Etudes de fonctions, bac Sti2d.

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Soit f la fonction définie sur ]0 ; +oo[ par :
f (x) =1/x-ln x.
On appelle Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
Sur le graphique ci-dessous, on donne Cf et les courbes C et G. L’une de ces
deux courbes représente graphiquement la dérivée f ′ de f , et l’autre une des primitives F de f .
Indiquer laquelle des deux courbes C et G représente graphiquement f ′. Justifier.

La fonction f(x) est décroissante, sa dérivée est donc négative ( courbe G).
Par lecture graphique, donner F(1).
Courbe C : F(1) = 1.
Dans cette question, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec les courbes représentatives données sur le dessin.
 Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers 0. Interpréter graphiquement cette limite
.
 1/x tend vers +oo quand x tend vers zéro par valeur positive ; -ln x tend vers +oo quand x tend vers zéro : f(x) tend vers l'infini quand x tend vers zéro : la droite x=0 est asymptote.
Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers +oo.
 1/x tend vers zéroo quand x tend vers l'infini ; -ln x tend vers -oo quand x tend vers l'infini : f(x) tend vers -oo quand x tend vers l'infini.
Calculer f ′(x) et montrer que l’on peut écrire : f ′(x) =(-x-1)/x2.
Dérivée de 1/x : -1/x2 ; dérivée de -lnx : -1/x ; dérivée de f(x) : f '(x) =-1/x2-1/x =(-x-1)/x2.
Étudier le signe de f ′(x) puis donner le tableau de variations de f.
Sur l'intervalle ]0 ; +oo[, la dérivée est négative.

Soit H la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : H(x) = x −(x −1) lnx.

Montrer que H est une primitive de f sur ]0 ; +∞[
.
Dériver H ; on pose u =x-1 et v = ln x ; u' = 1 et v' = 1/x.
H'(x) =1-(u'v+v'u) = 1-(lnx+(x-1)/x)=1-lnx-1+1/x = 1/x -lnx = f(x).
En déduire l’expression de la fonction F.
F = H +cste avec F(1) =1 ; H(1) +Cste =1 ; 1-(1-1)ln1 +Cste =1 soit Cste = 1.
F(x) =x-(x-1)lnx.
Calculer I= .
I = [
=x-(x-1)lnx]1e=e-(e-1)ln e -(1-(1-1)ln1) =0.


Un architecte veut établir les plans d’un hangar pour ballon dirigeable. La forme de la façade avant de ce hangar et les points O, A, B, S, H et K sont donnés sur le schéma ci-dessous.
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Cette façade avant est symétrique par rapport au segment vertical [OS] et OH= 30 m.
L’arc SA de la façade avant correspond à une partie de la représentation graphique d’une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 60], dans un repère orthonormal direct d’origine O du plan, l’unité étant le mètre.
Le cahier des charges impose les quatre conditions suivantes : OS = 60 ; HK > 35 ; la fonction évoquée ci-dessus doit être strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 60] ;  OA <=0.
Vérifier que la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 60] par f (x) = 80−20e0,025x vérifie les trois premières conditions du cahier des charges.
OS =f(0) =80-20e0=80-20 = 60.
HK = f(30) =80-20e0,025*30=80-42,3 = 37,7, valeur supérieure à 35 m.
f '(x) =-20*0,025e0,025x  est strictement négative sur [0; 60 ] ; f(x) est décroissante sur cet intervalle.
Déterminer, à l’aide de la calculatrice, la valeur décimale approchée à 10−1 près par excès du réel a qui vérifie f (a)= 0.
0 = 80-20 e0,025a ; 4 =e0,025a  ; ln 4 = 0,025 a ; a =55,452 ~55,5.
Vérifier que la quatrième condition du cahier des charges est remplie.
OA = a = 55,5, valeur inférieure à 60 m.
La fonction F est définie sur l’intervalle [0 ; 60] par F(x)= 80x −800e0,025x .
Vérifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 60].
F'(x) =80 -800*0,025e0,025x =80-20e0,025x =f(x).
Calculer la valeur exacte de l’intégrale I.

On souhaite peindre la surface extérieure de la façade avant.
Déterminer à 10−2 près l’aire de cette surface exprimée en m2.
A =2 I =2*2036,14=4072,28 m2.
La peinture utilisée pour peindre la surface extérieure de la façade avant est vendue en bidons de 68 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 0,2 mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant ?
Surface peinte : 0,2*68 =13,6 m2 par bidon.
4072,28/ 13,6 =299,4 ~300 bidons.





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