Mathématiques, fonction logarithme, exponentielle bac S 2015



Pondichéry.
A. Soit f la fonction définie sur R par f(x) =3 /(1+e-2x), sa courbe représentative C et la droite D d'équation y=3.

1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur R.
On pose u = 1+e-2x ; u'=-2 e-2x ; f '(x) = -u' / u2 = 6e-2x /(1+e-2x)2.
e-2x est positif, f '(x) est positive sur R. De plus f '(x) ne s'annule pas.
Donc la fonction f est strictement croissante sur R.
2. Justifier que la droite D est asymptote à la courbe C.

3. Démontrer que l’équation f (x) = 2,999 admet une unique solution a sur R. Déterminer un encadrement de a d’amplitude 10−2.
2,999 (1+e-2x )= 3 ;
1+e-2x =3/2,999 ; e-2x =3/2,999 -1 =( 3-2,999) / 2,999 =3,3344 10-4.
-2x = ln
(3,3344 10-4) =-8,00604 ; x = 4,003.
a est compris entre 4,00 et 4,01.

B. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 3− f (x).
1. Justifier que la fonction h est positive sur R.
h(x) = 3 [ 1-1 /(1+e-2x) ] = 3
e-2x / (1+e-2x).
e-2x étant positif, h(x) est positive sur R.
2. On désigne par H la fonction définie sur R par H(x) = −1,5ln(1+e-2x)
Démontrer que H est une primitive de h sur R.
On dérive en posant u = 1+e-2x ; u' = -2 e-2x.
H'(x) = -1,5 u' / u = 3e-2x / (1+e-2x) = h(x).

3. Soit a un réel strictement positif.
a. Donner une interprétation graphique de l’intégrale I.
Aire positive de la surface comprise entre la courbe C', les droites  d'équation x=0, x=a et l'axe des abscisses.

b. I  = H(a)-H(0) = -1,5 ln(1+e-2a) +1,5 ln(1+1) = 1,5 [ ln2 -
ln(1+e-2a)]= 1,5 ln [2 / (1+e-2a)].

c. On note D l’ensemble des points M(x ; y) du plan défini par
x positif ou nul et par y appartenant à  [f(x) ; 3 ]
Déterminer l’aire, en unité d’aire, du domaine D.
L'aire  du domaine D est la limite en l'infini de I =
1,5 ln [2 / (1+e-2a)].
Le terme en  exponentielle tend vers zéro quand x tennd vers l'infini.
 L'aire du domaine D est égale à : 1,5 ln 2~1,04 unités d'aire.

Amérique du Nord.
Partie A
Soit u la fonction définie sur ]0 ; +oo[ par u(x) = ln(x)+x −3.
1. Justifier que la fonction u est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +oo[.
u'(x) =1 /x +1 = (1+x) /x.
u'(x) est positive sur
]0 ; +oo[ ; de plus u'(x) ne s'annule pas sur cet intervalle.
u(x) est strictement croissante sur cet intervalle.
2. Démontrer que l’équation u(x) = 0 admet une unique solution a comprise entre 2 et 3.
u(2) =ln2 +2+3 = ln 2-1 ~ -0,31 ; u(3) = ln 3 ~1,1.
u(2) <0, u(3) >0, u est continue, le théorème des valeurs intermédiaires s'applique.
0 possède un antécédent par u dans [2 ; 3 ]. De plus u est strictement monotone sur cet intervalle, l'antécédent a est unique.
3. En déduire le signe de u(x) en fonction de x.
u(x) <0 si x appartient à ]0 ; a [ et u(x) >0 si x appartient à ]a ; +oo[.
Partie B.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +oo[ par f (x) =(1-1 / x) ( ln x -2) +2.
On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.
1. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

