un.
La suite est croissante à partir du rang 4.
4. Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par vn = 0,1un−0,1n+0,5.
Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,5 et exprimer alors vn en fonction de n.
un+1 = 0,5un +0,5n −1,5.
vn+1 = 0,1un+1−0,1(n+1)+0,5 = 0,1(0,5un +0,5n −1,5)−0,1(n+1)+0,5=0,05un+0,05n-0,15-0,1n-0,1+0,5=0,05un-0,05n+0,25
vn+1 =0,5(0,1 un -0,1n+0,5)=0,5 vn.
La suite (vn) est donc géométrique de raison 0,5.
u0=5 ; v0=0,1x5-0,1x 0+0,5=1 et  vn =0,5n.
5. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 10×0,5n +n −5.
vn = 0,1un−0,1n+0,5 ; 0,1un=vn +0,1n-0,5 ; un = 10vn+n-5 ;
un = 10x 0,5n+n-5 .
6. Déterminer alors la limite de la suite (un).
La limite de 0,5n est nulle quand n tend vers l'infini. La limite de la suite (un) est égale à +oo quand n tend vers l'inifini.



  

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