Statistiques, probabilités, pourcentage : bac St2S 2013

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L’évolution de l’endettement d’une entreprise est donnée par le tableau suivant, extrait d’une feuille de calcul.

ABCDEFG
1Année201120122013201420152016
2Endettements ( milliers d'euros)400410



3Pourcentage d'évolution entre
2 années consécutives






Le pourcentage d’augmentation de l’endettement de l’entreprise entre les années 2011 et 2012 est :
a) 0,25 % ; b) 2,5 % ;c) 10,25 % ; d)0,025 %.
(410-400) / 400 *100 = 2,5 %.
À partir de l’année 2012, on admet que l’endettement de l’entreprise diminuera chaque année de 5%.
La formule à saisir dans la cellule D2, qui recopiée vers la droite, permettra d’afficher les valeurs en milliers d’euros de l’endettement de l’entreprise pendant les années qui suivent 2012 est :
a) =410*0,25 ; b) =C2*0,05 ; c) =C2*0,95 ; d) =$C$2*0,95.
=C2*0,95.
On désigne par n un entier naturel. On note un l’endettement de l’année 2012+n, ainsi u0 = 410. L’endettement de l’entreprise en milliers d’euros pendant l’année 2020 est :
a) u8 = 410×0,958 ; b) u8 = 410×0,959 ; c). u9 = 410×0,958 ; d) u9 = 410×0,959.
En 2013 : u1 = 0,95 u0 ;
en 2014 : u2 = 0,95 u1 =0,95*0,95 u0 = 0,952u0 ; en 2012 +n : un = 0,95n u0.
En 2020, n =8  : u8 = 410×0,958.
On cherche à partir de quelle année l’endettement de l’entreprise aura diminué de moitié. Pour cela l’inéquation à résoudre s’écrit 410×0,95n <= 205, où n désigne un entier naturel. Les solutions de cette inéquation sont les entiers n tels que : a) n<=log 0,5 / log 0,95 ; b) n>= log0,5 / log 0,95 ; c) n>=log (0,5/0,95) ; d) n<=log(0,5/0,95).
2×0,95n <= 1 ; 0,95n <=0,5 ; n log 0,95 <= log 0,5 ; n(-log 0,95) >-log0,5 ; n >= log 0,5 /log 0,95.

Dans le tableau les cellules C3 à G3 sont en pourcentages. La formule à saisir dans la cellule C3, qui recopiée vers la droite, permet d’afficher le pourcentage d’évolution de l’endettement de l’entreprise entre deux années consécutives est : a. =($C2-$B2)/$B2 ; b. =C2-B2/B2 ; c. =C2/B2 ;d. =(C2-B2)/B2.



Fin 2010, 1 200 000 personnes âgées dépendantes ont bénéficié de l’Allocation Personnalisée d’Autonomie (APA), soit à domicile, soit en établissement. Ces personnes sont classées dans quatre Groupes Iso-Ressources (GIR) en fonction des différents stades de pertes d’autonomie. Les résultats, exprimés en milliers de personnes, d’une enquête réalisée en 2010 auprès des conseilsgénéraux ont permis de construire le tableau suivant.
Les nombres sont exprimés en milliers de personnes.

à domicileen établissementtotal
en GIR11986105
en GIR2131191322
en GIR315979238
en GIR4425110535
Total7344661200
Justifier, par un calcul approprié, chacune des informations suivantes dans lesquelles les résultats ont été arrondis à l’unité.
Le pourcentage des personnes de l’étude qui vivent à domicile est égal à 61%.
734*100 / 1200 =61 %.
 3% des personnes de l’étude vivant à domicile sont classées en GIR1.
19 / 734*100=2,58 ~3 %.
Pour chacune des questions suivantes, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondie au centième. On choisit au hasard le dossier d’une personne agée dépendante bénéficiant de l’APA. On considère les évènements suivants :
G : « Le dossier est celui d’une personne classée en GIR1 ». E : « Le dossier est celui d’une personne vivant en établissement ».  Calculer la probabilité des évènements G et E.
p(G) =105/1200 =0,0875 ~0,088 ; p(E) =466/1200 =0,388 ~0,39.
Définir par une phrase chacun des évènements suivants puis calculer leur probabilité.
Le dossier est celui d’une personne classée en GIR1 et vivant en établissement :

Le dossier est celui d’une personne classée en GIR1 ou vivant en établissement.