2. a. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +oo[, f ′(x) =u(x) / x2 où u est la fonction définie dans la partie A.
On pose v = 1-1/x et w = ln x -2 ; v' = 1/x2 ; w'=1/x.
v'w +w'v = (ln x-2) / x2 +1/x-1/x2 = (ln x -2 +x-1) / x2 = u(x).
b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +oo[.
x2 est positif ; le signe de f '(x) est celui de u(x).
u(x) <0 si x appartient à ]0 ; a [ et u(x) >0 si x appartient à ]a ; +oo[.
f(x) est strictement décroissante  si x appartient à ]0 ; a [ et  f(x) est strictement croissante si x appartient à ]a ; +oo[.
Partie C
Soit C ′ la courbe d’équation y = ln(x).
1. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +oo[, f (x)−ln(x) =(2−ln(x)) / x.
f (x)−ln(x) = (1-1 / x) ( ln x -2) +2 -ln x = ln x -ln x / x -2 +2 /x +2 -ln x ;
f (x)−ln(x) = -ln x / x +2 /x = (2-ln x) / x.
En déduire que les courbes C et C ′ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées.
f (x)−ln(x) =0 ; 2 = ln x ; solution unique x = e2 ; y = ln( e2) = 2.
2. On admet que la fonction H définie sur l’intervalle ]0 ; +oo[ par H(x) =0,5[ ln(x)]2 est une primitive de la fonction h définie sur l’intervalle ]0 ; +oo[ par ln(x) / x..
Calculer l'intégrale I suivante et intrerpréter graphiquement le résultat.





Polynésie.
Le directeur d’un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas.
Partie A. Modélisation
Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe C représentant la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; 8] par
f (x) = (ax +b)e−x où a et b sont deux entiers naturels.
La courbe C est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l’unité est le mètre.

1. On souhaite que la tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1 soit horizontale.
Déterminer la valeur de l’entier b.
Calculer f '(x) et chercher la valeur de b qui annule cette dérivée en x=1.
On pose u = ax+b et v = e-x ; u' = a ; v' = -e-x ; f '(x)=u'v+v'u = ae-x-(ax+b)e-x =0 pour x=1.
-a-b+a = 0 ; b = 0.
2. On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre 3,5 et 4 mètres de haut. Déterminer la valeur de l’entier a.
f(1) = a e-1 = 2,718 a , compris entre 3,5 et 4.
a est compris entre 3,5 e  et  4e soit entre 9,5 et 10,9.
Le seul entier compris entre ces valeurs est 10.
Partie B Un aménagement pour les visiteurs
On admet dans la suite que la fonction f introduite dans la partie A est définie pour tout réel x ∈ [1 ; 8] par
f (x) = 10xe−x .
Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d’exercice. Sur le devis qu’il propose, celui-ci demande un forfait de 300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.
1. Soit g la fonction définie sur [1 ; 8] par g (x) = 10(−x −1)e−x .
Déterminer la fonction dérivée de la fonction g .
On pose u = -x-1 et v = e-x ; u'=-1 ; v'= -e-x ; u'v +v'u = -e-x+(x+1)e-x = xe-x; g'x) = 10x e-x=f(x)
g(x) est une primitive de f(x).
2. Quel est le montant du devis de l’artiste ?
f(x) étant positive, l'aire hachurée vaut :  A = g(8)-g(1)=10 ( -9 e-8 +2e-1)=10 (0,73576-0,00302)~7,3274 m2.
Coût : 300 + 50 x7,3274 = 666,37 €.
Partie C Une contrainte à vérifier
Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.
On considère un point M de la courbe C , d’abscisse différente de 1. On appelle a l’angle aigu formé par la tangente en M à C et l’axe des abscisses.
Les contraintes imposent que l’angle a soit inférieur à 55 degrés.
1. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 8].On admet que, pour tout x de l’intervalle [1 ; 8], f ′(x) = 10(1−x)e−x .
Étudier les variations de la fonction f ′ sur l’intervalle [1 ; 8].
Calcul de f'' (x) : u = 1-x ; v = e-x ; u' = -1 ; v' = -e-x ; u'v +v'u = -e-x+(x-1)e-x =(x-2)e-x ; f''(x) = 10
(x-2)e-x.
e-x est positive, le signe de f''(x) est celui de x-2.
Si x<2, f ''(x) est négative : f '(x) est décroissante.
Si x >2, f ''(x) est positive : f ' (x) est croissante.
si x=2, f '(x) présente un minimum f '(2)= -1,35.
2. Soit x un réel de l’intervalle ]1 ; 8] et soit M le point d’abscisse x de la courbe C . Justifier que tan a =|f '(x)|
Equation de la tangente à la courbe C : y = f '(x) x + b.
La tangente passe en L(X ; 0) ) ; 0=
f '(x) X + b ; b = -X f '(x).
y =
f '(x) (x-X).
tan a =PM / |PL| =  f(x) / |X-x| = |f '(x)|.
3. Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?
|f '(x)|max =1,35 ; amax = 53,5, valeur inférieure à 55. Le tobogan est conforme.










