Mathématiques, suites, algorithme.
Concours Geipi Polytech .

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Epreuve 2013.
On considère la fonction f définie par :
pour tout réel x de [ 0; 1 ], f(x) = (2x+5) / (x+1).
Partie A.
A-1- Donner les r´eels a et b tels que, pour tout x appartenant à [ 0; 1 ], f(x) = a +b / (x + 1).
Réduire au même dénominateur : f(x) =  (ax+a+b ) / (x+1).
Par identification : a = 2 et a+b =5 soit b = 3.
A-2- Soit L l’intégrale définie ci-dessous. Calculer la valeur exacte de L en justifiant les calculs.


Partie B.
On considère maintenant la suite (un), pou n supérieur ou égal à 1, définie par :
.
B-1- Soit n fixé. Justifier que, pour tout réel appartenant à [ 0; 1 ],
La fonction exponentielle est croissante.

B-2-a- Justifier alors que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1,
Sur [0 ; 1], les valeurs de f sont positives.

B-2-b- En déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite. Justifier la réponse.
Quand n tend vers l'infini le terme en exponentielle e1/n tend vers 1.
La suite converge et sa limite est L.
B-2-c- Justifier que, pour tout n supérieur ou égal à 0,

Partie C.
On considère l’algorithme suivant :
Variables
p est un entier
n est un entier
L est un réel
Début de l’Algorithme
L prend la valeur 2 + 3 ln 2
n prend la valeur 1
Entrer la valeur de p
Tant que L(e1/n-1)>10-p faire
n prend la valeur n + 1
Fin de “Tant que”
Afficher n
Fin de l’algorithme.
Lors de l’exécution de cet algorithme, la valeur entrée pour la variable p est 5. A la
fin de l’exécution, la valeur affichée de la variable n est notée N.
C-1- Que représente N ?
N est le plus petit entier tel que
L(e1/n-1) soit inférieur ou égal à 10-5.
C-2- Donner un réel ß tel que : |uN − 2 − 3 ln 2|<= ß.
ß : tout réel supérieur à 10-5.




Epreuve 2016.
 La concentration de CO2 dans l’atmosphère se mesure en ppm (partie par million).
Une concentration de 1 ppm signifie que l’atmosphère contient
1 / 106 =0, 0001 /100 = 0, 0001% de CO2.
Une concentration de 100 ppm signifie donc que l’atmosphère contient 0, 01% de CO2.
Partie A.
Les scientifiques ont éetudié l’évolution de la concentration de CO2 en Europe et ils ont établi que :
- à 10−2 près, la concentration annuelle moyenne de CO2 en 2010 valait C0~386, 90 ppm.
- de 2010 à 2012, l’augmentation annuelle était de 0, 4% par an.
- à 10−2 près, la concentration annuelle moyenne de CO2 en 2013 valait C3~393, 51 ppm.
C1 et C2 désignent respectivement les concentrations annuelles moyennes de CO2, en ppm, en
2011 et en 2012.
III-A-1- Déterminer une valeur approchée à 10−2 près de C1. Justifier la réponse.
C1 = 1,004 C0 = 1,004 *386,90 = 388,45 ppm.
III-A-2- Justifier que C2 ~390 ppm.
C2 = 1,004 C1 = 1,004 *388,45 = 390 ppm.
III-A-3- p désigne le pourcentage d’augmentation de la concentration annuelle moyenne de CO2 entre 2012 et 2013. Déterminer la valeur exacte de p. Justifier la réponse. Que remarquez-vous ?
C3 = (1+p/100) C2 ;
1+p/100 = C3 / C2 ; p /100 = C3 / C2 -1.
p = 100 (
C3 / C2 -1) = 100 (393,51 / 390 -1) =0,9 %.
L'augmentation est plus importante sur la période 2012 -2013 par rapport à la période 2011- 2012.