Sachant que le dossier choisi est celui d’une personne classée en GIR4, calculer la probabilité que cette personne vive à domicile.
425 / 535 =0,794 ~0,79.
Calculer PE (G). 0,072 / p(E) =0,072 / (466/1200) ~0,19.


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Le service de l’eau d’une ville a été privatisé en 1990, puis géré par la commune à partir de 1996. Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne l’évolution du prix del’eau de cette ville, en euros pour 120 m 3, entre les années 1990 et 1996.

ABCDEFGH
1année1990199119921993199419951996
2prix de 120 m3 (€)185177189208216222228
3taux d'évolution (ù)
entre 2 années consécutives







Calculer le taux d’évolution du prix de 120 m3 d’eau entre 1990 et 1991.
(177-185) / 185 *100 = -4,3 %.
Quelle formule doit-on rentrer dans la cellule D3, qui recopiée vers la droite, donne le pourcentage d’évolution du prix de 120m3 d’eau entre deux années consécutives ?
=(D2-C2) / C2 *100.
On admet que, si le service de l’eau était resté privatisé, le prix de 120 m3 aurait augmenté de 2,5% par an à partir de l’année 1996.
On note alors un le prix de 120 m3 d’eau pour l’année (1996+n) où n est un entier naturel. On a alors u0 = 228.
Justifier que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
u1 =1,025 u0 ; u2 = 1,025 u1 = 1,025*1,025u0 = 1,0252u0.....un =1,025nu0.
Quel aurait été le prix de 120 m3 d’eau en 2012 si le service était resté privatisé ?
n =2012-1996=16 ; u16 =1,02516*228=338 €.
À partir de quelle année, le prix de 120 m3 d’eau aurait-il dépassé 300 € ?
1,025nu0 >300 ; 228 *1,025n>300 ; 1,025n>1,316 ; n  log 1,025 > log 1,316 ; n > log 1,316 / log 1,025 ; n >11,14.
A partir de 1996+12 = 2008, le prix de ce volume d'eau sera supérieur à 300 €.

La ville gère le service de l’eau depuis 1996. Le tableau ci-dessous donne l’évolution du prix de 120 m3 d’eau depuis 1998.
année19982000200220042006200820102012
rang de l'année xi02468101214
prix de 120 m3 d'eau (€) yi191202198202204208215220
 Représenter le nuage de points de coordonnées  dans un repère orthogonal. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. Placer le point moyen G dans le repère.

.
On admet que la droite (¢) d’équation y = 1,8x+192,4 réalise un ajustement affine du nuage de points. Cet ajustement est fiable jusqu’en 2020.
Vérifier que le point moyen G appartient à la droite.
Tracer la droite dans le repère précédent.
205=1,8*7+192,4 ; cette égalité étant vérifiée, G appartient à cette droite.
 En tenant compte de cet ajustement affine, déterminer le prix de 120 m3 d’eau que l’on peut prévoir pour l’année 2020.
En 2020, x = 22 et y = 1,8*22+192,4 =232 €.
..



Une enquête a été menée auprès de 1 700 habitants de diverses régions françaises consommant de l’eau du robinet ou de l’eau en bouteille. Les résultats de l’enquête sont répartis par région dans le tableau ci-dessous :
RégionNombre de personnes
 consommant  l'eau du robinet
Nombre de personnes
 consommant  l'eau en bouteille
Total
Paris557274831
Nord224243467
Sud ouest30993402
Total10906101700

On considère les évènements suivants : N : « La personne interrogée habite dans la région nord. » R : « La personne interrogée consomme de l’eau du robinet. »
Pour chacune des questions suivantes, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondie au centième.
On choisit au hasard une personne parmi toutes les personnes interrogées.
Calculer les probabilités suivantes.
p(R) =1090 / 1700 =0,64
Probabilité qu'une personne interrogée ne consomme pas d'eau du robinet :1-0,64 =0,36 ou bien 610/1700 =0,36.
Probabilité qu'une personne habite la région nord et consomme de l'eau du robinet :  224 / 1700 =0,13.
Probabilité qu'une personne interrogée habite dans la région nord ou consomme de l’eau du robinet.

On veut comparer le type de consommation d’eau suivant les régions :
Déterminer la probabilité qu’une personne interrogée consomme l’eau du robinet sachant qu’elle habite la région nord.
224 / 467=0,48.
Dans quelle région faudrait-il se placer pour que la probabilité qu’une personne interrogée consomme l’eau du robinet soit la plus élevée ?
Paris : 557 / 831 =0,67 ; sud ouest : 309 / 402 = 0,77.
 



  

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