Métropole.
Une municipalité a décidé d’installer un module de skateboard dans un parc de la commune.

Le profil du module de skateboard a étémodélisé à partir d’une photo par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 20] par
f (x) = (x +1) ln(x +1)−3x +7.
On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f.
Partie 1.
1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 20], on a f ′(x) = ln(x +1)−2.
On pose u = x+1 et v = ln (x+1) ; u'  = 1 ; v' = 1/(1+x). ; u'v +v'u = ln(x+1) +(x+1) / (x+1) = ln(x+1) +1.
f '(x) = ln(x+1) +1 -3 = ln(x+1)-2.
2. En déduire les variations de f sur l’intervalle [0 ; 20] et dresser son tableau de variation.
f '(x) est nulle pour  ln(x+1)=2 ; x+1 = e2 ; x = e2-1.
f '(x) est négative sur [0 ; e2-1[ et positive sur ]e2-1 ; 20]
f '(x) est strictement décroissante sur [0 ; e2-1[ et strictement  croissante sur ]e2-1 ; 20]
f(x) présente un minimum en x = e2-1.

3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0.
f '(0) =ln(1)-2 = -2.
La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point B.
4. On admet que la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 20] par
g (x) =0,5(x+1)2 ln(x+1)-0,25x2-0,5x
a pour dérivée la fonction g ′ définie sur l’intervalle [0 ; 20] par g ′(x) = (x+1) ln(x+1).
Déterminer une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 20].
f(x) = g'(x)-3x+7 ; on note F(x) une primitive de f(x) :
F(x) = g(x) -1,5x2 +7x.
F(x) =0,5(x+1)2 ln(x+1)-1,75x2+6,5x.
Partie 2.
Les trois questions de cette partie sont indépendantes
1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.
P1 : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
10,93-2,6 = 8,33, valeur supérieure à 8. P1 est vraie.
P2 : L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu’en C.
Valeur absolue de f '(0) = 2 ; f '(20) = 1,044. P2 est vraie.
2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d’une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m2 par litre. Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
Face OABB' rectangulaire : 7 x 10 = 70 m2.
Face CC'DD' rectangulaire : 10,93 x 10 = 109,3 m2.
Aire face avant =aire  face arrière = F(20)-F(0) =0,5(21)2ln21-1,75 x202+6,5x20 - (0,5ln(1)-0-0 )=671,31 -700+130=101,31 m2.
Aire totale : 70 +109,3 +101,31+101,31 = 381,92 m2.
Volume de peinture : 381,92 / 5 =76,34 ~77 L.
3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.
Afin de déterminer une valeur approchée de l’aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points
Bk (k ; f (k)) pour k variant de 0 à 20. Ainsi B0 = B.
On décide d’approcher l’arc de la courbe C allant de Bk à Bk+1 par le segment [BkBk+1].
Ainsi l’aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type BkBk+1B′k +1B′k.
a. Montrer que pour tout entier k variant de 0 à 19, BkBk+1 =[1+[f(k+1)-f(k)]2 ]½.
.
b. Compléter l’algorithme suivant pour qu’il affiche une estimation de l’aire de la partie roulante.
Variables S : réel
K : entier
Fonction f : définie par f (x) = (x +1) ln(x +1)−3x +7
Traitement S prend pour valeur 0
Pour K variant de 0 à 19
S prend pour valeur S+10[1+[f(k+1)-f(k)]2 ]½
Fin Pour
Sortie Afficher S.