Partie B.
Les experts ont étudié ce qui se passerait si l’augmentation de la concentration annuelle moyenne
de CO2 en Europe se poursuivait au même rythme annuel qu’elle le fit entre 2012 et 2013.
Pour tout entier n, un désigne la concentration annuelle moyenne de CO2, en ppm, en Europe
à l’année 2012 + n, calculée avec cette hypothèse-là.
III-B-1- Donner des valeurs approchées à 10−2 près de u0, u1, u2.
u0 = 390 ppm ;
u1 = 393,521 ppm ; u2 = 393,51 *1,009 =390 *0,0092 = 397,05 ppm.
III-B-2- Justifier que, pour tout entier n, un = 390 × 1, 009n.
un+1 =( 1+0,009 ) un =1,009 un.
un est un suite géométrique de raison q = 1,009 et de premier terme u0=390 ppm.
III-B-3- Déterminer une valeur approchée à 10−2 près de la concentration annuelle moyenne
de CO2, en ppm, prévue en 2050. Justifier la réponse.
n = 2050-2012 = 38 ; u38 = 390 *1,00938 =548,19 ppm.
III-B-4- On sait que la valeur de 1000 ppm pour la concentration de CO2 représente un seuil critique en terme de santé (fréquence accrue d’asthme dans la population par exemple) et les experts estiment que ce seuil pourrait êetre atteint avant la fin du siècle.
III-B-4-a- Déterminer la plus petite valeur n0 de l’entier n tel que : un supérieur ou égal à 1000.
Justifier soigneusement la réponse.
1000 = 390 *1,009n0 ; 1,009n0 = 1000 / 390 = 2,564 ;
n0 ln 1,009 = ln 2,564 ; n0 = 105.
III-B-4-b- En quelle annèe la concentration annuelle moyenne de CO2 d´epasserait-elle 1000 ppm?
2012 +105 soit fin 2117.
III-B-4-c- La prévision des experts sur le fait que le seuil de 1000 ppm pourrait être atteint
avant la fin du siècle est-elle justifiée ?
La prévision n'est pas justifiée, 2118 > 2100.










2014.
Partie A.
A-1- Justifier que l’équation cos x = 0, 2 a une unique solution dans l’intervalle [0 ; p ].
On notera x0 cette solution.
La fonction cosinus est strictement décroissante sur [0 ; p ]; de plus cos 0 = 1  et cos p = -1.
Or 0,2 appartient à l'intervalle [-1 ; +1 ], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique nombre réel x0 de l'intervalle
[0 ; p ], tel que cos x0 = 0,2.
A-2- On considère l’algorithme suivant :
Variables
a, b et m sont des réels
d est un réel strictement positif
Début de l’Algorithme
Entrer la valeur de d
a prend la valeur 0
b prend la valeur 3
Tant que b − a > d faire
m prend la (a+b) / 2
  Si cos(m) > 0, 2 alors
     a prend la valeur m
sinon                      
      b prend la valeur m
FinSi                    
FinTant que                 
    Afficher a                          
Afficher b                     
Fin de l’algorithme     
On fait tourner cet algorithme en prenant d= 0, 5. Compléter le tableau en utilisant le nombre de colonnes nécessaires. Quelles sont les valeurs affichées pour a et b à la fin de l’algorithme ?

Initialisation
Fin de l'étape 1
Fin de l'étape 2
Fin de l'étape 3
m =

1,5 radian
0,75
1,125
cos m =

cos 1,5 =0,0707
cos 0,75 =0,7316
cos 1,125 =0,43117
a =
0
0
0,75
1,125
b=
3
1,5
1,5
1,5
b-a =
3
1,5
0,75
0,375
a = 1,125 ; b = 1,5.
A-2-b- On exécute cet algorithme avec  d = 0, 1. Les valeurs affichées sont 1,3125 pour a et 1,40625 pour b. Que peut-on en déduire pour x0 ?
x0 est compris entre 1,3125 rad et 1,40625 rad.
Partie B.
On considère la fonction F définie, pour tout réel x de [0 ; ½p]  par : F(x) = sin(2x).
On note CF la courbe représentative de F dans un repère orthogonal (O ; i ; j).
B-1- F' désigne la dérivée de F. Déterminer, pour tout x de 
[0 ; ½p], F'(x).
F'(x) = 2 cos (2x).
B-2- Dresser le tableau des variations de F.
B-3- Tracer la courbe CF.


Partie C.
Soit t appartenant à
[0 ; ½p].
. On note Dt le domaine compris entre la courbe CF , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 0 et x = t. Soit At l’aire, en unités d’aires, de Dt.
C-1- Justifier que : At = − 1/2  cos(2t) + 1/2.

C-2- On considère l’équation (E) : At = 0, 4.
C-2-a- Justifier que l’équation (E) est équivalente à l’équation cos(2t) =ß, où ß est un réel à préciser.
− 1/2  cos(2t) + 1/2 = 0,4 ; -cos(2t) +1 = 0,8 ; cos(2t) = 0,2.
C-2-b- A l’aide de la question A-2-b-, donner une valeur approchée à 0,05 près de la solution t0 de l’équation (E).
2t0 est compris entre 1,3125 rad et 1,41062 rad.
t0 est compris entre 0,66 rad et 0,71 rad ; t0 ~0,68 rad.
C-3- Sur la figure , hachurer le domaine Dt0.


.


 



  

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