Antilles.
Soit n un entier naturel non nul.
On considère la fonction fn définie et dérivable sur l’ensemble R des nombres réels par fn(x) = x2e−2nx .
On note Cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthogonal.

Partie A : Étude de la fonction f1.
1. La fonction f1 est définie sur R par f1(x) = x2e−2x .
On admet que f1 est dérivable sur R et on note f1′ sa dérivée.
a. Justifier que pour tout réel x, f1′(x) = 2xe−2x (1−x).
On pose u = x2 et v = e-2x ; u'=2x ; v' = -2e-2x.
u'v + v'u = 2xe-2x -2x2e-2x =2x(1-x)e-2x.
b. Étudier les variations de la fonction f1 sur R.
La dérivée s'annule pour x=0 et x = 1.
 e-2x étant toujours positive, la dérivée a le signe de x(1-x).
x<0, f1'(x) est négative, f1x est strictement décroissante.
x appartenant à ]0 ; 1[, f1'(x) est positive, f1(x) est strictement croissante.
x>1, f1'(x) est négative, f1(x) est strictement décroissante.
f1(x) présente un minimum nul en x=0 et un maxximum en x=1.
c. Déterminer la limite de f1 en −oo.
Le terme en exponentielle tend vers l'infini et le terme x2 tend vers l'infini : f1(x) tend vers l'infini.
d. Vérifier que pour tout réel x, f1(x) =(x /ex)2. En déduire la limite de f1 en +oo.
Le terme en exponentielle croît plus vite que x au voisinage de l'infini. f1(x) tend vers zéro quand x tend vers l'infini.
2. En utilisant un système de calcul formel, on trouve qu’une primitive F1 de la fonction f1 est donnée par F1(x) = −e−2x(0,5x2+0,5x+0,25).
En déduire la valeur exacte de I1.
I1 = F1(1)-F1(0) = -e-2(0,5+0,5+0,25)+e0(0+0+0,25)=0,25e -1,25e-2.
Partie B : Étude de la suite (In)
1. Soit n un entier naturel non nul.
a. Interpréter graphiquement la quantité In.
Aire  hachurée ci-dessus.
b. Émettre alors une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite (In ). Expliciter la démarche qui a mené à cette conjecture.

Les intégrales entre 0 et 1 sont décroissantes. Les termes de la suite ontt des valeurs de plus en plus petites, jusquà atteinfre une valeur nulle..
2. a. Justifier que, pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel x appartenant à [0 ; 1], fn+1(x) = e−2x fn(x).
fn+1(x) =x2 e-2(n+1)x = x2 e-2nx e-2x = e−2x fn(x).
b. En déduire, pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel x appartenant à [0 ; 1], que fn+1(x) est inférieur ou égal à fn(x).
e−2x est inférieur ou égal à 1 sur [0 ; 1] ; fn(x)étant positif, e−2x fn(x) est inférieur ou égal à fn(x).
c. Déterminer alors le sens de variation de la suite (In).
D'après la positivité de l'intégration, la suite (In) est décroissante.
3. Soit n un entier naturel non nul.
a. Justifier que pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel x appartenant à [0 ; 1], fn (x) est supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égale à e-2nx.
b. En déduire un encadrement de la suite (In), puis sa limite.

D'après le théorème des gendarmes, la suite (In) est convergente et sa limite en l'infini est égale à zéro.

Nlle Calédonie.
Pour chaque réel a, on considère la fonction fa définie sur l’ensemble des nombres réels R par
fa (x) = ex−a −2x +ea.
1. Montrer que pour tour réel a, la fonction fa possède un minimum.
f 'a(x) =ex-a-2 ;
ex-a est toujours positif. Si ex-a est inférieure à 2, la dérivée est négative et fa(x) est strictement décroissante.
Si ex-a est supérieure à 2, la dérivée est positive et fa(x) est strictement croissante.
Si
ex-a =2, soit x = ln2 +a, la dérivée est nulle et fa(x) présente un minimum.
2. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle ce minimum est le plus petit possible ?
fa(ln2+a)=eln2-a+a -2ln2-2a +ea=2-2ln2-2a+ea.
Etudiier les variations de la fonction g(a) =
2-2ln2-2a+ea.
g'(a)= -2
+ea. ea est toujours positif. Si ea est inférieure à 2, la dérivée est négative et g(a) est strictement décroissante.
Si ea est supérieure à 2, la dérivée est positive et g(a) est strictement croissante.
Si ea =2, soit a = ln2 +a, la dérivée est nulle et g(a) présente un minimum.
g(ln2) = 2-2ln2-2ln2+2 =4-4ln2.

Amérique du sud.
A. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on désigne par Cu la courbe représentative de la fonction u définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
u(x) = a +b / x +c /x2 où a,b et c sont des réels fixés.
On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe Cu et la droite D d’équation y = 1.

On précise que la courbe Cu passe par les points A(1 ; 0) et B(4 ; 0) et que l’axe des ordonnées et la droite D sont asymptotes à la courbe Cu.
1. Donner les valeurs de u(1) et u(4).
u(1) =0 ; u(4)=0.
2. Donner la limite en +oo de u(x). En déduire la valeur de a.
b / x +c /x2 tendent vers l'infini quand x tend vers l'infini.
u(x) tend vers a quand x tend vers l'infini. La droite d'équattion y = a est asymptote : a=1.
3. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, u(x) = 1-5/x +4/x2.
u(1) = a+b+c =0 avec a = 1 ; b = -1 -c.
u(4) = 1+b/4 +c/16 = 0 ; 16 + 4b +c = 0. ; 16 -4-4c+c=0 ; c = 4 ; par suite b = -5.
Partie B.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) = x −5lnx −4 /x.
1. Déterminer la limite de f (x) lorsque x tend vers 0. On pourra utiliser sans démonstration le fait que la limite de x ln(x) = 0 quand x tend vers zéro.
f(x) =[ x2-5x ln(x) -4 ] / x.
La limite de
x2-5x ln(x) -4 est égale à -4 quand x tend vers zéro. La limite de f(x) est égale à -oo quand  x tend vers zéro.
2. Déterminer la limite de f (x) lorsque x tend vers +oo.
f(x) = x[1-5ln(x) / x -4/x2]
Quand x tend vers l'infini :
 la limite de ln(x) x est égale à zéro ; la limite de 4/x2 est égale à zéro ; la limite de
1-5ln(x) / x -4/x2 est égale à 1.
La limite de f(x) est égale à +oo lorsque x tend vers l'infini.
3. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, f ′(x) = u(x).
f '(x) = 1-5 /x +4/x2 = u(x).
En déduire le tableau de variation de la fonction f en précisant les limites et les valeurs particulières.
u(x) s'annule pour x=1 et x=4 ; u(x) est positive pour x compris entre 0 et1 : f(x) est croissante sur ]0 ; 1 ].
u(x) est négative entre 1 et 4 : f(x) est déctroissante sur [1 ; 4 ].
u(x) est positive sur [4 ; +oo[ : f(x) est croissante sur cet intervalle.

Partie C.
1. Déterminer l’aire A, exprimée en unité d’aire, du domaine hachuré sur le graphique de la partie A.
A = f(1)-f(4)= -3 -(3-5 ln(4)) = 5 ln(4) -6 unités d'aire.
2. Pour tout réel l supérieur ou égal à 4, on note Al l’aire, exprimée en unité d’aire, du domaine formé par les points M de coordonnées (x ; y) telles que
x appartienne à [4 ; l] et y appartienne à [0 ; u(x)].
Existe-t-il une valeur de l pour laquelle
Al =A ?
Al = f(l)-f(4) = f(l) - 3+5 ln(4)= 5 ln(4) -6 ; f(l) =-3.
D'après le tableau de variation de f(x), il existe une valeur unique de l.




  

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